Cùng tìm hiểu và ôn lại công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cùng Quantrimang.com trong bài viết dưới đây nhé.
Mục lục bài viết
- Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
- Mặt cầu là gì?
- Khối cầu là gì?
- Công thức tính diện tích mặt cầu
- Công thức tính thể tích hình cầu:
- Ví dụ về tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Mặt cầu là gì?
Mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi r trong không gian 3 chiều. Điểm O gọi là tâm và khoảng cách r gọi là bán kính của mặt cầu.
Khối cầu là gì?
Khối cầu là tập hợp những điểm nằm trong mặt cầu và mặt cầu được gọi là hình cầu hay khối cầu có tâm O bán kính là r = OA.
Công thức tính diện tích mặt cầu
Diện tích mặt cầu bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn, bằng bốn lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu.
Công thức tính thể tích hình cầu:
Thể tích hình cầu hay còn được gọi là thể tích khối cầu được tính bằng ba phần tư của Pi nhân với lập phương bán kính hình cầu.
Trong đó:
- S là diện tích mặt cầu
- V là thể tích hình cầu
- r là bán kính mặt cầu/hình cầu
- d là bánh kính mặt cầu/hình cầu
Ví dụ về tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Bài 1: Cho hình tròn có chu vi là 31,4 cm. Hãy tính thể tích hình cầu có bán kính bằng bán kính của hình tròn vừa cho.
Giải:
Chu vi hình tròn C = 2πr = 31.4 cm
=> Bán kính r = C/2π = 5 cm
Thể tích khối cầu đã cho là:
V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.[5]³ = 523,3 cm³
Bài 2: Tính thể tích khối cầu có đường kính d = 4 cm.
Giải:
Bán kính r = d/2 = 2 cm
Thể tích khối cầu là:
V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.[2]³ = 33,49 cm³
Bài 3:
Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng bao nhiêu?
Giải: Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.
Thể tích khối cầu là:
Bài 4:
Mặt cầu có bán kính R√3 có diện tích là:
A. 4√3πR2 . B. 4πR2 . C. 6πR2 . D. 12πR2 .
Giải: Áp dụng công thức: S = 4πR2
Diện tích mặt cầu có bán kính R√3 là:
S = 4π[R√3]2 = 12πR2 .
Chọn D.
Hai công thức ngắn gọn thôi nhưng để nhớ lâu dài thì cũng tương đối khó đấy. Bookmark bài viết và mở ra khi bạn cần nhé. Hi vọng bài viết hữu ích với bạn.
Ngoài công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu ở trên, các bạn có thể tham khảo thêm công thức tính diện tích của một số hình cơ bản khác như hình tam giác, hình chữ nhật, hình bình hành...
Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp đường tròn
Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón $\Rightarrow R=OI,r=IB,h=SI$
Ta có $\Delta SEO\sim\Delta SIB\Rightarrow \frac{OE}{IB}=\frac{SO}{SB}\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{h-R}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}}$
Vậy mối liên hệ cần tìm là $$
Hình nón nội tiếp hình cầu
Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn
Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón
Ta có ${{x}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$ mà $x=h-R\Rightarrow {{\left[ h-R \right]}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$
Vậy mối liên hệ cần tìm là $$
Hình nón ngoại tiếp hình trụ
Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp hình chữ nhật, cụ thể là tam giác SAB [thiết diện qua trục hình nón] và hình chữ nhật MNPO [thiết diện qua trục hình trụ]
Bài toán: Gọi R, h, R’, H’ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình nón; bán kính đáy và chiều cao hình trụ $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} R=IA \\ {} h=SI \\ \end{array} \right.;\left\{ \begin{array} {} R'=IN \\ {} h=OI \\ \end{array} \right.$
Ta có $\Delta AMN\sim\Delta ASI\Rightarrow \frac{MN}{SI}=\frac{AN}{AI}\Rightarrow \frac{h'}{h}=\frac{R-R'}{R}$
Vậy mối liên hệ cần tìm là $$
| Bài tập 1: Cho hình cầu bán kính bằng 5 cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường tròn đường kính 4 cm. Tính thể tích khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm của hình cầu đã cho. A. $\approx 19,18c{{m}^{3}}$ B. $\approx 19,20c{{m}^{3}}$ C. $\approx 19,21c{{m}^{3}}$ D. $\approx 19,19c{{m}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra, ta có R = 5 cm, r = 2 cm
Chiều cao của khối nón là $h=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{21}cm$
Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{4\sqrt{21}\pi }{3}\approx 19,20c{{m}^{3}}$.
