Chuyên đề: Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn
Hôm nay, Timgiasuhanoi.com cùng các em ôn tậpChuyên đề Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn. Chuyên đề này cũng nằm trong chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán.
Các em cần phải thuộc, ghi nhớ lý thuyết về phương trình bậc nhất, bậc hai và định lý Vi et.
A. Lý thuyết:
I. Phương trình bậc nhất một ẩn
– Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: $ \displaystyle ax+b=0$ trong đó $ \displaystyle x$là ẩn số a , b là các số cho trước gọi là các hệ số $ \displaystyle \left[ a\ne 0 \right]$.
– Phương pháp giải: $ \displaystyle ax+b=0$ ⇔ $ \displaystyle ax=-b$ ⇔ $ \displaystyle x=\frac{-b}{a}$.
II. Phương trình bậc hai một ẩn
– Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ trong đó $ \displaystyle x$là ẩn số a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số $ \displaystyle \left[ a\ne 0 \right]$.
– Phương pháp giải:
+ Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ [a ≠ 0] là $ \displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac$
- $ \displaystyle \Delta >0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$,$ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
- $ \displaystyle \Delta =0$: Phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}$.
- $ \displaystyle \Delta 0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-{b}’+\sqrt{{{\Delta }’}}}{a}$, $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-{b}’-\sqrt{{{\Delta }’}}}{a}$.
- $ \displaystyle {\Delta }’=0$: Phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}={{x}_{2}}={{\frac{-b}{a}}^{\prime }}$.
- $ \displaystyle {\Delta }'0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5+1}{2}=3$;$ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5-1}{2}=2$
b]$ \displaystyle {{x}^{2}}-2x-1=0$
c]$ \displaystyle {{x}^{2}}-2x+10=0$
d]$ \displaystyle 9{{x}^{2}}+12x+4=0$
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước
Ví dụ:Gọi$ \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: $ \displaystyle {{x}^{2}}+x-2+\sqrt{2}=0$. Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:
$ \displaystyle A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}$;
$ \displaystyle B={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$;
$ \displaystyle C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$;
$ \displaystyle D={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$;
Hướng dẫn giải:
Ta có:$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=-1\\P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-2+\sqrt{2}\end{array} \right.$
$ \displaystyle A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}+{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{-1}{-2+\sqrt{2}}$.
$ \displaystyle B={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$ $ \displaystyle ={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $ \displaystyle =1-\left[ -2+\sqrt{2} \right]=3-\sqrt{2}$.
$ \displaystyle C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left[ {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right]}^{2}}}$ $ \displaystyle =\sqrt{{{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $ \displaystyle =\sqrt{1-4\left[ -2+\sqrt{2} \right]}=2\sqrt{2}-1$.
$ \displaystyle D={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$ $ \displaystyle ={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]$ $ \displaystyle =-1+3\left[ -2+\sqrt{2} \right]=-7+3\sqrt{2}$.Ôn thi Toán vào lớp 10 - Tags: bậc 2, bậc hai, bậc nhấtDạng toán: Rút gọn biểu thức chứa số
Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình vào lớp 10 năm 2017
Một số bài tập toán rèn kỹ năng ôn thi vào 10 năm học 2018-2019
Bài tập về hệ phương trình chứa tham số
Bài tập cơ bản Hình học ôn thi vào 10
Bài tập cơ bản về góc trong đường tròn
6 bài toán trực tâm của tam giác
I. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx +c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0]
Δ = b2 – 4ac
*] Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\]
*] Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}\,\]
*] Nếu Δ
III. Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] và b = 2b’
Δ’ = b’2 – ac
*] Nếu Δ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\]
*] Nếu Δ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a}\]
*] Nếu Δ’
IV. Hệ thức Viet và ứng dụng
1. Nếu \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] thì:
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 – Sx + P = 0 [Điều kiện để có u và v là S2 – 4P ≥ 0]
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\]
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{c}{a}\]
V. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 [a ≠ 0] có:
1. Có nghiệm [có hai nghiệm] ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương[lớn hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm[nhỏ hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0
B. Một số bài tập có lời giải
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a] \[2{{x}^{2}}-8=0\]
b] \[3{{x}^{2}}-5x=0\]
c] \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]
d] \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
e] \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]
f] \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
Giải
a] \[2{{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 2\]
b]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=0;x=\frac{5}{3}\]
c] \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-5=0\]
Nhẩm nghiệm:
Ta có: a – b + c = 2 + 3 – 5 = 0 => phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1\]; \[{{x}_{2}}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}\]
d] \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]-\left[ 2x+6 \right]=0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ x+3 \right]-2\left[ x+3 \right]=0\]\[\Leftrightarrow \left[ x+3 \right]\left[ {{x}^{2}}-2 \right]=0\]
e] \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}\left[ t\ge 0 \right].\] Ta có phương trình: \[{{t}^{2}}+3t-4=0\]
a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0
=> phương trình có nghiệm: \[{{t}_{1}}=1>0\] [thỏa mãn]; \[{{t}_{2}}=-\frac{4}{1}=-4
Với: \[t=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 1\]
f] \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
TXĐ: x ≠ 2, x ≠ 5
\[\Leftrightarrow \frac{\left[ x+2 \right]\left[ 2-x \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}+\frac{3\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}=\frac{6\left[ x-5 \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}\]
\[\Rightarrow \left[ x+2 \right]\left[ 2-x \right]+3\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]=6\left[ x-5 \right]\]
\[\Leftrightarrow 4-{{x}^{2}}+6x-3{{x}^{2}}-30+15x=6x-30\]
\[\Leftrightarrow -4{{x}^{2}}+15x+4=0\]
\[\Delta ={{15}^{2}}-4.\left[ -4 \right].4=225+64=289>0;\sqrt{\Delta }=17\]
=> phương trình có hai nghiệm:
\[{{x}_{1}}=\frac{-15+17}{2.\left[ -4 \right]}=-\frac{1}{4}\] [thỏa mãn ĐKXĐ]
\[{{x}_{2}}=\frac{-15-17}{2.\left[ -4 \right]}=4\] [thỏa mãn ĐKXĐ]
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] [1]
a/ Giải phương trình với m = – 2.
