- LG a
- LG b
- LG c
Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:
LG a
\[{z^2} = z + 1\];
Phương pháp giải:
Tính \[\Delta \] và sử dụng công thức nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có \[{z^2} = z + 1 \] \[\Leftrightarrow {z^2} - z = 1\] \[ \Leftrightarrow {z^2} - z + {1 \over 4} = {5 \over 4}\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {z - {1 \over 2}} \right]^2} = {5 \over 4} \] \[\Leftrightarrow z - {1 \over 2} = \pm {{\sqrt 5 } \over 2} \] \[\Leftrightarrow z = {1 \over 2} \pm {{\sqrt 5 } \over 2}\]
Cách khác:
\[{z^2} = z + 1 \] \[\Leftrightarrow {z^2} - z - 1=0\]
Ta có: \[\Delta = {1^2} - 4.\left[ { - 1} \right] = 5 > 0\] nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{z_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\].
LG b
\[{z^2} + 2z + 5 = 0\]
Lời giải chi tiết:
\[{z^2} + 2z + 5 = 0 \] \[\Leftrightarrow {\left[ {z + 1} \right]^2} = - 4 = {\left[ {2i} \right]^2}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 1 = 2i \hfill \cr z + 1 = - 2i \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = - 1 + 2i \hfill \cr z = - 1 - 2i \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = \left\{ { - 1 + 2i; - 1 - 2i} \right\}\]
Cách khác:
Ta có: \[\Delta' = {1^2} - 1.5 = -4 < 0\] có một căn bậc hai là \[2i\] nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức \[{z_{1,2}} = -1\pm 2i\].
LG c
\[{z^2} + \left[ {1 - 3i} \right]z - 2\left[ {1 + i} \right] = 0\].
Lời giải chi tiết:
\[{z^2} + \left[ {1 - 3i} \right]z - 2\left[ {1 + i} \right] = 0\]có biệt thức
\[\Delta = {\left[ {1 - 3i} \right]^2} + 8\left[ {1 + i} \right] \] \[ = 1 - 9 - 6i + 8 + 8i = 2i = {\left[ {1 + i} \right]^2}\]
Do đó phương trình có hai nghiệm là: \[{z_1} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i + \left[ {1 + i} \right]} \right] = 2i\]
\[{z_2} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i - \left[ {1 + i} \right]} \right] = - 1 + i\]
Vậy \[S = \left\{ {2i; - 1 + i} \right\}\]