Permasalahan yang dirumuskan adalah bagaimanakah validitas, kepratisan, dan efektivitas buku ajar analisis laporan keungan berbasis problem based learning [berbasis masalah] . Adapun yang menjadi tujuan penelitian ini yaitu untuk mendeskripsikan tingkat validitas, kepraktisan, dan efektivitas buku ajar analisis laporan keungan berbasis masalah. Jenis penelitian ini yaitu penelitian Research & Development [R&D] oleh Borg & Gall. Populasi dalam penelitian ini seluruh mahasiswa pendidikan ekonomi semester genap tahun akademik 2017-2018. Dengan sampel penelitian yaitu mahasiswa yang mengikuti mata kuliah analisis laporan keuangan kelas Indralaya yang berjumlah 38 mahasiswa. Teknik pengumpulan data yang digunakan yaitu angket. Dengan uji kevalidan diperoleh 3,5 dari ahli materi terkategori snagat valid dan 2,89 dari ahli media yang terkategori valid. Kemudian dari uji kepaktisan diperoleh hasil yang menyatakan bahwa bahan ajar ini praktis digunakan untuk memahami materi analisis lapora...
- Để R có tính chất đối xứng, thì với mọi m, n ∈ N, nếu [m, n] ∈ R thì [n, m] ∈ R. Giả sử [m, n] có ước số chung là k > 1 thì rõ ràng [n, m] cũng có ước số chung là k. Vậy quan hệ này đối xứng.
- Để R có tính chất phản xạ, thì với mọi m ∈ N, [m, m] ∈ R. Trong các số tự nhiên, ta tìm thấy cặp [1, 1] ∉ R vì chúng có ước số chung là 1. Vậy R không có tính phản xạ.
- Để R có tính chất bắc cầu, thì với mọi m, n, p ∈ N, nếu [m, n] ∈ R và [n, p] ∈ R thì [m, p] ∈ R. Tìm thấy một cặp [2, 6] ∈ R và [6, 9] ∈ R nhưng rõ ràng [2, 9] ∉ R. Vậy nó không có bắc cầu.
Câu 5. Xác định quan hệ R trên tập tất cả mọi người là phản xạ, đối xứng, phản đối xứng hay bắc cầu. Biết rằng [a, b] ∈ R nếu và chỉ nếu
- a cao hơn b;
- a và b sinh cùng ngày;
- a và b có cùng ông bà nội.
Lời giải.
- Đây là quan hệ không phản xạ [một người không thể cao hơn chính mình], không đối xứng, có phản đối xứng [vì không thể tìm được 2 người mà người này cao hơn người kia, và người kia cao hơn người này] và có bắc cầu.
- Đây là quan hệ phản xạ, đối xứng, không có phản đối xứng và có tính bắc cầu.
- Quan hệ này là quan hệ phản xạ, đối xứng, không có phản đối xứng và có tính bắc cầu.
Câu 6. Liệt kê các cặp trong quan hệ tương đương được tạo bởi các phân hoạch sau của {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 1. {0}, {1,2}, {3,4,5}
2. {0,1}, {2,3}, {4,5} 3. {0,1,2}, {3,4,5} 4. {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}
Lời giải.
- {[0,0], [1,1], [2,2], [1,2], [2,1], [3,3], [4,4], [5,5], [3,4], [4,3], [3,5], [5,3], [4,5], [5,4]}
- {[0,0], [1,1], [0,1], [1,0], [2,2], [3,3], [2,3], [3,2], [4,4], [5,5], [4,5], [5,4]}
- {[0,0], [1,1], [2,2], [0,1], [1,0], [0,2], [2,0], [1,2], [2,1], [3,3], [4,4], [5,5], [3,4], [4,3], [3,5], [5,3], [4,5], [5,4]}
Quan hệ tương đương là gì và những bài tập xung quanh như thế nào. Sau đây TTnguyen xin gửi tới bạn đọc lý thuyết và bài tập quan hệ tương đương có lời giải môn toán rời rạc giúp các bạn ôn tập được dễ dàng.
1. Tính phản xạ của quan hệ
Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp A được gọi là có tính phản xạ nếu ∀x ∈ A, xRx.
2. Tính đối xứng của quan hệ
Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp A được gọi là có tính đối xứng nếu ∀x, y ∈ A, xRy => yRx.
