Công thức tỉ số thể tích khối chóp tứ giác

+ Nếu điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$, $AM$ cắt $BC$ tại ${A}’$ thì: $\frac{{{S}_{MBC}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{M{A}’}{MA}.$
+ Nếu điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ thì: $\frac{{{S}_{BAM}}}{{{S}_{BAC}}}=\frac{BM}{BC}$, $\frac{{{S}_{CAM}}}{{{S}_{CAB}}}=\frac{CM}{CB}.$

+ Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì: ${{S}_{GBC}}={{S}_{GCA}}={{S}_{GAB}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.$
+ Nếu $M$ nằm trên đường trung bình ứng với cạnh $BC$ thì: $\frac{{{S}_{MBC}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{1}{2}.$

+ Nếu $M$ nằm trên đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ thì: $\frac{{{S}_{MBC}}}{{{S}_{ABC}}}=1.$

2] Tỉ số về khoảng cách

+ Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $[P]$ ở điểm $M$ thì: $\frac{d[A,[P]]}{d[B,[P]]}=\frac{AM}{BM}.$
+ Đường thẳng $\Delta$ song song với một mặt phẳng $[P]$ thì khoảng cách từ mọi điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ đến mặt phẳng $[P]$ bằng nhau.

3] Tỉ số về thể tích Cho khối chóp tam giác $S.ABC.$ + Trên ba đường thẳng $SA$, $SB$, $SC$ lần lượt lấy ba điểm ${A}’$, ${B}’$, ${C}’$ bất kỳ.

Ta có: $\frac{{{V}_{S.{A}'{B}'{C}’}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{A}’}{SA}.\frac{S{B}’}{SB}.\frac{S{C}’}{SC}.$

+ Nếu $M$ nằm trên cạnh $SC$ thì: $\frac{{{V}_{S.ABM}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SC}.$
+ Nếu $M$ nằm trong hình chóp và $SM$ cắt mặt phẳng $[ABC]$ tại điểm $S’$ thì: $\frac{{{V}_{M.ABC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{M{S}’}{S{S}’}.$

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left[ ABC \right]$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$. Mặt phẳng $\left[ P \right]$ qua $A$ và vuông góc với $SI$ cắt $SB$, $SC$ lần lượt tại $M$, $N$.Biết rằng ${{V}_{SAMN}}=\frac{1}{4}{{V}_{SABC}}$. Hãy tính ${{V}_{SABC}}.$

$BC\bot AI$ [do $\Delta ABC$ đều] và $BC\bot SA.$ Suy ra: $BC\bot \left[ SAI \right]$ $\Rightarrow BC\bot SI.$ $\left[ P \right]\bot SI$ $\Rightarrow \left[ P \right]\parallel BC.$ $\left\{ \begin{align} & \left[ P \right]\parallel BC \\ & \left[ P \right]\cap \left[ SBC \right]=MN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow MN\parallel BC$ $\Rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}.$ Theo giả thiết ta có: $\frac{{{V}_{SAMN}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{1}{4}.$ $\Rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{1}{2}.$ Suy ra $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SC.$ Trong tam giác $SBC$, $MN$ là đường trung bình của tam giác, gọi $H$ là giao điểm của $MN$ với $SI$ thì $H$ là trung điểm của $SI.$ Tam giác $SAI$ có trung tuyến $AI~\bot SI~$ [do $AI\subset \left[ P \right]\bot SI$] nên là tam giác cân tại $A$, suy ra $SA=AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Thể tích tứ diện $ABCD$: ${{V}_{SABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA$ $=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{2}$ $=\frac{{{a}^{3}}}{8}.$

Ví dụ 2. 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2a$. Gọi $M$, $N$ là các điểm thuộc $SB$, $SC$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{2}{3}$, $\frac{SN}{SC}=x$. a] Tính thể tích khối chóp $S.AMN$ theo $a$, $x.$ b] Tìm $x$ theo $a$ để mặt phẳng $[AMN]$ chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

2. Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại đỉnh $B$, $AB=a$, $SA=2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC$ cắt các cạnh $SB$, $SC$ lần lượt tại $H$, $K.$ Tính thể tích khối chóp $S.AHK$ theo $a.$

1.

a. Ta có ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$ $=\frac{1}{6}SA.AB.AC=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$ Áp dụng công thức tỉ số thể tích: $\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA.AM.SN}{SA.SB.SC}$ $=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{2x}{3}.$ Do đó: ${{V}_{S.AMN}}=\frac{2x}{3}{{V}_{S.ABC}}$ $=\frac{2x{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$. b. Mặt phẳng $[AMN]$ chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau $\Leftrightarrow \frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{2x}{3}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$.

