Chọn C.
Đặt t=logab, khi đó logab+6logba=5 trở thành
t+61t=5⇔t2−5t+6=0⇔t=2t=3.
Với t=2 suy ra: logab=2⇔b=a2.
Mặt khác 2≤a≤20202≤b≤2021b=a2⇒2≤a≤20202≤a2≤2021⇒2≤a≤20201,41≈2≤a≤2021≈44.96
Suy ra ta có 43 số a∈2;3;4;...;44, tương ứng có 43 số b∈ai2,i=2,44¯. Trường hợp này có 43 cặp.
Với t=3, suy ra: logab=3⇔b=a3.
Mặt khác a,b∈ℤ2≤a≤20202≤b≤2021b=a3⇒2≤a≤20202≤a3≤2021⇒2≤a≤20201.26≈23≤a≤20213≈12.64
Suy ra có 11 số a∈2;3;4;...;12, tương ứng có 11 số b∈ai3,i=2,12¯. Trường hợp này có 11 cặp.
Vậy có 43+11=54 cặp
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Có tất cả bao nhiêu cặp số a, b với a, b là các sổ nguyên dương thỏa mãn
log3[a+b]+[a+b]3=3a2+b2+3ab[a+b−1]+1
A.2
B.3
C.1
D.Vô số
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:Lời giải
Với a, b là các số nguyên dương, ta có
log3[a+b]+[a+b]3=3a2+b2+3ab[a+b−1]+1⇔ log3a3+b3a2+b2−ab+a3+b3+3ab[a+b]=3a2+b2−ab+3ab[a+b]+1⇔ log3a3+b3+a3+b3=log33a2+b2−ab+3a2+b2−ab
Xét hàm số f[t]=log3t+t trên [0;+∞]
f′[t]=1tln3+1>0,∀t>0 nên hàm số f[t] đồng biển trên [0;+∞]
Khi đó, phương trình [1] trở thành
fa3+b3=f3a2+b2−ab⇔a3+b3=3a2+b2−ab
⇔a2+b2−ab[a+b−3]=0⇔a2+b2−ab=0[*]a+b−3=0
Do a,b∈ℕ* nên phưong trinh [*] vô nghiệm. Suy ra a+b=3 Mà a, b là các sổ nguyên dương nên 0