- Vẽ đồ thị của các hàm số \[y = 2x;\,\,\,y = 2x + 5;\,\,\,y = - \dfrac{2}{3}x\] và \[y = - \dfrac{2}{3}x + 5\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
- Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác \[OABC\] [\[O\] là gốc tọa độ]. Tứ giác \[OABC\] có phải là hình bình hành không ? Vì sao ?
Lời giải:
+] Hàm số \[y = 2x\]:
Cho \[x=1 \Rightarrow y=2.1=2 \Rightarrow M[1; 2]\]
Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua gốc \[O[0;0]\] và điểm \[M[1; 2]\].
+] Hàm số \[y = 2x + 5\]:
Cho \[x=0 \Rightarrow y=2.0+5=0+5=5 \Rightarrow B[0; 5]\].
Cho \[x=-2,5 \Rightarrow y=2.[-2,5]+5=-5+5=0 \]
\[\Rightarrow E[-2,5; 0]\]
Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua điểm \[B[0; 5]\] và \[E[-2,5; 0]\]
+] Hàm số \[y = - \dfrac{2}{3}x\]:
Cho \[x=1 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.1=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow N {\left[1; -\dfrac{2}{3}\right]}\]
Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \[O[0;0]\] và điểm \[N {\left[1; -\dfrac{2}{3}\right]}\]
+] Hàm số \[y = - \dfrac{2}{3}x + 5\]:
Cho \[x=0 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.0+5=0+5=5 \Rightarrow B[0; 5]\]
Cho \[x=7,5 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.7,5+5=-5 +5=0 \]
\[\Rightarrow F[7,5; 0]\]
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \[B[0; 5]\] và \[F[7,5; 0]\].
Ta có hình vẽ sau:
- Ta có:
+ Đồ thị của hàm số \[y = 2x\] song song với đồ thị hàm số \[y = 2x + 5\] \[\Rightarrow OC // AB\]
+ Đồ thị của hàm số \[y=-\dfrac{2}{3}x\] song song với đồ thị hàm số \[y=-\dfrac{2}{3}x+5\] \[\Rightarrow OA // BC\]
Do đó tứ giác \[OABC\] là một hình bình hành [dấu hiệu nhận biết].
Bài 16 trang 51 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
- Vẽ đồ thị các hàm số y = x và y = 2x + 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
- Gọi A là giao điểm của hai đồ thị nói trên, tìm tọa độ điểm A.
- Vẽ qua điểm \[B[0; 2]\] một đường thẳng song song với trục \[Ox\], cắt đường thẳng \[y = x\] tại điểm \[C\]. Tìm tọa độ của điểm \[C\] rồi tính diện tích tam giác \[ABC\] [đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét].
Lời giải:
- +] Hàm số \[y=x\]:
Cho \[x= 1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow M[1; 1]\]
\[\Rightarrow \] đồ thị hàm số \[y=x\] là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \[O[0;0]\] và điểm \[M[1; 1]\].
+] Hàm số \[y=2x+2\]
Cho \[x=0 \Rightarrow y=2.0+2=2 \Rightarrow B[0; 2]\].
Cho \[x=-1 \Rightarrow y=2.[-1]+2=-2+2=0 \Rightarrow [-1; 0]\]
Đồ thị hàm số \[y=2x+2\] là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ là \[B[0; 2]\] và \[[-1; 0]\].
Đồ thị như hình bên.
- Tìm tọa độ giao điểm \[A\]:
Hoành độ giao điểm \[A\] là nghiệm của phương trình:
\[x = 2x + 2\]\[\Leftrightarrow x -2x = 2\]\[\Leftrightarrow -x =2\] \[\Leftrightarrow x =-2\]
Thay \[x=-2\] vào công thức hàm số \[y=x\], ta được: \[y=-2\]
Vậy tọa độ cần tìm là: \[A[-2; -2]\].