2.

Vì $[AHK]\bot SC$ $\Rightarrow AH\bot SC$, nhưng $BC\bot [SAB]$ $\Rightarrow AH\bot BC$ do đó ta có $AH\bot [SBC]$ $\Rightarrow AH\bot SB.$ Tam giác vuông $SAB$ với đường cao $AH$ nên $\frac{SH}{SB}=\frac{SH.SB}{S{{B}^{2}}}$ $=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}$ hay $\frac{SH}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{4}{5}.$ Tương tự ta có $\frac{SK}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+C{{B}^{2}}}=\frac{2}{3}.$ Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{{{a}^{3}}}{3}.$

Vì thế $\frac{{{V}_{S.AHK}}}{V}=\frac{SH}{SB}.\frac{SK}{SC}=\frac{8}{15}$ $\Rightarrow {{V}_{S.AHK}}=\frac{8}{45}{{a}^{3}}.$

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=AB=a$, $SA\bot [ABCD]$ và đáy là hình chữ nhật. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, mặt phẳng $[ABG]$ cắt $SC$ tại $M$, cắt $SD$ tại $N.$ Đường thẳng $AN$ tạo với mặt phẳng đáy góc ${{30}^{0}}.$ Tính thể tích khối đa diện $MNABCD.$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$ nên $AG\cap SC=M$ là trung điểm của $SC.$ Mặt khác ta có $AB//CD$ nên $N$ là trung điểm của $SD.$ Do đó: $\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2}.$ $\frac{{{V_{S.ANM}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{4}.$ $\frac{{{V}_{S.ABMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{V}_{S.ABM}}}{2{{V}_{S.ABC}}}+\frac{{{V}_{S.ANM}}}{2{{V}_{S.ADC}}}=\frac{3}{8}.$ Góc hợp bởi $AN$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{NAD}={{30}^{0}}$, vì vậy: $AD = SA.\cot {30^0} = a\sqrt 3 $ $ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}.$

${V_{S.ABMN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}$ $ \Rightarrow {V_{MNABCD}} = {V_{S.ABCD}} – {V_{S.ABMN}}$ $ = \frac{{5\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}.$

Ví dụ 4. 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a$, $AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB$, $SD$; $M$ là giao điểm của $SC$ với $[AHK]$. Chứng minh rằng $SC\bot AM$ và tính thể tích khối chóp $S.AHMK$.

2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi ${C}’$ là trung điểm của $SC.$ Mặt phẳng $[\alpha ]$ qua $A{C}’$ và song song với $BD$ cắt $SB$, $SD$ lần lượt tại ${B}’$, ${D}’.$ Tính thể tích khối chóp $S.A{B}'{C}'{D}’.$

1.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}$ $=\frac{1}{3}SA.AB.AD=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$ ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}$ $=\frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$ Ta có $\left\{ \begin{align} & BC\bot AB \\ & BC\bot SA \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow BC\bot [SAB]$ $\Rightarrow BC\bot AH.$ Mặt khác $AH\bot SB$ nên suy ra $AH\bot [SBC]$ $\Rightarrow AH\bot SC.$ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được $AK\bot SC.$ Từ đó suy ra $SC\bot [AHK]$ nên $SC\bot AM$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $\frac{SH}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}$ $=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}}=\frac{3}{4}.$ $\frac{SK}{SD}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{3}{7}.$ $\frac{SM}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{3}{8}.$ Sử dụng công thức tỉ số thể tích ta có được: $\frac{{{V}_{S.AHM}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SH}{SB}.\frac{SM}{SC}=\frac{9}{32}$ $\Rightarrow {{V}_{S.AHM}}=\frac{9}{32}{{V}_{S.ABC}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}.$ $\frac{{{V}_{S.AKM}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\frac{SK}{SD}.\frac{SM}{SC}=\frac{9}{56}$ $\Rightarrow {{V}_{S.AKM}}=\frac{9}{56}{{V}_{S.ABC}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{56}.$ Vậy ${{V}_{S.AHMK}}={{V}_{S.AHM}}+{{V}_{S.AKM}}=\frac{33{{a}^{3}}\sqrt{3}}{224}$.

