Đề bài
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm là G. Biết rằng AB=6 và AC=8. Tính độ dài của các véc tơ \[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} \] và \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} \].
Câu 2. Cho hai hình bình hành ABCD và AMNP có chung đỉnh A. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {DP} = \overrightarrow {CN} \].
Câu 3. Cho hình bình hành ABDC tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác OCD. Hãy biểu thị \[\overrightarrow {BG} \] theo các véc tơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \].
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Theo định lí Pitago ta có: \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {36 + 64} = 10\]
Ta có \[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {CB} \] . Suy ra \[\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 10\]
Gọi M là trung điểm BC. Ta có \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM} \] .
Mà \[GM = \dfrac{1 }{3}AM = \dfrac{1 }{6}BC = \dfrac{10} {6} = \dfrac{5 }{ 3}\]
Vậy \[\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GM} } \right| = 2GM = \dfrac{10}{3}\]
Câu 2.
Ta có
\[\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {DP} \]
\[= \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AD} \]
\[ = \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AP} } \right] - \left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right] \]
\[= \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CN} \]
Câu 3.
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {BG} = \dfrac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right] \cr } \]
\[\begin{array}{l}
= \dfrac{1}{3}\left[ {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right]\\
= \dfrac{1}{3}\left[ {\dfrac{3}{2}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right]\\
= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right] + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
= - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AC}
\end{array}\]