- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Câu 1 [2,5 điểm]:
Cho biểu thức \[P = \left[ {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right]:\dfrac{1}{{{x^2} - 4}}\]
a] Tìm điều kiện củaxđểPcó nghĩa và rút gọnP.
b] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP.
c] Tìm các số nguyênxđể \[P \vdots \left[ {{x^2} + 1} \right]\].
Câu 2 [2điểm]:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\[A\left[ x \right] = 2{x^2} + x - 3\]
\[B\left[ {a;b;c} \right] = \left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right] + abc\]
Câu 3 [1điểm]:
Cho hai đa thức \[P\left[ x \right] = {x^3} + ax + b\]và \[Q\left[ x \right] = {x^2} - 3x + 2\]. Xác định các hệ sốa, bsao cho với mọi giá trị củaxthì \[P\left[ x \right] \vdots Q\left[ x \right]\].
Câu 4 [3,5 điểm]:
Cho hình thoiABCDcó gócDbằng \[{60^o}\]. GọiE, H, G, Flần lượt là trung điểm củaAB, BC, CDvàDA.
a] Chứng minh tứ giácEFGHlà hình chữ nhật.
b] ChoAGcắtHFtạiJ. Chứng minh rằng \[HF = 4FJ\].
c] GọiIlà trung điểm củaFJvàPlà giao điểm củaEHvàDB. Chứng minhIGvuông góc vớiIP.
d] Cho \[AB = 2cm\]. Tính độ dàiIP.
Câu 5 [1 điểm]:
a] Cho ba sốa, b, cthỏa mãn \[\left[ {a + b + c} \right]\left[ {ab + bc + ca} \right] = 2017\] và \[abc = 2017\].
Tính giá trị của biểu thức \[P = \left[ {{b^2}c + 2017} \right]\left[ {{c^2}a + 2017} \right]\left[ {{a^2}b + 2017} \right]\].
b] [Dành riêng cho lớp 8A] Tìm các số tự nhiênx, nsao cho số \[p = {x^4} + {2^{4n + 2}}\] là một số nguyên tố.
LG bài 1
Lời giải chi tiết:
a] Tìm điều kiện củaxđểPcó nghĩa và rút gọnP.
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\8 - {x^3} \ne 0\\x + 2 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 2\]
\[\begin{array}{l}P = \left[ {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right]:\dfrac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{{x^3} - 8}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right]:\dfrac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 2x + 4} \right]}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right]:\dfrac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}} \right].\left[ {{x^2} - 4} \right]\\\;\;\; = \dfrac{{x + 2 + {x^2}}}{{{x^2} - 4}}.\left[ {{x^2} - 4} \right] = {x^2} + x + 2.\end{array}\]
b] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP.
\[P = {x^2} + x + 2 = \left[ {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{7}{4} = {\left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4}\]với mọi \[x \ne \pm 2\]
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\]
Vậy \[{\min _P} = \dfrac{7}{4}\] đạt được khi \[x = - \dfrac{1}{2}\]
c] Tìm các số nguyênxđể \[P \vdots \left[ {{x^2} + 1} \right]\].
Để \[P \vdots \left[ {{x^2} + 1} \right]\] thì phép chia trên phải có số dư là 0 \[ \Rightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\]
Vậy \[x = - 1.\]
LG bài 2
Lời giải chi tiết:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\[A\left[ x \right] = 2{x^2} + x - 3 = 2{x^2} + 3x - 2x - 3 = x\left[ {2x + 3} \right] - \left[ {2x + 3} \right] = \left[ {2x + 3} \right]\left[ {x - 1} \right]\]
\[\begin{array}{l}B\left[ {a;b;c} \right] = \left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right] + abc = \left[ {ab + ac + {b^2} + bc} \right]\left[ {c + a} \right] + abc\\ = abc + {a^2}b + a{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + a{b^2} + b{c^2} + abc + abc\\ = \left[ {{a^2}b + abc + {a^2}c} \right] + \left[ {a{b^2} + {b^2}c + abc} \right] + \left[ {abc + b{c^2} + a{c^2}} \right]\\ = a[ab + bc + ca] + b[ab + bc + ca] + c[ab + bc + ca]\\ = \left[ {a + b + c} \right][ab + bc + ca]\end{array}\]
LG bài 3
Lời giải chi tiết:
Cho hai đa thức \[P\left[ x \right] = {x^3} + ax + b\] và \[Q\left[ x \right] = {x^2} - 3x + 2\]. Xác định các hệ sốa, bsao cho với mọi giá trị củaxthì \[P\left[ x \right] \vdots Q\left[ x \right]\].