Chú ý: Ta có thể tính thể tích khối chóp $S.AHMK$ theo cách sau: ${{V}_{S.AHMK}}=\frac{1}{3}SM.{{S}_{AHMK}}.$

2.

Gọi $O$ là giao của hai đường chéo của hình thoi và $I=SO\cap A{C}’.$ Khi đó ${B}'{D}’$ qua $I$ và song song với $BD.$ Ta có $\frac{S{B}’}{SB}=\frac{S{D}’}{SD}=\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}$ [vì $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$]. Suy ra $\frac{{{V}_{S.A{B}'{C}’}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{B}’}{SB}.\frac{S{C}’}{SC}=\frac{1}{3}$ và $\frac{{{V}_{S.A{D}'{C}’}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\frac{S{D}’}{SD}.\frac{S{C}’}{SC}=\frac{1}{3}.$ Vậy $\frac{{{V}_{S.A{B}'{C}'{D}’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}$ $=\frac{{{V}_{S.A{D}'{C}’}}}{2{{V}_{S.ADC}}}+\frac{{{V}_{S.A{D}'{C}’}}}{2{{V}_{S.ADC}}}=\frac{1}{3}.$

Mà ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}$ $=\frac{2}{3}SA.{{S}_{ABD}}=\frac{1}{3}a.a.a.\sin {{60}^{0}}$ $=\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$ nên ${{V}_{S.A{B}'{C}'{D}’}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{\sqrt{3}}{18}{{a}^{3}}.$

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}’.$ Gọi $M$, $N$, $P$ nằm trên các cạnh ${A}'{B}’$, ${B}'{C}’$, $BC$ sao cho $\frac{B{M}’}{{A}'{B}’}=\frac{1}{2}$, $\frac{N{B}’}{{B}'{C}’}=\frac{2}{3}$, $\frac{PB}{BC}=\frac{1}{3}.$ Tính tỉ số thể tích hai phần khi chia lăng trụ bởi mặt phẳng $[MNP].$

$NP\cap {B}’B=E$, $EM\cap AB=Q.$ $\frac{EB}{E{B}’}=\frac{EQ}{EM}$ $=\frac{EP}{EN}=\frac{BP}{{B}’N}=\frac{1}{2}.$ Mặt phẳng $[MNP]$ chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa điểm $B$ có thể tích là ${{V}_{1}}$, phần còn lại có thể tích là ${{V}_{2}}.$ Gọi thể tích của khối lăng trụ là $V.$ Ta có: $d[E,[A’B’C’]] = 2.d[B,[A’B’C’]].$ $\frac{{{S_{B’MN}}}}{{{S_{A’B’C’}}}} = \frac{{B’M}}{{B’A’}}.\frac{{B’N}}{{B’C’}} = \frac{1}{3}.$ Nên ${{V}_{E.M{B}’N}}=\frac{1}{3}.2.d[B,[{A}'{B}'{C}’]].\frac{1}{3}{{S}_{{A}'{B}'{C}’}}=\frac{2}{9}V.$ $\frac{{{V_{E.QBP}}}}{{{V_{E.MB’N}}}} = {\left[ {\frac{{EB}}{{EB’}}} \right]^3} = \frac{1}{8}.$ $ \Rightarrow {V_1} = {V_{E.MB’N}} – {V_{E.QBP}}$ $ = \frac{7}{8}.\frac{2}{9}V = \frac{7}{{36}}V.$

$ \Rightarrow {V_2} = V – {V_1} = \frac{{29}}{{36}}V$ $ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{29}}.$

Ví dụ 6. Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có độ dài cạnh bằng $a.$ Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $I$ là tâm hình vuông $C{C}'{D}’D.$ Tính thể tích của các khối đa diện do mặt phẳng $[AMI]$ chia hình lập phương.