- +] Tìm tọa độ điểm \[C\]
Đường thẳng qua \[B[0; 2]\] song song với trục hoành có phương trình là \[y=2\]
Vì điểm \[C\] thuộc đường thẳng \[y=2\] nên có tung độ là \[y=2\]
Vì \[C\] cũng thuộc đường thẳng \[y=x\] nên \[x=y=2\]
Vậy ta có tọa độ điểm \[C[2;2]\]
+] Tính diện tích tam giác \[ABC\]:
Kẻ \[AE \bot BC\], ta có \[AE=2+2=4\] và \[BC=2\]
Tam giác \[\Delta{ABC}\] có \[AE\] là đường cao ứng với cạnh \[BC\].
Diện tích \[\Delta{ABC}\] là:
\[S=\dfrac{1}{2}.AE.BC=\dfrac{1}{2}.4.2=4\] \[[cm^2]\].
Bài 17 trang 51 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
- Vẽ đồ thị của các hàm số \[y = x + 1\] và \[y = -x + 3\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
- Hai đường thẳng \[y = x + 1\] và \[ y = -x + 3\] cắt nhau tại \[C\] và cắt trục \[Ox\] theo thứ tự tại \[A\] và \[B\]. Tìm tọa độ của các điểm \[A,\ B,\ C\].
- Tính chu vi và diện tích của tam giác \[ABC\] [đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét]
Phương pháp:
- Cách vẽ đồ thị hàm số \[y=ax+b,\ [a \ne 0]\]: Đồ thị hàm số \[y=ax+b \, \, [a\neq 0]\] là đường thẳng:
+] Cắt trục hoành tại điểm \[A[-\dfrac{b}{a}; \, 0].\]
+] Cắt trục tung tại điểm \[B[0;b].\]
Xác định tọa độ hai điểm \[A\] và \[B\] sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số \[y=ax+b \, \, [a\neq 0].\]
- +] Đồ thị hàm số \[y=ax\] và \[y=a'x+b'\] cắt nhau tại \[A\] thì hoành độ điểm \[A\] là nghiệm của phương trình: \[ax=a'x+b'.\] Giải phương trình tìm \[x\], rồi thay vào một trong hai công thức hàm số trên tìm được tung độ điểm \[A\].
- +] Chu vi tam giác \[ABC\] là: \[C_{\Delta{ABC}}=AB+BC+AC\].
+] Diện tích tam giác \[ABC\] là: \[S_{\Delta{ABC}}=\dfrac{1}{2}.h.a\]
trong đó: \[h\] là độ dài đường cao, \[a\] là độ dài cạnh ứng với đường cao.
+] Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông: Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] khi đó:
\[BC^2=AC^2+AC^2\]
Lời giải:
- Xem hình dưới đây:
+] Hàm số \[y=x+1\]:
Cho \[x=0 \Rightarrow y=0+1=1 \Rightarrow M[0; 1]\]
Cho \[y=0 \Rightarrow 0=x+1 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow P[-1; 0]\]
Đồ thị hàm số \[y=x+1\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[P[-1; 0]\] và \[M[0;1]\].
+] Hàm số \[y=-x+3\]
Cho \[x=0 \Rightarrow y=0+3 =3 \Rightarrow N[0; 3]\]
Cho \[y=0 \Rightarrow 0=-x+3 \Rightarrow x=3 \Rightarrow Q[3; 0]\]
Đồ thị hàm số \[y=-x+3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[Q[3; 0]\] và \[N[0; 3]\].
Ta có hình vẽ sau:
b]
+] \[C\] là giao điểm của \[y=x+1\] và \[y=-x+3\] nên hoành độ của \[C\] là nghiệm của phương trình:
\[x+1=-x+3\]
\[\Leftrightarrow x+x=3-1\]
\[\Leftrightarrow 2x=2\]
\[\Leftrightarrow x=1\].
