Hai mặt phẳng (a) và (b) song song với nhau nếu

Theo định nghĩa thì hai mặt phẳng [α] và [β] được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Khi đó ta kí hiệu:  [α] // [β] hay [β] // [α].

Định lý về 2 mặt phẳng song song 

• Nếu mặt phẳng [α] chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng [β ] thì [α ] // [β ] => đây cũng là điều kiện để 2 mặt phẳng [α] và [β] song song với nhau.

Hệ quả: Nếu mặt phẳng [α] chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ nằm trong mặt phẳng [β] thì mặt phẳng [ α]  song song với mặt phẳng [β ].

• Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

• Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. [định lý này còn được biết đến với tên gọi: định lý Ta lét trong không gian].

Tính chất của hai mặt phẳng song song

Tính chất 1:

Qua một điểm nằm ngoài 1 mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Cách dựng: Trong mặt phẳng [P], dựng 2 đường thẳng a,b cắt nhau. Qua giao điểm O, ta dụng a1//a và b1//b.

Vậy mặt phẳng chứa 2 đường thẳng a1,b1 sẽ song song với [P].

Từ đó ta có các hệ quả:

• Nếu a // [Q] thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với [Q].
• Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ 3 thì song song với nhau.

Tính chất 2: 

Nếu [P]//[Q] thì mặt phẳng [R] cắt [P] thì sẽ cắt [Q] và các giao tuyến của chúng song song với nhau.

Các dạng bài tập hai mặt phẳng song song

Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cách 1: Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau và song song với mặt phẳng kia.

• Tổng quát: a thuộc [α], b thuộc [α], a và b giao nhau tại I.

• Ta cần chứng minh: a // [β] và b // [β]. Suy ra: [α] // [β]

Cách 2: chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ 3

• [α] // [Ɣ] và [β]// [Ɣ] => [α] // [β].

Dạng 2: Xác định thiêt diện của [α] với hình chóp khi biết [α]// [β] cho trước.

Cách giải: ta cần áp dụng các tính chất sau: khi [α] // [β] thì [α] sẽ song song với tất cả các đường thẳng có trong [β]. Lúc này, ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng.

Ta có: [α] // [β] và [Ɣ] giao [β] tại d. Suy ra: [α] sẽ giao với [Ɣ] tại d’//d.

Đường thẳng d nằm trong [β] nên ta sé xét các mặt phẳng có trong hình chóp và chứa d. Khi đó, [α] // d nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d.

Cho bốn mệnh đề sau:

1] Nếu hai mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] và \[\left[ \beta \right]\] song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] đều song song với \[\left[ \beta \right]\].

2] Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.

3] Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

4] Có thể tìm được hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?

I. Định nghĩa

Hai mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$, $\left[ \beta  \right]$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu $\left[ \alpha  \right]//\left[ \beta  \right]$.

$\left[ \alpha  \right]//\left[ \beta  \right] \Leftrightarrow \left[ \alpha  \right] \cap \left[ \beta  \right] = \emptyset $

II. Tính chất

* Định lí 1

Nếu mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẵng $\left[ \beta  \right]$ thì mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ song song với mặt phẵng $\left[ \beta  \right]$.

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

* Hệ quả 1

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với $\left[ \alpha  \right]$.

* Hệ quả 2

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

* Hệ quả 3

Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$. Mọi đường thẳng đi qua A và song song với $\left[ \alpha  \right]$ đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với $\left[ \alpha  \right]$.

* Định lí 3

Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng này  thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

* Hệ quả

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

III. Định lí Thalès

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

IV. Hình lăng trụ và hình hộp

* Hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng song song $\left[ \alpha  \right]$ và $\left[ {\alpha '} \right]$. Trên $\left[ \alpha  \right]$ cho đa giác lồi ${A_1}{A_2}...{A_n}$. Qua các đỉnh ${A_1}{A_2},...,{A_n}$ ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt $\left[ {\alpha '} \right]$ lần lượt tại $A{'_1}A{'_2},...,A{'_n}$.

Hình gồm hai đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n},A{'_1}A{'_2}...A{'_n}$ và các hình bình hành ${A_1}A{'_1}A{'_2}{A_2},{A_2}A{'_2}A{'_3}{A_3},...,{A_n}A{'_n}A{'_1}{A_1}$ được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là ${A_1}{A_2}...{A_n},A{'_1}A{'_2}...A{'_n}$.

Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

 IV. Hình chóp cụt

Cho hình chóp $S.{A_1}{A_2}...{A_n}$. Một mặt phẳng không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh $S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}$ lần lượt tại $A{'_1}A{'_2},...,A{'_n}$. Hình tạo bởi thiết diện $A{'_1}A{'_2}...A{'_n}$ và đáy ${A_1}{A_2}...{A_n}$ của hình chóp cùng với các tứ giác $A{'_1}A{'_2}{A_2}{A_1},A{'_2}A{'_3}{A_3}{A_2},...,A{'_n}A{'_1}{A_1}{A_n}$ gọi là hình chóp cụt, kí hiệu là $A{'_1}A{'_2}...A{'_n}.{A_1}{A_2}...{A_n}$.

* Tính chất  

1. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp tương ứng bằng nhau.

2. Các mặt bên là những hình thang.

3. Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm. 

Page 2

SureLRN