Để \[P\left[ x \right] \vdots Q\left[ x \right]\] với mọi giá trị củax\[ \Leftrightarrow \left[ {a + 7} \right]x + b - 6 = 0\]với mọi giá trị củax
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 7 = 0\\b - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 7\\b = 6\end{array} \right.\]
Vậy với \[a = - 7\] và \[b = 6\] thì \[P\left[ x \right] \vdots Q\left[ x \right]\] với mọi giá trị củax.
LG bài 4
Lời giải chi tiết:
Cho hình thoiABCDcó gócDbằng \[{60^o}\]. GọiE, H, G, Flần lượt là trung điểm củaAB, BC, CDvàDA.
a] Chứng minh tứ giácEFGHlà hình chữ nhật.
Ta cóABCDlà hình thoi \[ \Rightarrow AC \bot BD\] [tính chất] [1]
CóE, Flần lượt là trung điểm củaABvàDA[gt]
\[ \Rightarrow \]EFlà đường trung bình trong tam giácABD\[ \Rightarrow \]EF//BD [2]
CóF, Glần lượt là trung điểm củaADvàCD[gt]
\[ \Rightarrow \]FGlà đường trung bình trong tam giácDAC\[ \Rightarrow \]FG//AC [3]
Từ [1], [2], [3] \[ \Rightarrow EF \bot FG\] [từ vuông góc đến song song]
Tương tự \[ \Rightarrow FG \bot GH\,\,;\,\,GH \bot HE\,\,;\,\,HE \bot EF\]
\[ \Rightarrow \]EFGHlà hình chữ nhật [dhnb]
b] ChoAGcắtHFtạiJ. Chứng minh rằng \[HF = 4FJ\].
Ta cóF, Hlần lượt là trung điểm củaADvàBC
\[ \Rightarrow \]FHlà đường trung bình của hình thoiABCD\[ \Rightarrow \]FH//AB//CDvà \[FH = AB = CD\]
Xét tam giácADGcóFlà trung điểm củaAD,FJ//DG[FH//CD]
\[ \Rightarrow \]Jlà trung điểm củaAG\[ \Rightarrow \]FJlà đường trung bình trong tam giácADG
\[ \Rightarrow FJ = \dfrac{1}{2}DG = \dfrac{1}{4}CD = \dfrac{1}{4}HF\][doGlà trung điểm củaCDnên \[DG = \dfrac{1}{2}CD\]]
\[ \Rightarrow HF = 4FJ\] [đpcm]
c] GọiIlà trung điểm củaFJvàPlà giao điểm củaEHvàDH. Chứng minhIGvuông góc vớiIP.
GọiACcắtBDtạiO\[ \Rightarrow DO = \dfrac{1}{2}BD\,\,;\,\,OC = OA = \dfrac{1}{2}AC\] [tính chất]
Xét tam giácACDcó \[DA = DC\] [ABCDlà hình thoi], \[\angle D = {60^o}\] [gt]
\[ \Rightarrow \]\[\Delta ACD\] đều [dhnb] \[ \Rightarrow AC = CD\,\]\[;\,\,DO = AG\][tính chất]
\[ \Rightarrow AG\] vừa là trung tuyến vừa là đường cao \[ \Rightarrow AG \bot CD \Rightarrow AG \bot HF\] [từ vuông góc đến song song]
GọiFGcắtBDtạiM
Xét tam giácODAcóFlà trung điểm củaAD,FM//OA[FG//AC]
\[ \Rightarrow \]Mlà trung điểm củaOD\[ \Rightarrow \]FMlà đường trung bình trong tam giácODA\[ \Rightarrow FM = \dfrac{1}{2}OA\]
Tương tự ta cũng được \[GM = \dfrac{1}{2}OC\] mà \[OA = OC\] [cmt] \[ \Rightarrow FM = GM\]
\[ \Rightarrow \]Mlà trung điểm củaFG
\[ \Rightarrow \]IMlà đường trung bình trong tam giácFJG
\[ \Rightarrow \]IM//AGmà \[AG \bot HF\] [cmt]\[ \Rightarrow IM \bot HF\]
GọiPGcắtMHtạiK.
Dễ thấyPHGMlà hình chữ nhật [có 3 góc vuông]
\[ \Rightarrow \]Klà trung điểm củaPGvàHM; \[HM = PG\]
Có tam giácIMHvuông tạiI[\[IM \bot HF\]] cóKlà trung điểm củaHM
\[ \Rightarrow \]\[KI = \dfrac{1}{2}HM = \dfrac{1}{2}PG\]
\[ \Rightarrow \] Tam giácPIGvuông tạiI\[ \Rightarrow \]\[IG \bot IP\] [đpcm]
d] Cho \[AB = 2cm\]. Tính độ dàiIP.
