Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn [O] có đường kính AH. Chứng minh rằng:
- Điểm E nằm trên đường tròn[O];
- DE là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Giải:
- Gọi O là trung điểm của AH
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:
\[ EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\] [tính chất tam giác vuông]
Vậy điểm E nằm trên đường tròn \[\left[ {O;{{AH} \over 2}} \right]\]
- Ta có: OH = OE
suy ra tam giác OHE cân tại O
suy ra: \[\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\] [1]
Mà \[\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\] [đối đỉnh] [2]
Trong tam giác BDH ta có:
\[\widehat {HDB} = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra:
\[\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \] [4]
Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD
Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:
\[ED = BD = {{BC} \over 2}\] [tính chất tam giác vuông].
Suy ra tam giác BDE cân tại D
Suy ra: \[\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\] [5]
Từ [4] và [5] suy ra: \[\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \] hay \[\widehat {DEO} = 90^\circ \]
Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn [[O].
Câu 46 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.
Giải:
* Phân tích
Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
− Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.
− Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.
* Cách dựng
− Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.
− Dựng đường tròn [I; IA].
* Chứng minh
Ta có: I thuộc Oy, OA ⊥ IA tại A.
Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn [ I;IA]
hay [I; IA] tiếp xúc với Ox.
* Biện luận
Vì \[\widehat {xOy}\] là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.
Câu 47 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O] và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn [O] sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái đưa phương trình đã cho về dạng \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\].
* Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\] và biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]:
+] Nếu \[\Delta > 0\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1}\]= \[\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\] và \[{x_2}\]= \[\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\]
+] Nếu \[\Delta = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\].
+] Nếu \[\Delta < 0\] thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\[{\left[ {x + 2} \right]^2} - 3x - 5 = \left[ {1 - x} \right]\left[ {1 + x} \right] \]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 3x - 5 = 1 - {x^2} \]
\[\Leftrightarrow 2{x^2} + x - 2 = 0 \]
\[\Delta = 1 - 4.2.\left[ { - 2} \right] = 1 + 16 = 17 > 0 \]
\[ \sqrt \Delta = \sqrt {17} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ \displaystyle {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{\sqrt {17} - 1} \over 4} \]
\[\displaystyle {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {17} } \over {2.2}} = - {{1 + \sqrt {17} } \over 4} \]
LG b
\[{\left[ {x - 1} \right]^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1\]
Phương pháp giải:
* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái đưa phương trình đã cho về dạng \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\].
* Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\] và biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]:
+] Nếu \[\Delta > 0\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1}\]= \[\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\] và \[{x_2}\]= \[\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\]
+] Nếu \[\Delta = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\].
+] Nếu \[\Delta < 0\] thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\[{\left[ {x - 1} \right]^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1 \]
\[ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 2x = {x^3} - {x^2}\]\[\, - 2x + 1 \]
\[\Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \]
\[ \Delta = {\left[ { - 7} \right]^2} - 4.2.2 = 49 - 16 \]\[\,= 33 > 0 \]
\[ \sqrt \Delta = \sqrt {33} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[\displaystyle {x_1} = {{7 + \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 + \sqrt {33} } \over 4} \]
\[\displaystyle {x_2} = {{7 - \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 - \sqrt {33} } \over 4} \]
LG c
\[x\left[ {{x^2} - 6} \right] - {\left[ {x - 2} \right]^2} = {\left[ {x + 1} \right]^3}\]
Phương pháp giải:
* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái đưa phương trình đã cho về dạng \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\].
* Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\] và biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]:
+] Nếu \[\Delta > 0\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1}\]= \[\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\] và \[{x_2}\]= \[\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\]
+] Nếu \[\Delta = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\].
+] Nếu \[\Delta < 0\] thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\[x\left[ {{x^2} - 6} \right] - {\left[ {x - 2} \right]^2} = {\left[ {x + 1} \right]^3} \]
\[ \Leftrightarrow {x^3} - 6x - {x^2} + 4x - 4 = {x^3} + 3{x^2}\]\[\, + 3x + 1 \]
\[ \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x + 5 = 0 \]
\[ \Delta = {5^2} - 4.4.5 = 25 - 80 \]\[\,= - 55 < 0 \]
Phương trình vô nghiệm.
LG d
\[{\left[ {x + 5} \right]^2} + {\left[ {x - 2} \right]^2} + \left[ {x + 7} \right]\left[ {x - 7} \right] \]\[\,= 12x - 23 \]