Viết phương trình của Parabol $[P]$ biết rằng $[P]$ đi qua các điểm $A\left[ {0;\,\,2} \right],\,\,B\left[ { - 2;\,\,5} \right],\,\,C\left[ {3;\,\,8} \right]$
Cho phương trình của $\left[ P \right]:\,\,y = a{x^2} + bx + c\,\,\left[ {a \ne 0} \right]$ biết rằng hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left[ {2;\,\,0} \right],\,\,B\left[ { - 2;\,\, - 8} \right]$. Tình tổng ${a^2} + {b^2} + {c^2}$.
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 100:
1] Xét tam thức bậc hai f[x] = x2 – 5x + 4. Tính f[4], f[2], f[-1], f[0] và nhận xét về dấu của chúng.
2] Quan sát đồ thị hàm số y = x2 – 5x + 4 [h.32a]] và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dưới trục hoành.
3] Quan sát các đồ thị trong hình 32 và rút ra mối liện hệ về dấu của giá trị f[x] = ax2 + bx + c ứng với x tùy theo dấu của biệt thức Δ = b2 – 4ac.
Lời giải
a] f[x] = x2 – 5x +4
f[4]= 0; f[2] = -2 < 0; f[-1]= 10 > 0; f[0] = 4 > 0;
b] Với 1 < x < 4 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
Với x < 1 hoặc x > 4 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.
c] Hình 32a] có Δ > 0 ⇒ f[x] cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm của phương trình f[x] = 0; f[x] trái dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm của phương trình f[x] = 0.
Hình 32b] có Δ = 0 ⇒ f[x] cùng dấu với a, trừ khi x = – b/2a.
Hình 32c] có Δ < 0 ⇒ f[x] cùng dấu với a.
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 103: Xét dấu các tam thức
a] f[x] = 3x2 + 2x – 5;
b] g[x] = 9x2 – 24x + 16.
Lời giải
a] f[x] = 3x2 + 2x – 5 có hai nghiệm phân biệt x = 1; x = -5/3, hệ số a = 3 >0.
Ta có bảng xét dấu f[x] như sau:
b] g[x] = 9x2 – 24x + 16 = [3x – 4]2 > 0 ∀x.
Vậy g[x] > 0 ∀x.
Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 103: Trong các khoảng nào
a] f[x] = -2x2 + 3x + 5 trái dấu với hệ số của x2 ?
b] g[x] = -3x2 + 7x – 4 cùng dấu với hệ số của x2 ?
Lời giải
a] Với -1 < x < 5/2 thì f[x] trái dấu với hệ số của x2
b] Với x < 1 hoặc x > 4/3 thì g[x] cùng dấu với hệ số của x2
a] 5x2 – 3x + 1 ; b] -2x2 + 3x + 5
c] x2 + 12x + 36 ; d] [2x – 3][x + 5]
Lời giải
a] Tam thức f[x] = 5x2 – 3x + 1 có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f[x] cùng dấu với hệ số a.
Mà a = 5 > 0
Do đó f[x] > 0 với ∀ x ∈ R.
b] Tam thức f[x] = –2x2 + 3x + 5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.
Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0
Ta có bảng xét dấu:
Vậy f[x] > 0 khi x ∈ [–1; 5/2]
f[x] = 0 khi x = –1 ; x = 5/2
f[x] < 0 khi x ∈ [–∞; –1] ∪ [5/2; +∞]
c] Tam thức f[x] = x2 + 12x + 36 có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.
Ta có bảng xét dấu:
Vậy f[x] > 0 với ∀ x ≠ –6
f[x] = 0 khi x = –6
d] f[x] = [2x – 3][x + 5] = 2x2 + 7x – 15
Tam thức f[x] = 2x2 + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.
Ta có bảng xét dấu:
Vậy f[x] > 0 khi x ∈ [–∞; –5] ∪ [3/2; +∞]
f[x] = 0 khi x = –5 ; x = 3/2
f[x] < 0 khi x ∈ [–5; 3/2]
a] f[x] = [3x2 – 10x + 3][4x – 5]
b] f[x] = [3x2 – 4x][2x2 – x – 1]
c] f[x] = [4x2 – 1][-8x2 + x – 3][2x + 9]
Lời giải
a] f[x] = [3x2 – 10x + 3][4x – 5]
+ Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.
+ Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.