Chọn B.
| Bài tập 2: Cho mặt cầu [S] tâm O, bán kính R [không đổi]. Mặt phẳng [P] cách O một khoảng bằng x, [x< R] và cắt [S] theo giao tuyến là đường tròn [C] có tâm H. Gọi T là giao điểm của tia HO với [S]. Thể tích của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn [C] bằng A. $\frac{\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]}{6}$ B. $2\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]$ C. $\frac{\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]}{3}$ D. $\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]$ |
Lời giải chi tiết
Bán kính đáy hình nón là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Chiều cao hình nón là $h=OT+OH=R+h$
Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right]\left[ R+h \right]}{3}$
Chọn C.
| Bài tập 3: Cho hình nón [N] có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó A. 4 B. 2 C. 6 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình cầu $\Rightarrow R=\frac{rh}{r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}}=\frac{6.8}{6+\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}}=3$
Chọn D.
| Bài tập 4: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2. Mặt phẳng [P] cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn [C]. Một khối nón [N] có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn [C]. Biết khối nón [N] có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng A. $x=\frac{2}{3}$ B. $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ C. $x=\frac{1}{3}$ D. $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Bài toán: Hình nón nội tiếp hình cầu.
Ta có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}$, với r là bán kính đáy hình nón
Chiều cao hình nón là $h=x+R$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \left[ {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right].\left[ x+R \right]$
Lại có $V=\frac{\pi }{6}.\left[ 2R-2x \right].\left[ R+x \right].\left[ R+x \right]\le \frac{\pi }{6}.\frac{{{\left[ 2R-2x+R+x+R+x \right]}^{3}}}{27}=\frac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2R-2x=R+x\Leftrightarrow x=\frac{R}{3}=\frac{2}{3}$
Chọn A.
| Bài tập 5: Cho hình nón tròn xoay [N] có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao SO = h. Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ? A. $x=\frac{h}{3}$ B. $x=\frac{h\sqrt{3}}{3}$ C. $x=\frac{h}{6}$ D.$x=\frac{h\sqrt{3}}{6}$ |
Lời giải chi tiết
Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình trụ $\Rightarrow \frac{h'}{h}=\frac{R-R'}{R}$
Với R’, h’ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao hình trụ $\Rightarrow x=\frac{h}{R}.\left[ R-R' \right]$
Thể tích khối trụ là $V=\pi R{{'}^{2}}x=\pi R{{'}^{2}}.\frac{h}{R}.\left[ R-R' \right]=\frac{\pi h}{R}.\left[ R{{'}^{2}}.[R-R'] \right]$
Ta có: $R{{'}^{2}}.\left[ R-R' \right]=4.\frac{R'}{2}.\frac{R'}{2}.[R-R']\le 4.\frac{{{\left[ \frac{R'}{2}+\frac{R'}{2}+R-R' \right]}^{3}}}{27}=\frac{4{{R}^{3}}}{27}$
Suy ra $V\le \frac{\pi h}{R}.\frac{4{{R}^{3}}}{27}=\frac{4\pi {{R}^{2}}h}{27}$. Dấu = xảy ra khi $\frac{R'}{2}=R-R'\Rightarrow R'=\frac{2}{3}R\Rightarrow x=\frac{h}{3}$.
Chọn A.