TOANMATH.com giới thiệu đến bạn đọc bài viết vị trí tương đối của hai mặt phẳng thuộc chương trình Hình học 12 chương 3: phương pháp tọa độ trong không gian.
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ có phương trình:
$[P]: Ax + By +Cz + D = 0$, ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0.$
$[Q]: A’x + B’y + C’z + D’ = 0$, $A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2} \ne 0.$
Có $3$ vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$:
+ Cắt nhau: $A:B:C \ne A’:B’:C’.$
+ Trùng nhau: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.$
+ Song song: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}.$
Chú ý: Cho mặt phẳng $[P]:Ax + By + Cz + D = 0.$
Hai điểm ${M_1}\left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]$ và ${M_2}\left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]$ nằm về hai phía của mặt phẳng $[P]$ khi và chỉ khi: $\left[ {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + {D_1}} \right]\left[ {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right] < 0.$Hai điểm ${M_1}\left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]$ và ${M_2}\left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]$ nằm cùng phía của mặt phẳng $[P]$ khi và chi khi: $\left[ {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + {D_1}} \right]\left[ {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right] > 0.$
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:
a] $x + 2y – z + 5 = 0$ và $2x + 3y – 7z – 4 = 0.$
b] $x – 2y + z – 3 = 0$ và $2x – 4y + 2z – 6 = 0.$
c] $x + y + z – 1 = 0$ và $2x + 2y + 2z + 3 = 0.$
a] Hai VTPT là $\vec n = [1;2; – 1]$ và $\overrightarrow {n’} = [2;3; – 7].$ Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nên hai mặt phẳng cắt nhau. b] Các hệ số của hai phương trình mặt phẳng tương ứng tỉ lệ nên hai mặt phẳng trùng nhau.
c] Ta có: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ – 1}}{3}$ nên hai mặt phẳng song song.
Bài toán 2: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau: a] $3x – 2y + 3z + 5 = 0$ và $9x – 6y – 9z – 5 = 0.$ b] $x – y + 2z – 4 = 0$ và $10x – 10y + 20z – 40 = 0.$
c] $2x – 4y + 6z – 2 = 0$ và $3x – 6y + 9z + 3 = 0.$
a] Ta có $3:[ – 2]:3 \ne 9:[ – 6]:[ – 9]$ nên hai mặt phẳng cắt nhau. b] $\frac{1}{{10}} = \frac{{ – 1}}{{ – 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ – 4}}{{ – 40}}$ nên hai mặt phẳng trùng nhau.
c] Ta có $\frac{2}{3} = \frac{{ – 4}}{{ – 6}} = \frac{6}{9} \ne \frac{{ – 2}}{3}$ nên hai mặt phẳng song song.
Bài toán 3: Xác định giá trị của $m$ và $n$ để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song: a] $2x + ny + 2z + 3 = 0$ và $mx + 2y – 4z + 7 = 0.$
b] $2x + y + mz – 2 = 0$ và $x + ny + 2z + 8 = 0.$
a] Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi $\frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ – 4}} \ne \frac{3}{7}.$ Vậy $n = – 1$, $m = – 4.$ b] Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi $\frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{m}{2} \ne \frac{{ – 2}}{8}.$
Vậy $m = 4$, $n = \frac{1}{2}.$
Bài toán 4: Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng: $[P]:2x – y – 3z + 1 = 0$, $[Q]:x + 3y – 2z – 2 = 0$ và mặt phẳng $[R]:mx – [m + 1]y + [m + 5]z + 2 = 0$ với $m$ là một số thay đổi. a] Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ cắt nhau.
b] Tìm $m$ để cho mặt phẳng $[R]$ song song với mặt phẳng $[P].$
a] Ta có $2:[ – 1]:[ – 3] \ne 1:3:[ – 2]$ nên hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ cắt nhau. b] Điều kiện mặt phẳng $[R]$ song song với mặt phẳng $[P]$ là: $\frac{m}{2} = \frac{{ – [m + 1]}}{{ – 1}} = \frac{{m + 5}}{{ – 3}} \ne \frac{2}{1}.$ Từ $\frac{m}{2} = \frac{{ – [m + 1]}}{{ – 1}}$ ta suy ra $m= -2.$
Giá trị $m= -2$ thoả điều kiện nên với $m=-2$ thì hai mặt phẳng $[R]$ và $[P]$ song song.