3. Tính bắc cầu của quan hệ
Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp của A được gọi là tính bắc cầu nếu ∀x, y, z ∈ A, [xRy, yRz] =>xRz
4. Quan hệ tương đương
Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp A được gọi là tương đương nếu nó thoả mãn các tính chất: Phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
5. Lớp tương đương
Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A và x ∈ A. Khi đó, lớp tương đương của phần tử x, ký hiệu [x] hay \[\bar{x}\] là một tập hợp con của A và được xác định như sau: [x] = {y∈ A| yRx}.
Tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ tương đương R được gọi là tập thương và được ký hiệu A/R. Nghĩa là, A/R = {[x] | x ∈ A}.
6. Định lý 1
Giả sử R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A. Khi đó:
- ∀x ∈ A, x ∈ [x].
- ∀x, y ∈ A, xRy [x] = [y].
- Nếu [x] ∩ [y] ≠ Ø thì [x] = [y].
7. Định lý 2
Giả sử R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A. Khi đó, các lớp tương đương của R sẽ lập nên một phân hoạch của A. Ngược lại, với mỗi phân hoạch đã cho {Ai | i ∈ I} của tập hợp A luôn tồn tại một quan hệ tương đương R trên A sao cho các tập con Ai | i ∈ I là các lớp tương đương của nó.
II. Ví dụ về quan hệ tương đương
Bài 1: Cho tập hợp A = {1,2,3}. Hãy cho biết các quan hệ sau, quan hệ nào có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
- R = {[1,1], [1,2], [1,3], [3,3]}
- S = {[1,1], [1,2], [2,1], [2,2], [3,3]}
- T = {[1,1], [1,2], [2,2], [2,3]}
Lời giải
- R = {[1,1], [1,2], [1,3], [3,3]}
Xét ma trận mô tả sau:
R 1 2 3 1 1 1 1 2 0 0 0 3 0 0 1
– Do [2,2] ∉ R nên => Quan hệ R không có tính phản xạ.
– Do [1,2] ∈ R nhưng [2,1] ∉ R => Quan hệ R không có tính đối xứng.
– Quan hệ R có tính bắc cầu.
- S = {[1,1], [1,2], [2,1], [2,2], [3,3]}
S 1 2 3 1 1 1 0 2 1 1 0 3 0 0 1
– Do [i,i] ∈ S, ∀i = 1,2,3 nên S có tính phản xạ.
– Do [a,b] ∈ S => [b,a] ∈ S => Quan hệ S có tính đối xứng.
– Quan hệ S có tính bắc cầu.
\=> Quan hệ S là quan hệ tương đương.
- T = {[1,1], [1,2], [2,2], [2,3]}
T 1 2 3 1 1 1 0 2 0 1 1 3 0 0 0
– Do [3,3] ∉ T nên T không có tính phản xạ.
– Do [1,2] ∈ T nhưng [2,1] ∉ T nên T không có tính đối xứng.
– Do [1,2] ∈ T , [2,3] ∈ T nhưng [1,3] ∉ T nên T không có tính bắc cầu.
Bài 2: Trong các quan hệ dưới đây, hãy cho biết quan hệ nào là phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
- Quan hệ R trên Z: xRy x+y chẵn.
- Quan hệ R trên Z: xRy x – y lẻ.
- Quan hệ R trên Z: xRy |x| =| y|.
- Quan hệ R trên Z: xRy \[sin^{2}x + cos^{2}y =1\].
Lời giải
- Quan hệ R trên Z: xRy x+y chẵn.
– Với mọi x ∈ Z ta có: x + x = 2x là số chẵn nên R có tính phản xạ.
– Nếu x, y ∈ Z mà x + y chẵn thì y + x cũng chẵn nên R có đối xứng.
– Nếu x, y, z ∈ Z mà x + y và y + z là các số chẵn thì z, y, z là các số cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Do đó, x + z là số chẵn, suy ra R có tính chất bắc cầu.
- Quan hệ R trên Z: xRy x – y lẻ.
Do 1- 1 = 0 không phải là số lẻ nên R không có tính phản xạ. Nếu x, y ∈ Z mà x – y lẻ thì y – x cũng lẻ nên R có tính đối xứng. Do 5 – 4 = 1 là số lẻ và 4 – 1 = 3 là số lẻ nhưng 5 – 1 =4 không phải số lẻ nên R không có tính bắc cầu.
- Quan hệ R trên Z: xRy |x| =| y|.
Với mọi x ∈ Z ta luôn có |x|=|x| nên R có tính phản xạ.
Với mọi x,y ∈ Z mà |x| =| y| thì hiển nhiên |y| =|x| nên R có tính đối xứng.