b/ Gọi \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình. Tính \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\] theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9.\]
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3.\] Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI.
a/ Thay m = – 2 vào phương trình [1] ta có phương trình:
\[{{x}^{2}}-2x+1=0\]
\[\Leftrightarrow {{\left[ x-1 \right]}^{2}}=0\]
\[\Leftrightarrow x-1=0\]
\[\Leftrightarrow x=1\]
Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] [1]
Ta có: \[\Delta ={{m}^{2}}-4\left[ m+3 \right]={{m}^{2}}-4m-12\]
Phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]\[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:
*] \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left[ -m \right]}^{2}}-2\left[ m+3 \right]={{m}^{2}}-2m-6\]
*] \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]={{\left[ -m \right]}^{3}}-3\left[ m+3 \right]\left[ -m \right]=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+9m\]
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{m}^{2}}-2m-6\]
Do đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-6=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-15=0\]
Δ’[m] = [-1]2 – 1.[-15] = 1 + 15 = 16 > 0
=> phương trình có hai nghiệm: \[{{m}_{1}}=\frac{1+4}{1}=5\]; \[{{m}_{2}}=\frac{1-4}{1}=-3\]
Thử lại :
+] Với \[m=5\Rightarrow \Delta =-7 loại.
+] Với \[m=-3\Rightarrow \Delta =9>0\] => thỏa mãn.
Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\]
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:
Hệ thức: \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\] [c]
Từ [a] và [c] ta có hệ phương trình:
Thay
vào [b] ta có phương trình:\[\left[ -3m-5 \right]\left[ 2m+5 \right]=m+3\]
\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-15m-10m-25=m+3\]
\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-26m-28=0\]
\[\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+13m+14=0\]
\[{{\Delta }_{\left[ m \right]}}={{13}^{2}}-4.3.14=1>0\]
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=\frac{-13+1}{2.3}=-2,{{m}_{2}}=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}\]
Thử lại:
+] Với \[m=-2\Rightarrow \Delta =0\] => thỏa mãn.
+] Với \[m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \Delta =\frac{25}{9}>0\] => thỏa mãn.
Vậy với \[m=-2;m=-\frac{7}{3}\] phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]
e/ Phương trình [1] có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3\]
\[\Leftrightarrow {{\left[ -3 \right]}^{2}}+m.\left[ -3 \right]+m+3=0\Leftrightarrow -2m+12=0\Leftrightarrow m=6\]
Khi đó: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6-\left[ -3 \right]\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-3\]
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=-3\].
f/ Phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow ac
Vậy với m < – 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
Vậy hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m là: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]-3=0\]
Bài 3: Cho phương trình [m-1]x2 + 2x – 3 = 0 [1] [tham số m]
a] Tìm m để [1] có nghiệm
b] Tìm m để [1] có nghiệm duy nhất? Tìm nghiệm duy nhất đó?
c] Tìm m để [1] có 1 nghiệm bằng 2? Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại [nếu có]?
HƯỚNG DẪN GIẢI.
a] + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì [1] có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] [là nghiệm]
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó [1] là phương trình bậc hai có: Δ’=12 – [-3][m-1] = 3m – 2
[1] có nghiệm ⇔ Δ’ = 3m-2 ≥ 0 \[\Leftrightarrow m\ge \frac{2}{3}\]
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với \[m\ge \frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm
b]
+ Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì [1] có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] [là nghiệm]
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó [1] là phương trình bậc hai có: Δ’ = 1 - [-3][m-1] = 3m - 2
[1] có nghiệm duy nhất ⇔ Δ’ = 3m-2 = 0 \[\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\] [thoả mãn m ≠ 1]
Khi đó \[x=-\frac{1}{m-1}=-\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=3\]
+] Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x=\frac{3}{2}\]
Với \[m=\frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c] Do phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=2\] nên ta có:
\[\left[ m-1 \right]{{2}^{2}}+2.2-3=0\Leftrightarrow 4m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}\] Khi đó [1] là phương trình bậc hai [do \[m-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}\ne 0\]]
Theo định lí Viet ta có: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{-3}{m-1}=\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12\] ⇒ x2 = 6
Vậy \[m=\frac{3}{4}\] và nghiệm còn lại là \[{{x}_{2}}=6\]
Bài 4. Cho phương trình: x2 - 2[m-1]x – 3 – m = 0
a] Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] với mọi m
b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c] Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d] Tìm m sao cho nghiệm số \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] của phương trình thoả mãn \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\]
e] Tìm hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}}\] và \[{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m
f] Hãy biểu thị \[{{x}_{1}}\] qua \[{{x}_{2}}\]
Bài 5. Cho phương trình: x2 + 2x + m - 1= 0 [m là tham số]
a] Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1\]
c] Lập phương trình ẩn y thoả mãn \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\]; với \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình ở trên
Bài viết gợi ý:
Video liên quan