§1. LŨY THỪA A. KIẾN THỨC CĂN BẢN KHÁI NIỆM LŨY THỪA Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương. an = a.a a n thừa số a° =1. a " = — a" Với a * 0 Căn bậc n a] Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n > 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b. b] Tính chất tya .y/b = ựãb a khi n lẻ = ựa™ ; 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ van = a| khi n chẵn ’ ^/a = "tyã. Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = —, trong đó m e z, n £ N, n > 2. n Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi a = an = va 4. Lũy thừa vói số mũ vô tỉ Cho a là một số dương, a là một sổ vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ [rn] có giới hạn là a và dãy số tương ứng [ar"] có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số [rn]. Ta gọi giới hạn của dãy số [ar"] là lũy thừa của a với số mũ a, kí hiệu là a“. a“ = lim arn với a = lim rn. n—»+oo n—>-kc 11. Tinh chat của lũy thừa với số mũ thực Cho a, b là những số thực dương; a, p là những số thực tùy ỳ. Khi đó, ta có: = aư’[i a“.ap = a“ + p [a“]p = a“ Viết các sô’ sau theo thứ tự tăng dần: a] Is’5; 2 [ì Ị [ab]“ = aub“ b“ Nếu a > 1 thì a“ > ap khi và chỉ khi a > 3 Nếu a a|! khi và chỉ khi a < p. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 2 2 1. Tính: a] 9Ta có: l3’75 = 1; 2"1 = I ; = 23 = .275 3 3 b] 144 ' : 9[2] í 1 V0-75 ? c] -i-l +0,25 3 16 d] [0,04] [0,125] 2 2 2 2 a] 95.275 = [9.27]5 = [35]5 = 32 = 9 b] 3 1444 3 94 3 = f144>|4 = - I 9 J 3 3 164 = [24]4 = 23 = 8 1 x-0,75 _ộ _5 ~ + 0,25*2 = [2‘4]"0,75 + [2’2]*2 = 23 + 25 = 8 + 32 = 40 .6 ] 2 3 2 2 2 d] [0,04]-1'5 - [0,125] 3 = í J_i 2 - fịì 3 = [5’2] 2 -[2~3] 3 = 53-22= 121. c] 2. Cho a, b là những số thực dương. Viết các biêu thức sau dưới dạng lũy thừa với sô mù hữu tí: 1 ! í a] a3 . Tã b] b2.b3.Tb 1 11 11 5 a] a3.Vã = a3.a2 = a3 2 - a6 . 4 4 1 c] a3 : tyã = a3 3 = a c] a3 : Tã Ốịi.ải 1 d] Tb:bVậy thứ tự tăng dần các sô' đã cho là: 2 1; H . 1 1 111 b] b2.b3.^b = b2+3+6 =b 1 11 1 d] Vb : b6 = b3* 6 = bẽ. b] 98“ b] Ta có: 98° = 1; = I; 325 = [25]5 = 2 Vậy: 98°; 325 . . 4. Cho a. b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau: c] 11 1 1 a3b 3 - a 3b3 a +1 a +1 = a 1 4 d] 1 1 a3Vb + b:i\íă ựa + vb b5[b5 - b 5] _ b-ĩ ■ 2 Ị -2 ~ b^ĩ b3[b3 -b 3] d] 11 11 112 2 a3b 3 -a 3b3 _ a 3.b 3[a3 -b3] _ -3 , -3 ‘ j h: = a' = a3 - b3 1 1 1111 1111 a3Vb + b3Vã _ a3.b2+b3.a2 _ a3b3[b6+a6] Vãb Vã + Vb 5. Chứng minh ràng: a] 11 11 a6 + b6 a6 + b6 2V5 / ýÚ2 < „ 1 1 = a3.b3 - Vab . b] 7r”^ > 73'/G . Ốịiẳi a] Ta có 2 V5 = V20 ; 3 V2 = 718 nên 2 V5 > 3 V2 Vì 0 < ị 7 376 c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Tính a] 3 2-375 75 b] 21+2'^ : 4^2 c] 152+ỷ7 : ^32"'/7.51+'/7j d] [-0,5] - 625 0.25 - 2- 2. Cho a > 0, b > 0. Đơn giản biểu thức sau: 1 1 Vã.b2 + b3 Vã Ví + Vb 3. Hãy so sánh các cặp số sau: x7ã b][a3 - b3 ][+ [ab]3 ]. a] và 4 -72 b] 4 và 277
- Với n nguyên dương và ∀a ∈ R thì:
2. Các tính chất của lũy thừa:
Lưu ý :
a] Nếu m, n nguyên dương thì chỉ cần a, b ≠ 0. Tính chất trên vẫn được áp dụng cho trường hợp tổng quát khi m, n là số thực với a, b dương.
