Các dạng toán rút gọn biểu thức lớp 9 năm 2024

Câu 1. Cho biểu thức \[C=\left[ \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}} \right]:\left[ \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1} \right]\]

1. a] Tìm điều kiện xác định và và rút gọn C
2. b] Tìm a để \[\sqrt{C}>\frac{\sqrt{6}}{6}\]

HD:

1. a] \[C=\frac{1}{\sqrt{a}\left[ \sqrt{a}-1 \right]}:\frac{3}{\left[ \sqrt{a}-2 \right]\left[ \sqrt{a}-1 \right]}=\frac{\left[ \sqrt{a}-2 \right]}{3\sqrt{a}}\]
2. b] \[C=\frac{\left[ \sqrt{a}-2 \right]}{3\sqrt{a}}\]

Để có \[\sqrt{C}\] thì \[\sqrt{a}-2\ge 0\Leftrightarrow a\ge 4\]

\[\sqrt{C}>\frac{\sqrt{6}}{6}\Leftrightarrow C\ge \frac{1}{6}\Leftrightarrow C-\frac{1}{6}\ge 0\Leftrightarrow \frac{\left[ \sqrt{a}-2 \right]}{3\sqrt{a}}-\frac{1}{6}\ge 0\Leftrightarrow \frac{\left[ \sqrt{a}-2 \right]}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\ge 0\Leftrightarrow a\ge 16\]

Câu 2. Cho biểu thức \[A=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+4}:\left[ \frac{x}{x+2\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2} \right]\], với \[x>0\].

1. a] Rút gọn biểu thức \[A\].
2. b] Tìm tất cả các giá trị của $x$ để \[A\ge \frac{1}{3\sqrt{x}}\].

Câu 3. Cho biểu thức $P=\left[ \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+4\sqrt{a} \right]:\left[ \frac{{{a}^{2}}+a\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right]\left[ \begin{align}

& a>0 \\

& a\ne 1 \\

\end{align} \right]$

1. a] Rút gọn biểu thức $P$
2. b] Tìm tất cả các giá trị của $a$để $P>2$.
3. c] Tìm a nguyên để P lớn nhất

HD:

1. a] Với $a>0,a\ne 1$ ta có:

$\begin{align}

& P=\left[ \frac{{{\left[ \sqrt{a}+1 \right]}{2}}-{{\left[ \sqrt{a}-1 \right]}{2}}+4\sqrt{a}\left[ a-1 \right]}{\left[ \sqrt{a}-1 \right]\left[ \sqrt{a}+1 \right]} \right]:\left[ \frac{a\sqrt{a}\left[ \sqrt{a}+1 \right]}{\sqrt{a}+1} \right] \\

& =\frac{a+2\sqrt{a}+1-a+2\sqrt{a}-1+4a\sqrt{a}-4\sqrt{a}}{a-1}:a\sqrt{a} \\

& =\frac{4a\sqrt{a}}{a-1}.\frac{1}{a\sqrt{a}}=\frac{4}{a-1} \\

\end{align}$

1. b] Tìm a để $P>2$

$P>2\Leftrightarrow \frac{4}{a-1}>2\Leftrightarrow \frac{2}{a-1}-1>0\Leftrightarrow \frac{3-a}{a-1}>0\Leftrightarrow 1

Vậy $12$

1. c] $P=\frac{4}{a-1}$

Ta thấy với $a\ge 0,a\ne 1,a\in Z\Rightarrow \left[ \begin{align}

& a=0\Rightarrow P1\Leftrightarrow a\ge 2\Rightarrow P\le \frac{4}{2-1}=4 \\

\end{align} \right.$ nên P lớn nhất khi $a=2$.

Vậy ${{P}_{max}}=4$ khi $a=2$.

Câu 4. Cho biểu thức $A=\frac{3x+5\sqrt{x-1}-14}{x-3+\sqrt{x-1}}-\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+2}\left[ \begin{align}

& x\ge 1 \\

& x\ne 2 \\

\end{align} \right]$

1. a] Rút gọn biểu thức $A$
2. b] Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $A>2$

HD:

1. a] Với ĐK $x\ge 1,x\ne 2$ ta có

$\begin{align}

& A=\frac{3x+5\sqrt{x-1}-14}{\left[ \sqrt{x-1}-1 \right]\left[ \sqrt{x-1}+2 \right]}-\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+2} \\

& =\frac{x+6\sqrt{x-1}-8}{\left[ \sqrt{x-1}-1 \right]\left[ \sqrt{x-1}+2 \right]}=\frac{\left[ \sqrt{x-1}-1 \right]\left[ \sqrt{x-1}+7 \right]}{\left[ \sqrt{x-1}-1 \right]\left[ \sqrt{x-1}+2 \right]}=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2} \\

\end{align}$

Vậy $A=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2}.$

1. b] $A=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2}>2\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+7>2\left[ \sqrt{x-1}+2 \right]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}