Ta cóABCDlà hình thoi cóHFlà đường trung bình và\[\Delta ACD\] đều
\[ \Rightarrow AB = BC = CD = DA = AC = HF = 2cm\]
\[ \Rightarrow AG = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 cm \Rightarrow GJ = \dfrac{1}{2}AG = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}cm\] [Jlà trung điểm củaAG]
\[OC = OA = \dfrac{1}{2}AC = 1cm\] ; \[FG = EH = \dfrac{1}{2}AC = 1cm\]
\[OD = AG = \sqrt 3 cm \Rightarrow EF = GH = OD = \dfrac{1}{2}BD = \sqrt 3 cm\]
\[IJ = \dfrac{1}{2}FJ = \dfrac{1}{8}HF = \dfrac{1}{4}cm\] ; \[PH = MG = \dfrac{1}{2}FG = \dfrac{1}{2}cm\]
Áp dụng định lý Pytago cho tam giácGJIvuông tạiJta được:
\[IG = \sqrt {I{J^2} + G{J^2}} = \sqrt {\dfrac{1}{{16}} + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{4}\left[ {cm} \right]\]
Áp dụng định lý Pytago cho tam giácHPGvuông tạiHta được:
\[PG = \sqrt {P{H^2} + G{H^2}} = \sqrt {\dfrac{1}{4} + 3} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\left[ {cm} \right]\]
Áp dụng định lý Pytago cho tam giácPIGvuông tạiIta được:
\[IP = \sqrt {P{G^2} - I{G^2}} = \sqrt {\dfrac{{13}}{4} - \dfrac{{13}}{{16}}} = \dfrac{{\sqrt {39} }}{4}\left[ {cm} \right]\]
LG bài 5
Lời giải chi tiết:
a] Cho ba sốa, b, cthỏa mãn \[\left[ {a + b + c} \right]\left[ {ab + bc + ca} \right] = 2017\] và \[abc = 2017\].
Tính giá trị của biểu thức \[P = \left[ {{b^2}c + 2017} \right]\left[ {{c^2}a + 2017} \right]\left[ {{a^2}b + 2017} \right]\].
Theo câu 2 ta có \[\left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right] + abc = \left[ {a + b + c} \right][ab + bc + ca]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right] = \left[ {a + b + c} \right][ab + bc + ca] - abc = 2017 - 2017 = 0\\P = \left[ {{b^2}c + 2017} \right]\left[ {{c^2}a + 2017} \right]\left[ {{a^2}b + 2017} \right]\\\;\;\; = \left[ {{b^2}c + abc} \right]\left[ {{c^2}a + abc} \right]\left[ {{a^2}b + abc} \right]\\\;\;\; = bc\left[ {c + a} \right]ca\left[ {c + b} \right]ab\left[ {a + c} \right]\\\;\;\; = {a^2}{b^2}{c^2}\left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right] = 0.\end{array}\]
b] [Dành riêng cho lớp 8A] Tìm các số tự nhiênx, nsao cho số \[p = {x^4} + {2^{4n + 2}}\] là một số nguyên tố.
\[\begin{array}{l}p = {x^4} + {2^{4n + 2}} = {\left[ {{x^2}} \right]^2} + 2.{x^2}{.2^{2n + 1}} + {\left[ {{2^{2n + 1}}} \right]^2} - 2.{x^2}{.2^{2n + 1}}\\\;\;\; = {\left[ {{x^2} + {2^{2n + 1}}} \right]^2} - {x^2}{.2^{2n + 2}}\\\;\;\; = \left[ {{x^2} + {2^{2n + 1}} - x{{.2}^{n + 1}}} \right]\left[ {{x^2} + {2^{2n + 1}} + x{{.2}^{n + 1}}} \right].\end{array}\]
Với mọi số tự nhiênx, n\[ \Rightarrow {2^{2n + 1}} \ge {2^1} = 2 \Rightarrow {x^2} + {2^{2n + 1}} + x{.2^{n + 1}} \ge 2\]
Với mọi số tự nhiênx, n\[ \Rightarrow {2^{2n}}\] \[ \ge 1 \Rightarrow {x^2} + {2^{2n + 1}} - x{.2^{n + 1}} = {x^2} - 2x{.2^n} + {2^{2n}} + {2^{2n}} = {\left[ {x - {2^n}} \right]^2} + {2^{2n}} \ge 1\]
Đểplà một số nguyên tố \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {2^{2n + 1}} - x{.2^{n + 1}} = 1\\{x^2} + {2^{2n + 1}} + x{.2^{n + 1}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{2n + 1}} = 2\\x - {2^n} = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 1 = 1\\x = {2^n}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 0\\x = {2^0} = 1\end{array} \right..\]
Vậy với \[n = 0\]và \[x = 1\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 8 tại Tuyensinh247.com