- LG a
- LG b
LG a
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \tan x.\] Tính \[{f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right]\] với n = 1, 2, 3.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm \[\left[ {\tan x} \right]' = 1 + {\tan ^2}x\]
Lời giải chi tiết:
f[x] = 1 + tan2x
f[x] = 2tanx[1 + tan2x] = 2tanx + 2tan3x
f[3][x] = 2[1 + tan2x] + 2.3tan2x[1 + tan2x]
= 2+ 2tan2x + 6tan2x+ 6tan4x
= 2+ 8tan2x+ 6tan4x
LG b
Chứng minh rằng nếu \[f\left[ x \right] = {\sin ^2}x\] thì \[{f^{\left[ {4n} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\]
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
\[{f^{\left[ {4n} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\] [1]
Với n = 1 ta có:
\[\begin{array}{l}
f'\left[ x \right] = 2\sin x\cos x=\sin 2x\\
f"\left[ x \right] = 2\cos 2x\\
{f^{\left[ 3 \right]}}\left[ x \right] = - 4\sin 2x\\
{f^{\left[ 4 \right]}}\left[ x \right] = - 8\cos 2x= - {2^{4.1 - 1}}\cos 2x
\end{array}\]
Vậy [1] đúng với n = 1
Giả sử [1] đúng với n = k tức là : \[{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4k - 1}}\cos 2x\]
Với n = k + 1 ta có :
\[\begin{array}{l}
{f^{\left[ {4k + 1} \right]}}\left[ x \right] = \left[ {{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right]} \right]' = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left[ {4k + 2} \right]}}\left[ x \right] = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left[ {4k + 3} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left[ {4k + 4} \right]}}\left[ x \right] = - {2^{4k + 3}}\cos 2x\\= - {2^{4\left[ {k + 1} \right] - 1}}\cos 2x
\end{array}\]
Vậy [1] đúng với n = k + 1 do đó [1] đúng với mọi n.