b] Với các bài toán về luỹ thừa, gặp các số hạng chứa căn thức ta có thể đổi về dạng lũy thừa để được đơn giản trong tính toán.
- Cho m, n là những số nguyên :
Với a > 1 thì am > an ⇔ m > n
Với 0 < a < 1 thì am > an ⇔ m < n
Với 0 < a < b thì: am < bm ⇔ m > 0
am > bm ⇔ m 0]\]
3. Tính chất thường gặp
- \[a^{m + n} = a^m {\displaystyle \times } a^n\]
- \[{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\] với mọi a ≠ 0
- \[{\displaystyle a^{m\cdot n}=[a^{m}]^{n}}\]
- \[{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{[m^{n}]}}\]
- \[{\displaystyle [a\times b]^{n}=a^{n}\times b^{n}}\]
- \[{\displaystyle [{\frac {a}{b}}]^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\]
- \[{\displaystyle a^{m/n}=\left[a^{m}\right]^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\]
- \[ {\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\]
- \[ {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x}\]
Hot: Logarit đầy đủ và chi tiết nhất
II. Công thức lũy thừa
1. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ tự nhiên
\[{\displaystyle 0^{n}=0\,}\].[n > 0]
\[{\displaystyle 1^{n}=1\,}\].
Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
\[{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}}\]
Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là
\[{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}} \]
\[{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\] với mọi a ≠ 0
\[{\displaystyle [a^{m}]^{n}=a^{mn}}\]
\[{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{[m^{n}]}}\]
\[{\displaystyle [a\times b]^{n}=a^{n}\times b^{n}}\]
\[{\displaystyle [{\frac {a}{b}}]^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\]
Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1: \[{\displaystyle a^{0}=1}\]
Chứng minh: \[{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}\]
2. Chuyên đề về lũy thừa của một số hữu tỉ
-
Căn bậc n của một số thực dương
Một căn bậc n của số a là một số x sao cho \[x^n = a\].
Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a.
Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là \[\sqrt[n]a\], trong đó \[\sqrt{}\] là ký hiệu căn.
-
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n [m, n là số nguyên, trong đó n dương], của số thực dương a được định nghĩa là
\[{\displaystyle a^{\dfrac{m}{n}}=\left[a^{m}\right]^{\dfrac{1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\] định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.
3. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ thực
- Cách tính lũy thừa của số e
Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:
\[{\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}.}\]
Hàm e mũ, được định nghĩa bởi \[{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {x}{n}}\right]^{n},}\] ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa \[{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.}\]
Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là \[e^k\] như sau:
\[{\displaystyle [e]^{k}=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right]^{n\cdot k}}\]
\[{\displaystyle =\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right]^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{m}}\right]^{m}=e^{k}.}\]
Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng \[e^{x+y}\] thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
- Hàm lũy thừa với số mũ thực
Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.
Logarit tự nhiên \[{\displaystyle \ln {[x]}}\] là hàm ngược của hàm e-mũ \[e^x\]. Theo đó \[{\displaystyle \ln x}\] là số b sao cho \[x = e ^b\] .
Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:
\[{\displaystyle a^{x}=[e^{\ln a}]^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,}\]
Điều này dẫn tới định nghĩa: \[{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\] với mọi số thực x và số thực dương a.
Xem ngay:
IV. Bài tập tìm tập xác định của hàm số lũy thừa
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a] \[y=\sqrt{5x-2x^2-2}+ln\dfrac{1}{x^2-1}\]
Điều kiện: \[\left\{\begin{array}{cc}-2x^2+5x-1\ge0\\x^2-1>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2}\le x \le 2\\x1\end{array}\right. \Leftrightarrow 1