Ta có bảng xét dấu:
Kết luận:
f[x] > 0 khi x ∈ [1/3; 5/4] ∪ x ∈ [3; +∞]
f[x] = 0 khi x ∈ {1/3; 5/4; 3}
f[x] < 0 khi x ∈ [–∞; 1/3] ∪ [5/4; 3]
b] f[x] = [3x2 – 4x][2x2 – x – 1]
+ Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.
Do đó 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.
+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0
Do đó 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.
Ta có bảng xét dấu:
Kết luận:
f[x] > 0 ⇔ x ∈ [–∞; –1/2] ∪ [0; 1] ∪ [4/3; +∞]
f[x] = 0 ⇔ x ∈ {–1/2; 0; 1; 4/3}
f[x] < 0 ⇔ x ∈ [–1/2; 0] ∪ [1; 4/3]
c] f[x] = [4x2 – 1][–8x2 + x – 3][2x + 9]
+ Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0
Do đó 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2
+ Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn mang dấu –.
+ Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.
Ta có bảng xét dấu:
Kết luận:
f[x] > 0 khi x ∈ [–∞; –9/2] ∪ [–1/2; 1/2]
f[x] = 0 khi x ∈ {–9/2; –1/2; 1/2}
f[x] < 0 khi x ∈ [–9/2; –1/2] ∪ [1/2; +∞]
+ Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.
Do đó 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.
+ Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0
Do đó 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.
+ Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.
Do đó 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.
Ta có bảng xét dấu:
Kết luận:
f[x] > 0 ⇔ x ∈ [–√3; –1] ∪ [0; 1/3] ∪ [3/4; √3]
f[x] = 0 ⇔ x ∈ {±√3; 0; 1/3}
f[x] < 0 ⇔ x ∈ [–∞; –√3] ∪ [–1; 0] ∪ [1/3; 3/4] ∪ [√3; +∞]
f[x] không xác định khi x = -1 và x = 3/4.
a] 4x2 – x + 1 < 0
b] -3x2 + x + 4 ≥ 0
c]
d] x2 – x – 6 ≤ 0
Lời giải
a] 4x2 – x + 1 < 0
Cách 1:
Xét tam thức f[x] = 4x2 – x + 1 có Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f[x] > 0 ∀x ∈ R
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Cách 2:
với ∀x ∈ R.
Vậy bất phương trình 4x2 – x + 1 < 0 vô nghiệm.
b] -3x2 + x + 4 ≥ 0
Xét tam thức f[x] = -3x2 + x + 4 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.
Do đó f[x] ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-1; 4/3]
c] Điều kiện xác định
+ Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8
+ Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0
Do đó x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.
+ Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.
Do đó 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1
mang dấu – khi -4/3 < x < 1.
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-∞; -8] ∪ [-2; -4/3] ∪ [1; 2]
d] x2 – x – 6 ≤ 0
Xét tam thức f[x] = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0
Do đó f[x] ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-2; 3]
a] [m – 2]x2 + 2[2m – 3]x + 5m – 6 = 0
b] [3 – m]x2 – 2[m + 3]x + m + 2 = 0
Lời giải
a] [m – 2]x2 + 2[2m – 3]x + 5m – 6 = 0 [1]
– Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình [1] trở thành:
2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình [1] có một nghiệm
Do đó m = 2 không phải là giá trị cần tìm.
– Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:
Δ’ = [2m – 3]2 – [m – 2][5m – 6]
= 4m2 – 12m + 9 – 5m2 + 6m + 10m – 12
= -m2 + 4m – 3 = [-m + 3][m – 1]
[1] vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ [-m + 3][m – 1] < 0 ⇔ m ∈ [-∞; 1] ∪ [3; +∞]
Vậy với m ∈ [-∞; 1] ∪ [3; +∞] thì phương trình vô nghiệm.
b] [3 – m]x2 – 2[m + 3]x + m + 2 = 0 [2]
– Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó [2] trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6
Do đó m = 3 không phải là giá trị cần tìm.
– Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:
Δ’ = [m + 3]2 – [3 – m][m + 2]
= m2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m2 + 2m
= 2m2 + 5m + 3 = [m + 1][2m + 3]
[2] vô nghiệm ⇔Δ’ < 0⇔ [m + 1][2m + 3] < 0 ⇔ m ∈ [-3/2; -1]
Vậy với m ∈ [-3/2; -1] thì phương trình vô nghiệm.