Với mọi x, y, z ∈ Z mà |x| =| y| và |y| =|x| thì |x|=|z| nên R có tính bắc cầu
- Quan hệ R trên Z: xRy \[sin^{2}x + cos^{2}y =1\].
Với mọi x ∈ Z ta luôn có \[sin^{2}x + cos^{2}y =1\] nên R có tính phản xạ.
Với mọi x, y ∈ Z sao cho \[sin^{2}x + cos^{2}y =1\].
Ta có \[sin^{2}x + cos^{2}y =1\]
\[1 – cos^{2}y + 1 – sin^{2}x =1\]
hay \[sin^{2}x + cos^{2}y =1\] => R có tính đối xứng.
Với mọi x, y, z ∈ Z sao cho \[sin^{2}x + cos^{2}y =1\] và \[sin^{2}y + cos^{2}z =1\]
\=> \[sin^{2}x + cos^{2}y + sin^{2}y + cos^{2}z=2\]
\[sin^{2}y + cos^{2}z =1\]
\=> R có tính bắc cầu
III. Chứng minh r là quan hệ tương đương
Bài 3. Cho 4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} và một quan hệ trên A x A được xác định bởi [a, b]R[c , d] < a + d = b + c. Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương. Tìm lớp tương đương của phần tử [2,11].
Lời giải
Với mọi [a, b] ∈ A×A ta luôn có a + b = b + a nên [a, b]R[a, b] hay R có tính phản xạ.
Với mọi [a, b],[c, d] ∈ A×A mà [a, b]R[c, d] suy ra a + d=b + c ↔ c + b=d +a nên [c, d]R[a, b]. Do đó, R có tính đối xứng.
Với mọi [a, b],[c, d],[e, f]∈ A×A sao cho [a, b]R[c, d] và [c, d]R[e, f] suy ra [a + d=b + c, c+ f = d + e ]=>a+ f + c + d = b + e + c + d = a + f = b + e hay [a, b]R[e, f]. Vậy R có tính chất bắc cầu. Vậy R là một quan hệ tương đương trên A×A.
Ta có [[2, 11]]={[a, b]∈ A x A | [a, b]R[2, 11]}.
Do [a, b]R[2,11] a + 11 = b + 2 b = a + 9 nên có các trường hợp sau đây xảy ra:
a=1⇒ b = 10,
a=2⇒b=11,
a=3⇒b=12,
a = 4 ⇒ b = 13,
a = 5 ⇒ b = 14,
Vậy [[2,11]] = {[1,10], [2,11], [3,12], [4,13], [5,14], [6,15]}
Bài 5: Cho C là một tập con của E, xét một quan hệ hai ngôi trên P[E] như sau:
ARB A ∩ C=B ∩ C
- Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên P[E].
- Cho E={1,2,3,4,5} và C={1,2,3}. Tìm [{1,3,5}], có bao nhiêu lớp tương đương khác nhau?
Lời giải
- Với mọi A ∈ P[E] ta luôn có A ∩ C= A ∩ C nên ARA hay R có tính phản xạ.
Với mọi A,B ∈ P[E] sao cho ARB suy ra A ∩ C=B ∩ C suy ra B ∩ C = A ∩ C nên BRA hay R có tính đối xứng.
Với mọi A, B, D ∈ P[E] sao cho ARB và BRD suy ra:
[A ∩ C = B ∩ C và B ∩ C = D ∩ C ] => A ∩ C = D ∩ C hay ARD suy ra R có tính chất bắc cầu.
Vậy R là một quan hệ tương đương trên P[E].
- Với mọi A ∈ [{1,3,5}] → A ∩ C={1,3,5} ∩ {1,2,3} = {1,3}.
Vậy {1,3} ⊂ A ⊂{1,3,4,5}
suy ra [{1, 3, 5}] = {{1, 3},{1, 3, 4},{1, 3, 5},{1, 3, 4, 5}}.
Xét các lớp tương đương rời nhau sau:
[Ø] = {A ∈ P[E] | A ∩ C = Ø},
[{1}] = {A ∈ P[E] | A ∩ C = {1}},
[{2}] = {A ∈ P[E]| A ∩ C={2}},
[{3}] = { A ∈ P[E] | A ∩ C={3}},
[{1,2}]={A ∈ P[E]| A ∩ C={1,2}},
[{1,3}] = {A ∈ P[E] | A ∩ C={1,3}},
[{2,3}]={A ∈P[E]| A ∩ C = {2,3}},
[C] = {A ∈ P[E] | A ∩ C=C}.
