Câu 47 trang 219 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao

\[\begin{array}{l}{f^{\left[ {4k + 1} \right]}}\left[ x \right] = \left[ {{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right]} \right]' = {2^{4k}}\sin 2x\\{f^{\left[ {4k + 2} \right]}}\left[ x \right] = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\{f^{\left[ {4k + 3} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\{f^{\left[ {4k + 4} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4k + 3}}\cos 2x\\= - {2^{4\left[ {k + 1} \right] - 1}}\cos 2x\end{array}\]
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
  • LG a
  • LG b

LG a

Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \tan x.\] Tính \[{f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right]\] với n = 1, 2, 3.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm \[\left[ {\tan x} \right]' = 1 + {\tan ^2}x\]

Lời giải chi tiết:

f[x] = 1 + tan2x

f[x] = 2tanx[1 + tan2x] = 2tanx + 2tan3x

f[3][x] = 2[1 + tan2x] + 2.3tan2x[1 + tan2x]

= 2+ 2tan2x + 6tan2x+ 6tan4x

= 2+ 8tan2x+ 6tan4x

LG b

Chứng minh rằng nếu \[f\left[ x \right] = {\sin ^2}x\] thì \[{f^{\left[ {4n} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\]

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Lời giải chi tiết:

\[{f^{\left[ {4n} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\] [1]

Với n = 1 ta có:

\[\begin{array}{l}
f'\left[ x \right] = 2\sin x\cos x=\sin 2x\\
f"\left[ x \right] = 2\cos 2x\\
{f^{\left[ 3 \right]}}\left[ x \right] = - 4\sin 2x\\
{f^{\left[ 4 \right]}}\left[ x \right] = - 8\cos 2x= - {2^{4.1 - 1}}\cos 2x
\end{array}\]

Vậy [1] đúng với n = 1

Giả sử [1] đúng với n = k tức là : \[{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4k - 1}}\cos 2x\]

Với n = k + 1 ta có :

\[\begin{array}{l}
{f^{\left[ {4k + 1} \right]}}\left[ x \right] = \left[ {{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right]} \right]' = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left[ {4k + 2} \right]}}\left[ x \right] = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left[ {4k + 3} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left[ {4k + 4} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4k + 3}}\cos 2x\\= - {2^{4\left[ {k + 1} \right] - 1}}\cos 2x
\end{array}\]

Vậy [1] đúng với n = k + 1 do đó [1] đúng với mọi n.

Video liên quan

Chủ Đề