Xét hệ x + m y = m + 1 1 m x + y = 2 m 2
Từ [2] ⇒ y = 2m – mx thay vào [1] ta được:
x + m [2m – mx] = m + 1
⇔ 2 m 2 – m 2 x + x = m + 1 ⇔ [ 1 – m 2 ] x = − 2 m 2 + m + 1
[ m 2 – 1 ] x = 2 m 2 – m – 1 [ 3 ]
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất [3] có nghiệm duy nhất
m 2 – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1 [ * ]
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 m + 1 m + 1 y = m m + 1
Ta có
x ≥ 2 y ≥ 1 ⇔ 2 m + 1 m + 1 ≥ 2 m m + 1 ≥ 1 ⇔ − 1 m + 1 ≥ 0 − 1 m + 1 ≥ 0 ⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < − 1
Kết hợp với [*] ta được giá trị m cần tìm là m < −1
Đáp án: B
Cho hệ pt
\[x+my=m+1\]
\[mx+y=3m-1\]
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất [x,y] thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất
Những câu hỏi liên quan
Cho hệ phương trình : x + m x = m + 1 1 m x + y = 3 m - 1 2
Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
A. m = 1
B. m = 0
C. m = 2
D. m = -1
Cho hệ phương trình: [[ x + my = m + 1 mx + y = 3m - 1 right. ] [[ 1 ] [ 2 ] ]
Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\] \[\begin{array}{l}\left[ 1 \right]\\\left[ 2 \right]\end{array}\]
Câu 35658 Vận dụng cao
Tìm số nguyên \[m\] sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {x,y} \right]\] mà $x,y$ đều là số nguyên.
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
+ Từ phương trình [2] biểu diễn \[y\] theo \[x.\]
+ Thế vào phương trình \[\left[ 1 \right]\] để được phương trình bậc nhất ẩn \[x.\]
+ Sử dụng kiến thức \[A.X + B = 0\] có nghiệm duy nhất khi \[A \ne 0.\]
+ Biến đổi theo yêu cầu $x;y \in Z$ để tìm ra điều kiện của \[m.\]
Câu 35657 Vận dụng cao
Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất \[\left[ {x;y} \right]\] thì điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] luôn chạy trên đường thẳng nào dưới đây?
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
+ Tìm \[m\] để hệ phương trình có nghiệm duy nhất [sử dụng kết quả câu trước ]
+ Tìm \[x;y\] theo \[m\] và biến đổi để có hệ thức của \[x;y\] độc lập với \[m.\]
Câu 35656 Vận dụng cao
Tìm \[m\] để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho \[x.y\] đạt giá trị nhỏ nhất
Đáp án đúng: b
Phương pháp giải
+ Tìm \[m\] để hệ phương trình có nghiệm duy nhất [sử dụng kết quả câu trước ]
+ Tìm \[x;y\] theo \[m\] và biến đổi để có \[x.y\] nhỏ nhất.
...
Hệ pt : \[\begin{cases}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{cases}\]
Xét pt đầu : \[x+my=m+1\Leftrightarrow x=m+1-my\] thay vào pt còn lại :
\[m\left[m+1-my\right]+y=3m-1\]
\[\Leftrightarrow y\left[1-m^2\right]=-m^2+2m-1\]
Nếu \[m=1\] thì pt có dạng 0.y = 0 => Vô số nghiệm.
Nếu m = -1 thì pt có dạng 0.x = -4 => vô nghiệm.
Xét với \[me1\] và \[me-1\] thì pt có nghiệm \[y=\frac{-\left[m-1\right]^2}{\left[1-m\right]\left[1+m\right]}=\frac{m-1}{m+1}\]
\[\Rightarrow x=m+1-m\left[\frac{m-1}{m+1}\right]=m+1-\frac{m^2-m}{m+1}=\frac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}\]
Xét \[xy=\frac{\left[m-1\right]\left[3m+1\right]}{\left[m+1\right]^2}=\frac{3m^2-2m-1}{\left[m+1\right]^2}\]
Đặt \[t=m+1\] thì \[m=t-1\] thay vào biểu thức trên được
\[\frac{3\left[t-1\right]^2-2\left[t-1\right]-1}{t^2}=\frac{3t^2-8t+4}{t^2}=\frac{4}{t^2}-\frac{8}{t}+3\]
Lại đặt \[a=\frac{1}{t}\] thì : \[4a^2-8a+3=4\left[a-1\right]^2-1\ge-1\]
Suy ra \[xy\ge-1\] . Dấu đẳng thức xảy ra khi \[a=1\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow m=0\]
Vậy với m = 0 thì xy đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1