Với mọi tập A ∈ P [E] thì A ∩ C ∈ P[C] nên
A ∈ [Ø] ∪ [{1}] ∪ [{2}] ∪ [{3}] ∪ [{1,2}] ∪ [{1,3}]∪ [{2,3}] ∪ [C] suy ra
P[E] = [Ø] ∪ [{1}] ∪ [{2}] ∪ [{3}] ∪ [{1,2}] ∪ [{1,3}]∪ [{2,3}] ∪ [C]
Vậy số lớp tương đương là 8
Bài 6: Cho tập S={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2} và một quan hệ hai ngôi trên S được xác định bởi
∀x, y ∈ S, xRy \[ x^{2} + 5x = y^{2} +5y \]
Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương và tìm tập thương tương ứng.
Lời giải
Rõ ràng với mọi x ∈ S ta luôn có \[ x^{2} + 5x = y^{2} +5y \] nên R có tính phản xạ.
Với mọi x, y ∈ S nếu xRy suy ra \[ x^{2} + 5x = y^{2} +5y \] hay_\[ x^{2} + 5x = y^{2} +5y \] nên yRx suy ra R có tính đối xứng.
Với mọi x, y, z ∈ S nếu xRy, yRz suy ra \[ x^{2} + 5x = y^{2} +5y \] và \[ y^{2} + 5y = z^{2} +5z \] nên \[ x^{2} + 5x = z^{2} +5z \] suy ra xRz hay R có tính bắc cầu.
Vậy R là một quan hệ tương đương trên S.
Với mọi x ∈ S ta có y ∈ [x] \[ x^{2} + 5x = y^{2} +5y \] [ x – y ][ x + y + 5] y = x và y = -x – 5 Vậy |-5] = {-5,0}, [-4] = {-4,-1}, [-3] = {-3, -2}, [1] = {1}, [2]={2}. Do đó, tập thương cần tìm là S/R={[-5], [-4], [-3], [1], [2]}.
IV. Bài tập quan hệ tương đương có lời giải
Bài 7. Có bao nhiêu quan hệ tương đương trên tập hợp A={a,b,c,d,e,f} sao cho:
- Có đúng hai lớp tương đương với 3 phần tử.
- Có đúng một lớp tương đương với 3 phần tử.
- Có đúng một lớp tương đương với 4 phần tử.
Lời giải
Chú ý rằng số phân hoạch của tập hợp 4 là số quan hệ tương đương trên 4 [theo Định lý 2]. Do đó,
- Số cách phân hoạch tập hợp 4 thành hai tập con có số phần tử bằng nhau là:
\[ \frac{1}{2}C^{3}_{6} = 10 \]. Vậy có 10 quan hệ tương đương thỏa mãn điều kiện bài toán.
- Trường hợp 1: Số phân hoạch có một lớp có 3 phần tử và ba lớp có 1 phần tử là \[ C^{3}_{6} = 10 \].
Trường hợp 2: Số phân hoạch có một lớp có 3 phần tử, một lớp có 2 phần tử và một lớp có 1 phần tử là \[ C^{3}_{6} C^{2}_{3}= 60 \].
Vậy số quan hệ tương đương thỏa mãn điều kiện bài toán là: 80.
- Trường hợp 1: Số phân hoạch có một lớp 4 phần tử và hai lớp có 1 phần tử là: \[ C^{4}_{6} = 15 \]. Trường hợp 2: Số phân hoạch có một lớp 4 phần tử và một lớp có 2 phần tử là \[ C^{4}_{6} = 15 \].
Vậy số quan hệ tương đương thoả mãn điều kiện bài toán là: 30.
Bài 4: Cho A={1,2,3,4,5,6} và một quan hệ tương đương trên A như sau: R={[1,1],[1,2], [2,1],[2,2], [3,3], [4,4],[4,5],[5,4], [5,5],[6,6]}. Tìm phân hoạch của A thành các lớp tương đương theo quan hệ R như trên.
Lời giải
Ta có:
[1] = {1, 2}
[2] = [1]
[3] = {3}
[4] = {4, 5}
[5] = [4]
[6] = {6}
Vậy A = [1] ∪ [3] ∪ [4] ∪ [6]
Trên đây là lý thuyết và một số dạng bài tập về quan hệ tương đương toán rời rạc. Cảm ơn các bạn đã theo dõi trên ttnguyen.net