Cho số phức z thỏa mãn zizi 1 3 2 8 giá trị nhỏ nhất M của 2;1 2 zi là

Hay nhất

Chọn B

Đặt \[z=a+bi\], với \[a,b\in {\rm R}\]. Khi đó ta có

\[\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2} \]

\[\Leftrightarrow \sqrt{[a+2]^{2} +[b-1]^{2} } +\sqrt{[a-4]^{2} +[b-7]^{2} } =6\sqrt{2} [*].\]

Giả sử xét các điểm \[N[a;b]\, ,\, A[-2;1]\, ,B[4;7]\]

\[\Rightarrow AB=6\sqrt{2}\] và phương trình đường thẳng \[AB: x-y+3=0.\]

\[[*] \Leftrightarrow NA+NB=AB\Rightarrow \]N thuộc đoạn thẳng AB.

Ta có \[\left|z-1+i\right|=\sqrt{[a-1]^{2} +[b+1]^{2} } =IN\]với điểm I[1;-1].

Dễ có hình chiếu của I nằm trong đoạn thẳng AB

Do đó \[d[I,AB]\le IN\le Max\left\{IA;\, IB\right\}\]
\[\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {M=IN_{\max } =IB=\sqrt{73} } \\ {m=IN_{\min } =d[I,AB]=\frac{5\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right. . \]
\[\Rightarrow P=\frac{5\sqrt{2} +2\sqrt{73} }{2}\]

• Câu hỏi:

  Cho hai số phức \[{{z}_{1}}\], \[{{z}_{2}}\] thỏa mãn \[\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5,\,\,\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\]. Giá trị nhỏ nhất của \[\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\] là

  Lời giải tham khảo:

  Đáp án đúng: A

  Giả sử \[{{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i\,\left[ {{a}_{1}},\,{{b}_{1}}\in \mathbb{R} \right]\], \[{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i\,\left[ {{a}_{2}},\,{{b}_{2}}\in \mathbb{R} \right]\].

  Ta có

  \[\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5\] \[\Leftrightarrow {{\left[ {{a}_{1}}+5 \right]}^{2}}+{{b}_{1}}^{2}=25\]. Do đó, tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức \[{{z}_{1}}\] là đường tròn \[\left[ C \right]:{{\left[ x+5 \right]}^{2}}+{{y}^{2}}=25\] có tâm là điểm \[I\left[ -5;\,0 \right]\] và bán kính \[R=5\]

  \[\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\]\[\Leftrightarrow {{\left[ {{a}_{2}}+1 \right]}^{2}}+{{\left[ {{b}_{2}}-3 \right]}^{2}}={{\left[ {{a}_{2}}-3 \right]}^{2}}+{{\left[ {{b}_{2}}-6 \right]}^{2}}\]

  \[\Leftrightarrow 8{{a}_{2}}+6{{b}_{2}}-35=0\]. Do đó tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức \[{{z}_{2}}\] là đường thẳng \[\Delta :8x+6y-35=0\]

  Khi đó, ta có \[\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB\].

  Suy ra \[{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=A{{B}_{\min }}\] \[=d\left[ I;\,\Delta  \right]-R\] \[=\frac{\left| 8.\left[ -5 \right]+6.0-35 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}-5\] \[=\frac{5}{2}\]

  Vậy giá trị nhỏ nhất của \[\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\] là \[\frac{5}{2}\].