Bài toán 5: Hãy xác định giá trị của $m$ để các cặp mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau: a] $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $x + 3y + 2z + 5 = 0.$
b] $5x + y – 3z – 2 = 0$ và $2x + my – 3z + 1 = 0.$
a] Hai VTPT $\vec n = [3; – 5;m]$, $\overrightarrow {n’} = [1;3;2].$ Điều kiện $2$ mặt phẳng vuông góc là: $\vec n.\overrightarrow {n’} = 0$ $ \Leftrightarrow 3.1 + [ – 5].3 + m.2 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 6.$ b] Hai VTPT $\vec n = [5;1; – 2]$, $\overrightarrow {n’} = [2;m; – 3].$
Điều kiện $2$ mặt phẳng vuông góc là: $\vec n.\overrightarrow {n’} = 0$ $ \Leftrightarrow 5.2 + 1.m + [ – 3].[ – 3] = 0$ $ \Leftrightarrow m = – 19.$
Bài toán 6: Cho hai mặt phẳng có phương trình là: $2x – my + 3z – 6 + m = 0$ và $[m + 3]x – 2y + [5m + 1]z – 10 = 0.$ a] Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó song song; trùng nhau; cắt nhau.
b] Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
a] Hai mặt phẳng đã cho có các vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow {{n_1}} [2; – m;3]$ và $\overrightarrow {{n_2}} = [m + 3; – 2;5m + 1].$ Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right]$ $ = \left[ { – 5{m^2} – m + 6; – 7m + 7;{m^2} + 3m – 4} \right].$ Hai vectơ đó cùng phương khi và chỉ khi $\left[ {{{\vec n}_1};{{\vec n}_2}} \right] = \vec 0$, tức là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 5{m^2} – m + 6 = 0}\\ { – 7m + 7 = 0}\\ {{m^2} + 3m – 4 = 0} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 1,m = – \frac{6}{5}}\\ {m = 1}\\ {m = 1,m = – 4} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 1.$ Khi đó hai mặt phẳng có phương trình là $2x – y + 3z – 5 = 0$ và $4x – 2y + 6z – 10 = 0$ nên chúng trùng nhau. Vậy không có giá trị $m$ nào để hai mặt phẳng đó song song. Khi $m=1$ thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Khi$m \ne 1$ thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.
b] Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$ $ \Leftrightarrow 2[m + 3] + 2m + 3[5m + 1] = 0$ $ \Leftrightarrow 19m + 9 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{9}{{19}}.$
Bài toán 7: Cho ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ lần lượt có các phương trình sau: $Ax + By + Cz + {D_1} = 0$, $Bx + Cy + Az + {D_2} = 0$, $Cx + Ay + Bz + {D_3} = 0$ với điều kiện ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0.$
Chứng minh nếu $AB + BC + CA = 0$ thì ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ đôi một vuông góc với nhau.
Các vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ lần lượt là: $\overrightarrow {{n_P}} = [A;B;C]$, $\overrightarrow {{n_Q}} = [B;C;A]$, $\overrightarrow {{n_R}} = [C;A;B].$ Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = AB + BC + CA = 0.$ $\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_R}} = AB + BC + CA = 0.$ $\overrightarrow {{n_R}} .\overrightarrow {{n_P}} = AB + BC + CA = 0.$ no.nr = AB + BC + CA = 0. và na no = AB + BC + CA = 0.
Vậy ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ đôi một vuông góc với nhau.