$AM\cap DC=N$, $NI$ cắt $C{C}’$, $D{D}’$ lần lượt tại $H$, $K.$ Mặt phẳng $[AMI]$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Khối đa diện chứa điểm $D$ có thể tích là ${{V}_{1}}$, khối đa diện còn lại có thể tích là ${{V}_{2}}.$ Thể tích của khối lập phương là $V={{a}^{3}}.$ Ta có $\frac{HC}{KD}=\frac{NC}{ND}$ $=\frac{NM}{NA}=\frac{NH}{NK}$ $=\frac{MC}{AD}=\frac{1}{2}.$ Nên ${{V}_{N.ADK}}=\frac{1}{3}.ND.{{S}_{ADK}}.$ $\Rightarrow {{V}_{N.ADK}}=\frac{2}{9}{{a}^{3}}.$ $\frac{{{V}_{N.MCH}}}{{{V}_{N.ADK}}}={{\left[ \frac{NC}{ND} \right]}^{3}}=\frac{1}{8}.$

Do đó: ${{V}_{1}}={{V}_{N.ADK}}-{{V}_{N.MCH}}$ $=\frac{7}{8}{{V}_{N.ADK}}=\frac{7}{36}{{a}^{3}}$, ${{V}_{2}}=\frac{29}{36}{{a}^{3}}.$

Ví dụ 7. 1. Cho $O$ là một điểm nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng $r.$ Gọi ${{h}_{A}}$, ${{h}_{B}}$, ${{h}_{C}}$, ${{h}_{D}}$ lần lượt là khoảng cách từ các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đến các mặt đối diện. Chứng minh : $\frac{1}{r}=\frac{1}{{{h}_{A}}}+\frac{1}{{{h}_{B}}}+\frac{1}{{{h}_{C}}}+\frac{1}{{{h}_{D}}}.$ 2. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Một mặt phẳng $[P]$ cắt $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ theo thứ tự tại $K$, $L$, $M$, $N.$ Chứng minh rằng:$\frac{SA}{SK}+\frac{SC}{SM}=\frac{SB}{SL}+\frac{SD}{SN}.$

3. Cho tứ diện $ABCD.$ Các điểm $M$, $N$, $P$ lần lượt nằm trên các cạnh $CB$, $BD$, $AC$ sao cho $BC=4BM$, $AC=3AP$, $BD=2BN.$ Mặt phẳng $[MNP]$ cắt $AD$ tại $Q.$ Tính tỉ số $\frac{AQ}{AD}$ và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện $ABCD$ được phân chia bởi mặt phẳng $[MNP].$

1.

Ta có: $\frac{{{V}_{O.BCD}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}r.{{S}_{BCD}}}{\frac{1}{3}{{h}_{A}}.{{S}_{BCD}}}=\frac{r}{{{h}_{A}}}$, $\frac{{{V}_{O.CAD}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{r}{{{h}_{B}}}$, $\frac{{{V}_{O.ABD}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{r}{{{h}_{C}}}$, $\frac{{{V}_{O.ABC}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{r}{{{h}_{D}}}.$ Suy ra: $\frac{r}{{{h}_{A}}}+\frac{r}{{{h}_{B}}}+\frac{r}{{{h}_{C}}}+\frac{r}{{{h}_{D}}}$ $=\frac{{{V}_{O.ABC}}+{{V}_{O.ABD}}+{{V}_{O.ACD}}+{{V}_{O.BCD}}}{{{V}_{ABCD}}}$ $=1.$ Do đó: $\frac{1}{r}=\frac{1}{{{h}_{A}}}+\frac{1}{{{h}_{B}}}+\frac{1}{{{h}_{C}}}+\frac{1}{{{h}_{D}}}.$

2.