Mã câu hỏi: 152332

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

CÂU HỎI KHÁC

• Cho số phức z thỏa mãn \[\left| z-2i \right|\le \left| z-4i \right|\] và \[\left| z-3-3i \right|=1\].
• Trong tập các số phức, cho phương trình \[{{z}^{2}}-6z+m=0\], \[m\in \mathbb{R}\] \[\left[ 1 \right]\]. Gọi \[{{m}_{0}}\] là một giá trị của \[m\] để phương trình \[\left[ 1 \right]\] có hai nghiệm phân biệt \[{{z}_{1}}\], \[{{z}_{2}}\] thỏa mãn \[{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\]. Hỏi trong khoảng \[\left[ 0;\,20 \right]\] có bao nhiêu giá trị \[{{m}_{0}}\in \mathbb{N}\]?
• Gọi số phức \[z=a+bi\], \[\left[ a,b\,\in \mathbb{R} \right]\] thỏa mãn \[\left| z-1 \right|=1\] và \[\left[ 1+i \right]\left[ \overline{z}-1 \right]\] có phần thực bằng \[1\] đồng thời \[z\] không là số thực. Khi đó \[a.b\] bằng :
• Cho số phức z thoả mãn\[\frac{1+i}{z}\] là số thực và \[\left| z-2 \right|=m\] với \[m\in \mathbb{R}\]. Gọi \[{{m}_{0}}\] là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
• Trong tập hợp các số phức, gọi \[{{z}_{1}}\], \[{{z}_{2}}\] là nghiệm của phương trình \[{{z}^{2}}-z+\frac{2017}{4}=0\], với \[{{z}_{2}}\] có thành phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn \[\left| z-{{z}_{1}} \right|=1\]. Giá trị nhỏ nhất của \[P=\left| z-{{z}_{2}} \right|\] là
• Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \[m\in S\] có đúng một số phức thỏa mãn \[\left| z-m \right|=6\] và \[\frac{z}{z-4}\] là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S
• Cho các số phức z thỏa mãn \[\left| z-i \right|=5\]. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức \[w=iz+1-i\] là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
• Cho số phức thỏa \[\left| z \right|=3\]. Biết rằng tập hợp số phức \[w=\overline{z}+i\] là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó.
• Cho số phức \[z=a+bi\] \[\left[ a,b\in \mathbb{R} \right]\] thỏa mãn \[z+2+i-\left| z \right|\left[ 1+i \right]=0\] và \[\left| z \right|>1\]. Tính \[P=a+b\].
• Đường nào dưới đây là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện \[\left| z-i \right|=\left| z+i \right|\]?
• Có bao nhiêu số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| z \right|=\left| z+\bar{z} \right|=1\]?
• Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \[z\] thỏa mãn \[2\left| z-1 \right|=\left| z+\bar{z}+2 \right|\] trên mặt phẳng tọa độ là một
• Tìm giá trị lớn nhất của \[P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|\] với z là số phức thỏa mãn \[\left| z \right|=1\].
• Cho số phức z và w thỏa mãn \[z+w=3+4i\] và \[\left| z-w \right|=9\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[T=\left| z \right|+\left| w \right|\].
• Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \[{{z}_{1}}=-1+i\], \[{{z}_{2}}=1+2i\], \[{{z}_{3}}=2-i\], \[{{z}_{4}}=-3i\]. Gọi S là diện tích tứ giác \[ABCD\]. Tính S
• Cho số phức z thoả mãn \[\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\]. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}\]. Tính môđun của số phức \[w=M+mi\].
• Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z; iz và \[z+iz\] tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Mô đun của số phức z bằng
• Cho số phức z thỏa mãn \[\left| z \right|=2\]. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \[w=3-2i+\left[ 2-i \right]z\] là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó bằng ?
• Cho số phức z thỏa mãn \[4\left| z+i \right|+3\left| z-i \right|=10\]. Giá trị nhỏ nhất của \[\left| z \right|\] bằng:
• Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \[{{z}_{1}}=1+i\], \[{{z}_{2}}=8+i\], \[{{z}_{3}}=1-3i\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
• Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \[\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1\]?
• Số phức \[z=a+bi\] [ với a, b là số nguyên] thỏa mãn \[\left[ 1-3i \right]z\] là số thực và \[\left| \overline{z}-2+5i \right|=1\]. Khi đó a+b là
• Cho hai số phức \[{{z}_{1}}\], \[{{z}_{2}}\] thỏa mãn \[\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5,\,\,\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\]. Giá trị nhỏ nhất của \[\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\] là
• Cho số phức \[w=x+yi\], \[\left[ x\,,\,y\in \mathbb{R} \right]\] thỏa mãn điều kiện \[\left| {{w}^{2}}+4 \right|=2\left| w \right|\]. Đặt \[P=8\left[ {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right]+12\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?
• Cho số phức \[z=a+bi\] \[\left[ a,\text{ }b\in \mathbb{R} \right]\] thỏa mãn \[z+1+3i-\left| z \right|i=0\]. Tính \[S=a+3b\].