Điều kiện để bất phương trình mũ có nghiệm

- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left[ x \right]$ trên D.

- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số $P\left[ m \right]$ để đường thẳng $y=P\left[ m \right]$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$.

- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left[ x \right]$ trên D.

- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số $P\left[ m \right]$ để bất phương trình có nghiệm:

* $P\left[ m \right]\le f\left[ x \right]$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left[ m \right]\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]$.

* $P\left[ m \right]\ge f\left[ x \right]$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left[ m \right]\ge \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left[ x \right]$.

b] Phương pháp hàm số: Đưa phương trình [bất phương trình] về dạng $f\left[ u \right]=f\left[ v \right]$ với $f\left[ t \right]$là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó $f\left[ u \right]=f\left[ v \right]\Leftrightarrow u=v$.

c] Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số $f\left[ x \right]=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

– Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4\text{a}c$ và định lý Vi-ét: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{array} \right.$.

– Phương trình $f\left[ x \right]=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta >0 \\  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$.

– Phương trình $f\left[ x \right]=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a>0 \\  {} \Delta 0$

Suy ra hàm số $f\left[ x \right]$ đồng biến trên ℝ, do đó $f\left[ 0 \right]0;\forall x\in \mathbb{R}$.

Suy ra $f\left[ t \right]$ là hàm số đồng biến trên $\left[ -\infty ;+\infty  \right]$ nên [*] $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m>4 \\  {} m0;\forall t>0$.

Suy ra $f\left[ t \right]$ là hàm số đồng biến trên $\left[ 0;+\infty  \right]\Leftrightarrow \min f\left[ t \right]=-3$.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>\underset{\left[ 0;+\infty  \right]}{\mathop{\min }}\,f\left[ t \right]=-3$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Lời giải

Bất phương trình $\Leftrightarrow 3m+\left[ 3m+2 \right].{{\left[ \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}+{{\left[ \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}>0$          [*].

Ta có $\frac{4-\sqrt{7}}{3}.\frac{4+\sqrt{7}}{3}=1\Leftrightarrow {{\left[ \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}={{\left[ \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right]}^{-x}}$ nên đặt $t={{\left[ \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}\Rightarrow {{\left[ \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}=\frac{1}{t}$.

Khi đó [*] $\Leftrightarrow 3m+\frac{3m+2}{t}+t>0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow 3m>-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1},\forall t\in \left[ 0;1 \right]$

Xét hàm số $f\left[ t \right]=-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ trên $\left[ 0;1 \right]$, suy ra $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ t \right]=f\left[ \sqrt{3}-1 \right]=2-2\sqrt{3}$.

Do đó $3m>f\left[ t \right];\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow 3m>2-2\sqrt{3}\Leftrightarrow m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$. Chọn B.