Ta có ${{V}_{S.KMN}}+{{V}_{S.KML}}={{V}_{S.NLM}}+{{V}_{S.NLK}}$ $[*].$ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ${{S}_{ACD}}={{S}_{ACB}}={{S}_{ABD}}$ $={{S}_{CBD}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}.$ Do đó ${{V}_{S.}}_{ACD}={{V}_{S.}}_{ACB}={{V}_{S.}}_{ABD}$ $={{V}_{S.}}_{CBD}=\frac{1}{2}{{V}_{S.}}_{ABCD}.$ Vậy từ $[*]$ ta suy ra: $\frac{{{V}_{S.KMN}}}{{{V}_{S.ACD}}}+\frac{{{V}_{S.KML}}}{{{V}_{S.ABC}}}$ $=\frac{{{V}_{S.NLM}}}{{{V}_{S.DBC}}}+\frac{{{V}_{S.NLK}}}{{{V}_{S.DBA}}}.$ $\Rightarrow \frac{SK.SM.SN}{SA.SC.SD}+\frac{SK.SM.SL}{SA.SB.SC}$ $=\frac{SN.SL.SM}{SD.SB.SC}+\frac{SN.SL.SK}{SD.SB.SA}.$ $\Leftrightarrow \frac{SK.SL.SM.SN}{SA.SB.SC.SD}\left[ \frac{SB}{SL}+\frac{SD}{SN} \right]$ $=\frac{SK.SL.SM.SN}{SA.SB.SC.SD}\left[ \frac{SA}{SK}+\frac{SC}{SM} \right].$ $\Leftrightarrow \frac{SA}{SK}+\frac{SC}{SM}$ $=\frac{SB}{SL}+\frac{SD}{SN}.$

3.

Gọi $E$ là giao điểm của $MN$ và $CD.$ Điểm $Q$ chính là giao điểm của $AD$ và $PE.$ Ta có $\frac{ED}{EC}=\frac{MB}{MC}.\frac{ND}{NB}=\frac{1}{3}$ nên $\frac{QA}{QD}=\frac{PA}{PC}.\frac{EC}{ED}=\frac{3}{2}$, do đó $\frac{AQ}{AD}=\frac{3}{5}.$ Gọi $V$, ${{V}_{1}}$, ${{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích khối tứ diện $ABCD$, khối đa diện chứa điểm $A$ và khối đa diện chứa điểm $D$ khi chia khối tứ diện bởi mặt phẳng $[MNP]$ chia khối tứ diện. Ta có ${{V}_{1}}={{V}_{ABMN}}+{{V}_{AMPN}}+{{V}_{APQN}}.$ Vì $\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{BCD}}}=\frac{BM.BN}{BC.BD}=\frac{1}{8}$ và $\frac{{{S}_{MNC}}}{{{S}_{BCD}}}=\frac{3}{8}$, $\frac{{{S}_{DNC}}}{{{S}_{BCD}}}=\frac{1}{2}$ nên ${{V}_{ABMN}}=\frac{1}{8}V$, ${{V}_{AMPN}}=\frac{1}{3}V.$ ${{V}_{APQN}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{5}{{V}_{ADNC}}=\frac{1}{10}V.$ ${{V}_{1}}=\frac{7}{20}V$ $\Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{7}{20}V.$

${{V}_{2}}=\frac{13}{20}V$ $\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{13}.$

C. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài tập 1. 1. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $M$, $N$, $E$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $AD$, $SC$. Tính tỷ số thể tích hai phần của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng $\left[ MNE \right]$.

2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $E$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $AD$, $SC.$ Tính tỉ số thể tích hai phần của khối chóp $S.ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $[MNE].$

Bài tập 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot [ABC]$, $SA=a$, $AB=b$, $AC=c$, $\widehat{BAC}=\alpha .$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ trên các đường thẳng $SB$, $SC.$ a] Chứng minh rằng ${{V}_{SAMN}}:{{V}_{SABC}}$ không phụ thuộc vào độ lớn $\alpha .$ b] Tính $a$ theo $b$, $c$ biết rằng mặt phẳng $[AMN]$ chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.

c] Tính thể tích của khối chóp $S.AMN.$

Bài tập 3. 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có $A{A}’=a$, $AB=b$, $AD=c.$ Mặt phẳng qua $A$, $C$ và trung điểm của ${A}'{B}’$ chia khối chữ nhật thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần. 2. Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ cạnh $a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ chia đoạn $CD$ theo tỉ số $-2.$ Mặt phẳng $[{A}’MN]$ chia khối lập phương thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần.

3. Cho khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ và $M$ là trung điểm ${B}'{C}’.$ Mặt phẳng $[\alpha ]$ chứa $AM$ và song song với ${B}'{D}’$ chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Bài tập 4. 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $\widehat{ASC}={{90}^{0}}$, $SA$ lập với đáy góc $\alpha$ $[{{0}^{0}}