Bài toán 8: Xác định các giá trị $p$ và $m$ để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng: $5x + py + 4z + m = 0$, $3x – 7y + z – 3 = 0$, $x – 9y – 2z + 5 = 0.$
Các điểm chung trên hai mặt phẳng $3x – 7y + z – 3 = 0$ và $x – 9y – 2z + 5 = 0$ có toạ độ thoả mãn hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x – 7y + z – 3 = 0}\\ {x – 9y – 2z + 5 = 0} \end{array}} \right. .$ Cho $y = 0$ $ \Rightarrow x = \frac{1}{7}$, $z = \frac{{18}}{7}$ suy ra $A\left[ {\frac{1}{7};0;\frac{{18}}{7}} \right].$ Cho $z = 0$ $ \Rightarrow x = \frac{{31}}{{10}}$, $y = \frac{9}{{10}}$ suy ra $B\left[ {\frac{{31}}{{10}};\frac{9}{{10}};0} \right].$ Ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng khi mặt phẳng $5x + py + 4z + m = 0$ đi qua hai điểm $A$ và $B.$ Thay toạ độ của các điểm $A$, $B$ vào phương trình mặt phẳng $5x + py + 4z + m = 0.$ Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{5}{7} + \frac{{72}}{7} + m = 0}\\ {\frac{{155}}{{10}} + \frac{{9p}}{{10}} + m = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = – 11}\\ {p = – 5} \end{array}} \right. .$
Vậy $m = -11$ và $p = -5.$
Bài toán 9: Chứng tỏ rằng các mặt phẳng $[\alpha ]$, $[\beta ]$, $[\gamma ]$, $[\delta ]$ sau đây là các mặt phẳng chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật: $[\alpha ]:7x + 4y – 4z + 30 = 0.$ $[\beta ]:36x – 51y + 12z + 17 = 0.$ $[\gamma ]:7x + 4y – 4z – 6 = 0.$
$[\delta ]:12x – 17y + 4z – 3 = 0.$
Mặt phẳng $[\alpha ]$ song song với mặt phẳng $[\gamma ]$ vì: $\frac{7}{{14}} = \frac{4}{8} = \frac{{ – 4}}{{ – 8}} \ne \frac{{30}}{{ – 12}}.$ Mặt phẳng $[\beta ]$ song song với mặt phẳng $[\delta ]$ vì: $\frac{{36}}{{12}} = \frac{{ – 51}}{{ – 17}} = \frac{{12}}{4} \ne \frac{{17}}{{ – 3}}.$ Mặt phẳng $[\alpha ]$ vuông góc với mặt phẳng $[\beta ]$ vì: $7.36 + 4[ – 51] + [ – 4].12$ $ = 252 – 204 – 48 = 0.$
Vậy bốn mặt phẳng $[\alpha ]$, $[\beta ]$, $[\gamma ]$, $[\delta ]$ là các mặt phẳng chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật trong đó: $[\alpha ]//[\gamma ]$ và $[\beta ]//[\delta ]$ và $[\alpha ] \bot [\beta ].$
- Kiến thức Tọa độ không gian Oxyz
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Thầy Lê Thành Đạt [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt
Cho 2 mặt phẳng [P] và [Q]. Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Hai mặt phẳng [P] và [Q] không có đường thẳng chung, tức là:
[P] ⋂ [Q] = ∅ ⇔ [P] // [Q].
b. Hai mặt phẳng [P] và [Q] chỉ có một đường thẳng chung, tức là:
[P] ⋂ [Q] = a ⇔ [P] cắt [Q].
c. Hai mặt phẳng [P] và [Q] có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:
[P] ⋂ [Q] = {a, b} ⇔ [P] ≡ [Q].
[P] ⋂ [Q] = ∅ ⇔ [P] // [Q].
[P] ⋂ [Q] = a ⇔ [P] cắt [Q].
Quảng cáo
[P] ⋂ [Q] = {a, b} ⇔ [P] ≡ [Q].
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Định lí 1: Nếu mặt phẳng [P] chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng [Q] thì [P] song song [Q].
Tức là:
3. Tính chất
Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Tức là: O ∉ [P] ⇒ ∃! [Q]:
Cách dựng:
+ Trong [P] dựng a, b cắt nhau.
+ Qua O dựng a1 // a, b1 // b.
+ Mặt phẳng [a1, b1] là mặt phẳng qua O và song song với [P].
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng [Q] thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng [P] song song với [Q].
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng [P] và [Q] song song thì mặt phẳng [R] đã cắt [P] thì phải cắt [Q] và các giao tuyến của chúng song song.
Tức là:
Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Tức là:
Quảng cáo
4. Hình lăng trụ và hình hộp
Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.
Trong đó:
+ Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
+ Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.
+ Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …
Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:
a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.
b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.
c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
5. Hình chóp cụt
Định nghĩa: Cho hình chóp S.A1A2…An. Một mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh SA1, SA2,…, SAn theo thứ tự tại A'1, A'2,…, A'n. Hình tạo bởi thiết diện A'1A'2…A'n và đáy A1A2…An của hình chóp cùng với các mặt bên A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2,…, AnA1A'1A'n gọi là một hình chóp cụt.
Trong đó:
+ Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
+ Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.
+ Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như A1A'1, A2A'2,…, AnA'n gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.
Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…
Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:
1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
tong-hop-ly-thuyet-chuong-duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian-quan-he-song-song.jsp