Tung độ của \[C\] là: \[y=1+1=2\].
Vậy \[C[1; 2]\].
+] \[A\] là giao điểm của \[y=x+1\] và trục hoành \[Ox:\, y=0\] nên hoành độ của \[A\] là:
\[x+1=0\]
\[\Leftrightarrow x=-1\]
Vậy \[A[-1; 0] \equiv P\].
+] \[B\] là giao điểm của \[y=-x+3\] và trục hoành \[Ox:\, y=0\] nên hoành độ điểm \[B\] là:
\[-x+3=0\]
\[\Leftrightarrow -x+3=0\]
\[\Leftrightarrow x=3\]
Vậy \[ B[3; 0] \equiv Q.\]
c]
Ta có: \[AB=3+1=4,\]
+] Áp dụng định lí Py- ta-go, ta tính được:
\[AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2\]
\[BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2\]
Do đó chu vi của tam giác \[ABC\] là:
\[AB+BC+AC=4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}[cm]\]
+] Ta có: \[BC^2+AC^2=[2\sqrt 2]^2+[2\sqrt 2]^2\]\[=8+8=16=4^2=AB^2\]
Nên tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\]. [Định lí Pytago đảo]
+] Diện tích của tam giác \[ABC\] là:
\[S=\dfrac{1}{2}.AC.BC=\dfrac{1}{2}.2\sqrt 2.2\sqrt 2=4[cm^2]\]
Bài 18 trang 52 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
- Biết rằng với \[x = 4\] thì hàm số \[y = 3x + b\] có giá trị là \[11\]. Tìm \[b\]. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị \[b\] vừa tìm được.
- Biết rằng đồ thị của hàm số \[y = ax + 5\] đi qua điểm \[A [-1; 3]\]. Tìm a. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị \[a\] vừa tìm được.
Phương pháp:
- Thay giá trị của \[x,\ y\] đã biết vào công thức hàm số ta tìm được \[b\].
- Thay tọa độ điểm \[A\] vào công thức hàm số ta tìm được \[a\].
* Cách vẽ đồ thị hàm số \[y=ax+b,\ [a \ne 0]\]: Đồ thị hàm số \[y=ax+b \, \, [a\neq 0]\] là đường thẳng:
+] Cắt trục hoành tại điểm \[A[-\dfrac{b}{a}; \, 0].\]
+] Cắt trục tung tại điểm \[B[0;b].\]
Xác định tọa độ hai điểm \[A\] và \[B\] sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số \[y=ax+b \, \, [a\neq 0].\]
Lời giải:
- Thay \[x = 4\] và \[y = 11\] vào \[y = 3x +b\], ta được:
\[11 = 3.4 + b\]
\[\Leftrightarrow 11=12+b\]
\[\Leftrightarrow 11- 12 =b\]
\[\Leftrightarrow b=-1\].
Khi đó hàm số đã cho trở thành: \[y = 3x – 1\].
+ Cho \[x=0 \Rightarrow y=3.0 - 1=-1 \Rightarrow A[0; -1]\]
Cho \[ y=0 \Rightarrow 0=3.x - 1 \Rightarrow x=\dfrac{1}{3} \Rightarrow B{\left[\dfrac{1}{3}; 0 \right]}\]
Do đó đồ thị hàm số \[y=3x+b\] là đường thẳng đi qua \[2\] điểm \[A[0;-1]\] và \[B\left[ {\dfrac{1}{3};0} \right]\]. Ta có hình vẽ sau:
- Thay \[x= -1 \] thì \[y=3\] vào công thức hàm số \[y=ax+5\], ta được:
\[ 3= a.[-1] + 5 \]
\[\Leftrightarrow 3 = -a +5\]
\[\Leftrightarrow a = 5-3\]
\[\Leftrightarrow a = 2\]
Khi đó hàm số đã cho trở thành: \[y = 2x + 5\].
+ Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 2.0 +5=5 \Rightarrow A[0; 5]\]
Cho \[y=0 \Rightarrow 0= 2. x +5 \Rightarrow x=\dfrac{-5}{2} \Rightarrow B {\left[-\dfrac{5}{2}; 0 \right]}\]
Do đó đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \[A[0; 5]\] và \[B \left[ { - \dfrac{5}{2};0} \right]\].
Bài 19 trang 52 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Đồ thị của hàm số \[y = \sqrt 3 x + \sqrt 3 \] được vẽ bằng compa và thước thẳng.
Hãy tìm hiểu cách vẽ đó rồi nêu lại các bước thực hiện.
Áp dụng: Vẽ đồ thị của hàm số \[y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \] bằng compa và thước thẳng.
Hướng dẫn. Tìm điểm trên trục tung có tung độ bằng \[\sqrt 5 \].
Lời giải:
+ Vẽ đồ thị hàm số: \[y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\]
Cho \[x= 0 \Rightarrow y = \sqrt 3 . 0 + \sqrt 3 = \sqrt 3 \Rightarrow M[0; \sqrt 3]\].
Cho \[y=0 \Rightarrow 0 = \sqrt 3 . x + \sqrt 3 \Rightarrow x= -1 \Rightarrow N[-1; 0]\].
Đồ thị hàm số \[y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[M[0; \sqrt 3]\] và \[N[-1; 0]\]
+ Ta đi xác định vị trí điểm \[M[0; \sqrt 3]\] trên trục tung:
Bước \[1\]: Xác định điểm \[A[1; 1]\] trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\]. Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có:
\[OA^2=1^2+1^2=2 \Leftrightarrow OA =\sqrt 2\]
Bước \[2\]: Dùng compa vẽ cung tròn tâm \[O\] bán kính \[OA =\sqrt 2\]. Cung tròn này cắt trục \[Ox\] tại vị trí \[C\] thì hoành độ của \[C\] là \[\sqrt 2\].
Bước \[3\]: Xác định điểm \[B[ \sqrt 2; 1]\]. Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có:
\[OB^2=[\sqrt 2]^2+1^2=2+1=3 \Leftrightarrow OB =\sqrt 3\]
Bước \[4\]: Dùng compa vẽ cung tròn tâm \[O\] bán kính \[OB=\sqrt 3\]. Khi đó cung tròn này cắt trục tung tại vị trí điểm có tung độ là \[\sqrt 3\]. Ta xác định được điểm \[M[0; \sqrt 3]\].
Bước \[5\]: Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm \[M\] và \[N\] ta được đồ thị hàm số \[y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\].
+ Áp dụng: Vẽ đồ thị hàm số \[y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \] [làm tương tự như trên]
Cho \[x= 0 \Rightarrow y = \sqrt 5 . 0 + \sqrt 5 = \sqrt 5 \Rightarrow B[0; \sqrt 5]\].
Cho \[x= -1 \Rightarrow y = \sqrt 5 . [-1] + \sqrt 5 = 0 \Rightarrow C[-1; 0]\].
Đồ thị hàm số \[y=\sqrt 5 x + \sqrt 5\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[B[0; \sqrt 5]\] và \[C[-1; 0]\]
Các bước vẽ:
Bước \[1\]: Xác định điểm \[A[2; 1]\] trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\].
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
\[OA^2=2^2+1^2=4+1=5 \Leftrightarrow OA = \sqrt 5\]
Bước \[2\]: Vẽ cung tròn tâm \[O\] bán kính \[OA=\sqrt 5\]. Cung tròn này cắt trục \[Oy\] tại vị trí điểm \[B\] có tung độ là \[\sqrt 5\]. Ta xác định được điểm \[B[0; \sqrt 5]\].
Bước \[3\]: Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm \[B[0; \sqrt 5]\] và \[C[-1; 0]\] ta được đồ thị của hàm số \[y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \].