Loading Preview
Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.
Phương pháp :
– Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến :”Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau ” .
– Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết .
– Chú ý : Nhớ tính chất cho trước hai mặt phẳng song song đường thẳng bất kì trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.
Bài tập minh họa
Bài 1:Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Trên AB lấy một điểm M với AM = x.Gọi [a] là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng [SAD] cắt SB , SC , và CD lần lượt tại N, P, Q
Bài giải
Bài 2:
Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp xác định thiết diện của hình đa diện khi cắt bởi mặt phẳng với các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
Dạng 1: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ biết $\left[ \alpha \right]$ đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Phương pháp:
+ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ với từng mặt của hình đa diện.
+ Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.
Ví dụ 1: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$; $E$ là một điểm thuộc cạnh $AD$ khác với $A$ và $D$. Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $\left[ IJE \right]$.
Ta có: $\left[ {IJE} \right] \cap \left[ {BCD} \right] = IJ$ $\left[ 1 \right].$ $\left[ {IJE} \right] \cap \left[ {ABD} \right] = EJ$ $\left[ 2 \right].$ Tìm $\left[ {IJE} \right] \cap \left[ {ACD} \right]$: $E \in \left[ {IJE} \right] \cap \left[ {ACD} \right].$ $IJ \subset \left[ {IJE} \right]$, $CD \subset \left[ {ACD} \right].$ Vì $IJ$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $IJ//CD$ $ \Rightarrow \left[ {IJE} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = Ex$ với $Ex$ là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $IJ$ và $CD.$ Gọi $F = Ex \cap AC.$ Khi đó: $\left[ {IJE} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = EF$ $\left[ 3 \right].$ Ta có: $\left[ {IJE} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = IF$ $\left[ 4 \right].$
Từ $\left[ 1 \right],\left[ 2 \right],\left[ 3 \right],\left[ 4 \right]$ suy ra thiết diện của hình tứ diện $ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $\left[ IJE \right]$ là hình thang $IJEF.$
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $CC’$. Dựng thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng $\left[ {AMN} \right].$
Ta có: $\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {ABB’A’} \right] = AM$ $\left[ 1 \right].$ $\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {ACC’A’} \right] = AN$ $\left[ 2 \right].$ Tìm $\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {A’B’C’} \right]:$ $M \in \left[ {AMN} \right] \cap \left[ {A’B’C’} \right].$ Gọi $P = AN \cap A’C’$ $ \Rightarrow P \in \left[ {AMN} \right] \cap \left[ {A’B’C’} \right].$ Suy ra $\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {A’B’C’} \right]$ $ = MP = MQ$ [với $Q = MP \cap B’C’$] $\left[ 3 \right].$ Khi đó: $\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {BCC’B’} \right] = NQ$ $\left[ 4 \right].$
Từ $\left[ 1 \right],\left[ 2 \right],\left[ 3 \right],\left[ 4 \right]$ suy ra thiết diện là tứ giác $AMQN.$
Dạng 2: Thiết diện của một hình đa diện với mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$, biết $\left[ \alpha \right]$ chứa $a$ và song song với đường thẳng $b.$
Phương pháp:
+ Chọn mặt phẳng $\left[ \beta \right] \supset b.$
+ Tìm một điểm chung $M$ của hai mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ và $\left[ \beta \right].$
+ Tìm ${M_x} = \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right]$, khi đó ${M_x}\parallel a\parallel b.$
+ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ với các mặt của hình đa diện.
+ Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang với các cạnh đáy là $AB$ và $CD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left[ IJG \right]$.
Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ||AD||BC.$ Vậy $\left[ {IJG} \right]$ là mặt phẳng có chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $\left[ {AB} \right].$ Chọn mặt phẳng $\left[ {SAB} \right] \supset AB.$ $G$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left[ {SAB} \right]$ và $\left[ {IJG} \right].$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} AB \subset \left[ {SAB} \right]\\ IJ \subset \left[ {IJG} \right]\\ G \in \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {IJG} \right]\\ AB\parallel IJ \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {IJG} \right]$ $ = {G_x}\left[ {{G_x}\parallel AB\parallel IJ} \right].$ Giả sử ${G_x}$ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SB$ tại $N$, khi đó: $\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {IJG} \right] = MN$, $\left[ {SAD} \right] \cap \left[ {IJG} \right] = MI$, $\left[ {SBC} \right] \cap \left[ {IJG} \right] = NJ$, $\left[ {ABCD} \right] \cap \left[ {IJG} \right] = IJ.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $MNIJ.$
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left[ IJK \right]$.
Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Nên suy ra $IJ\parallel AB.$ Vậy $\left[ {IJK} \right]$ là mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $\left[ {AB} \right].$ Chọn mặt phẳng $\left[ {ABC} \right] \supset AB.$ $\left\{ \begin{array}{l} K \in BD\\ BD \subset \left[ {ABD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow K \in \left[ {ABD} \right]$, suy ra $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left[ {IJK} \right]$ và $\left[ {ABD} \right].$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} AB \subset \left[ {ABD} \right]\\ IJ \subset \left[ {IJK} \right]\\ AB\parallel IJ\\ K \in \left[ {ABD} \right] \cap \left[ {IJK} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {ABD} \right] \cap \left[ {IJK} \right] = {K_x}$ $\left[ {{K_x}\parallel AB\parallel IJ} \right].$ Giả sử ${K_x}$ cắt $AD$ tại $H$, khi đó: $\left[ {ABD} \right] \cap \left[ {IJK} \right] = KH$, $\left[ {CAD} \right] \cap \left[ {IJK} \right] = IH$, $\left[ {CDB} \right] \cap \left[ {IJK} \right] = JK$, $\left[ {CAB} \right] \cap \left[ {IJK} \right] = IJ.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $IJKH.$
Dạng 3: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$, biết mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ qua $M$ và song song với hai đường thẳng $a$ và $b.$
Phương pháp:
+ Qua $\left[ \alpha \right]$ kẻ hai đường thẳng $\left[ \alpha \right]$lần lượt song song với hai đường thẳng $\left[ \alpha \right]$
+ Tìm điểm chung của $\left[ \alpha \right]$với một mặt nào đó của hình đa diện
+ Mặt phẳng nào chứa điểm chung và chứa đường thẳng $\left[ \alpha \right]$hoặc $\left[ \alpha \right]$thì tiếp tục kẻ đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng $\left[ \alpha \right]$hoặc $\left[ \alpha \right]$cho đến khi thiết diện được hình thành.
Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ qua $O$, song song với $SA,CD$. Tìm thiết diện tạo bởi $\left[ \alpha \right]$ và hình chóp.
Tìm $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABCD} \right]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} O \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABCD} \right]\\ CD\parallel \left[ \alpha \right]\\ \left[ {ABCD} \right] \supset CD \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = MN$ $\left[ 1 \right]$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $O$ và song song với $CD$, $\left[ {M \in BC,N \in AD} \right].$ Tìm $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} N \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right]\\ SA\parallel \left[ \alpha \right]\\ \left[ {SAD} \right] \supset SA \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right] = NP$ $\left[ 2 \right]$ với $NP\parallel SA$ $\left[ {P \in SD} \right].$ Tìm $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SCD} \right]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} P \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SCD} \right]\\ CD\parallel \left[ \alpha \right]\\ \left[ {SCD} \right] \supset CD \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SCD} \right] = MQ$ $\left[ 3 \right]$ với $PQ\parallel CD$ $\left[ {Q \in SC} \right].$ Ta có: $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SBC} \right] = MQ$ $\left[ 4 \right].$ Từ $\left[ 1 \right],\left[ 2 \right],\left[ 3 \right],\left[ 4 \right]$ suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác $MNPQ.$
Ta lại có: $MN\parallel CD\parallel QP.$ Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $MNPQ.$
Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang cân có $AD$ không song song với $BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $\left[ \alpha \right]$ là mặt phẳng qua $M$, song song với $SA,BD$. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left[ \alpha \right].$
Tìm $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABCD} \right]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} M \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABCD} \right]\\ BD\parallel \left[ \alpha \right]\\ \left[ {ABCD} \right] \supset BD \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = MN$ $\left[ 1 \right]$ với $MN\parallel BD$ $\left[ {N \in AB} \right]$ [$N$ là trung điểm của $AB$]. Tìm $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} M \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right]\\ SA\parallel \left[ \alpha \right]\\ \left[ {SAD} \right] \supset SA \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right] = MR$ $\left[ 2 \right]$ với $MR\parallel SA$ $\left[ {R \in SD} \right]$ [$R$ là trung điểm của $SD$]. Tìm $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAB} \right]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} N \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAB} \right]\\ SA\parallel \left[ \alpha \right]\\ \left[ {SAB} \right] \supset SA \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SCD} \right] = NP$ $\left[ 3 \right]$ với $NP\parallel SA$ $\left[ {P \in SB} \right]$ [$P$ là trung điểm của $SB$]. Tìm $\left[ \alpha \right] \cap SC$: Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ với $AC.$ Chọn mặt phẳng phụ $\left[ {SAC} \right] \supset SC.$ Tìm $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAC} \right]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} I \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAC} \right]\\ SA\parallel \left[ \alpha \right]\\ \left[ {SAC} \right] \supset SA \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAC} \right] = IQ$ với $IQ\parallel SA$ $\left[ {Q \in SC} \right].$ Suy ra $\left[ \alpha \right] \cap SC = Q.$ Do đó ta có: $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SCD} \right] = RQ$ $\left[ 4 \right].$ $\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SCB} \right] = PQ$ $\left[ 5 \right].$ Từ $\left[ 1 \right],\left[ 2 \right],\left[ 3 \right],\left[ 4 \right],\left[ 5 \right]$ suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác $MNPQR.$ [ads]
Dạng 4: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $[\alpha ]$ biết $[\alpha ]$ đi qua một điểm cho trước và song song với mặt phẳng $[\beta ].$
Phương pháp: + Chọn mặt phẳng $[\gamma ]$ chứa điểm thuộc mặt phẳng $[\alpha ]$ sao cho giao tuyến của $[\beta ]$ và $[\gamma ]$ là dễ tìm. + Xác định giao tuyến $d=[\beta ]\cap \left[ \gamma \right].$ + Kết luận giao tuyến của $[\alpha ]$ và $[\gamma ]$ là đường thẳng qua điểm thuộc $[\alpha ]$ và song song $d.$
+ Tiếp tục làm quá trình này cho đến khi thiết diện được hình thành.
Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ là một điểm nằm trên cạnh $AB.$ Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $[\alpha ]$ với $[\alpha ]$ là mặt phẳng qua $E$ và $[\alpha ]\parallel [BCD].$
Tìm $[\alpha ] \cap [ABC]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} [ABC] \cap [BCD] = BC\\ [\alpha ]\parallel [BCD]\\ E \in [\alpha ] \cap [ABC] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow [\alpha ] \cap [ABC] = EF$ $[1]$, với $EF$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song với $BC.$ Tìm $[\alpha ] \cap [ABD]$: Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} [ABD] \cap [BCD] = BD\\ [\alpha ]\parallel [BCD]\\ E \in [\alpha ] \cap [ABD] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow [\alpha ] \cap [ABD] = EG$ $[2]$, với $EG$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song $BD.$ Nối đoạn $FG$ ta có: $[\alpha ] \cap [ACD] = FG$ $[3].$
Từ $[1],[2],[3]$ suy ra thiết diện cần tìm là tam giác $EFG.$
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cạnh đáy $AD$, $AD