1 cho có gọi là hai nghiệm của phương trình và tam thức bậc hai khi

Dấu của tam thức bậc hai

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai [đối với \[x\]] là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó \[a,b,c\] là nhứng số cho trước với \[a \ne 0\].

Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c$; \[\Delta  = {b^2} – 4ac\] và \[\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\] theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c$.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

Khi xét dấu tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \[a\], ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \[a\]

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$

$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.$

BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1:          Gọi

 là tập nghiệm của bất phương trình

. Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của

?

A.

.                      B.

.                    C.

.                  D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

.

Câu 2:          Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức

?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Hệ số

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có đáp án C là đáp án cần tìm.

Câu 3:          Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức

?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Tam thức có 1 nghiệm

 và hệ số

Vậy đáp án cần tìm là C

Câu 4:           Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức

?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Tam thức có một nghiệm

 đáp án cần tìm là C

Câu 5:          Cho tam thức bậc hai

. Với giá trị nào của

 thì tam thức

có hai nghiệm?

A.

.                                            B.

.

C.

.                         D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

 có nghiệm khi

.

Câu 6:          Giá trị nào của

thì phương trình

 [1] có hai nghiệm phân biệt?

A.

.                          B.

.

C.

.                                                D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

 có hai nghiệm phân biệt khi

.

Câu 7:          Tìm tập xác định của hàm số

.

A.

.                    B.

.                    C.

.  D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện

.

Vậy tập xác định của hàm số là

.

Câu 8:          Các giá trị

 để tam thức

 đổi dấu 2 lần là

A.

hoặc

.    B.

hoặc

.  C.

.              D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B

để tam thức

 đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi

.

Câu 9:          Tập xác định của hàm số

 là

A.

.                                       B.

.

C.

.                                       D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện

.

Vậy tập xác định của hàm số là

.

Câu 10:      Dấu của tam thức bậc 2:

được xác định như sau

A.

với

 và

 với

hoặc

.

B.

với

 và

 với

hoặc

.

C.

với

 và

 với

hoặc

.

D.

với

 và

 với

hoặc

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có bảng xét dấu

Vậy

với

 và

 với

hoặc

.

Câu 11:      Tập nghiệm của hệ bất phương trình

 là

A.

.      B.

.    C.

.    D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

.

Câu 12:      Hệ bất phương trình

 có nghiệm là

A.

 hoặc

.                              B.

.

C.

 hoặc

.                           D.

 hoặc

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

.

Câu 13:      Xác định

 để với mọi

 ta có

.

A.

.                B.

.                C.

.                  D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

 có tập nghiệm là

 khi hệ sau có tập nghiệm là

 [do

 ]

 có tập nghiệm là

Ta có

 có tập nghiệm là

khi

 [3]

 có tập nghiệm là

 khi

 [4]

Từ [2] và [4], ta có

.

Câu 14:      Khi xét dấu biểu thức

 ta có

A.

 khi

hoặc

.

B.

 khi

hoặc

 hoặc

.

C.

 khi

hoặc

.

D.

 khi

.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

 và

. Lập bảng xét dấu ta có

 khi

hoặc

 hoặc

.

Câu 15:      Tìm

để

?

A.

.                      B.

.                    C.

.                  D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Với

 không thỏa mãn.

Với

,

.

Câu 16:      Tìm

 để

?

A.

.                        B.

.                      C.

.               D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D

.

Câu 17:      Với giá trị nào của

 thì bất phương trình

?

A.

.                         B.

.                       C.

.                D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Để bất phương trình

.

Câu 18:      Với giá trị nào của

 thì bất phương trình

 vô nghiệm?

A.

.                         B.

.                       C.

.                     D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Bất phương trình

 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình

.

Câu 19:      Cho

. Tìm

 để

âm với mọi

.

A.

.                                                    B.

.

C.

.                                                    D.

 hoặc

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

.

Câu 20:      Bất phương trình

 có nghiệm là

A.

.        B.

.

C.

.                                                       D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện

.

Với điều kiện trên ta có

.

.

Ta có bảng xét dấu

Vậy nghiệm của bất phương trình là

.

Câu 21:      Tập nghiệm của bất phương trình

 là

A.

.                     B.

.

C.

.                                                       D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện

Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là

Vậy tập nghiệm bất phương trình là:

.

Câu 22:      Tìm giá trị nguyên của

 để bất phương trình

nghiệm đúng với mọi

 là

A.

.                         B.

.                       C.

.                       D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi

 thì:

Vì

 nên

.

Câu 23:       Có bao nhiêu giá trị

 nguyên âm để mọi

 đều thoả bất phương trình

?

A.

.                               B.

.                              C.

.                             D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Với

 ta có bảng xét dấu

TH1:

		0		1
	-	0	+	||	+	||	+
	-	||	-	0	+	||	+
	-	||	-	||	-	0	+
	-	0	+	0	-	0	+

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với

 thì

TH 2:

		0				1
	-	0	+	||	+	||	+
	-	||	-	0	+	||	+
	-	||	-	||	-	0	+
	-	0	+	0	-	0	+

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với

 thì

Vậy có 1 giá trị

Câu 24:      Bất phương trình

 có nghiệm là

A.

.             B.

.              C.

.               D.

.

Lời giải

Chọn A

Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trong từng khoảng ta được nghiệm là A.

Cách khác:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Câu 25:      Bất phương trình:

 có nghiệm là:

Câu 26:       

A.

.                    B.

.                 C.

.             D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Câu 27:      Bất phương trình:

 có nghiệm là:

A.

.          B.

.            C.

.            D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

Câu 28:      Nghiệm của hệ bất phương trình:

là:

A.

.                 B.

.               C.

 hoặc

.         D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

.

Từ

 và

 suy ra nghiệm của hệ là

.

Câu 29:      Bất phương trình:

 có bao nhiêu nghiệm nghiệm nguyên?

A. 0.                                                                      B. 1.

C. 2.                                                                      D. Nhiều hơn 2 nhưng hữu hạn.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt

Ta có

.

Nếu

 thì ta có

 loại

Nếu

 thì ta có

loại.

Câu 30:      Cho bất phương trình:

. Giá trị dương nhỏ nhất của

 để bất phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây:

A. 0,5.                             B. 1,6.                           C. 2,2.                           D. 2,6.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Trường hợp 1:

. Khi đó bất phương trình đã cho trở thành

, dấu

 xảy ra khi

.

Trường hợp 2:

. Khi đó bất phương trình đã cho trở thành

. Giải

 ta được

 [theo bất đẳng thức cauchy].

Giải

:

.

Vậy giá trị dương nhỏ nhất của

 gần với số

.

Câu 31:       Số nghiệm của phương trình:

 là:

A. 0.                                B. 1.                              C. 2.                              D. 3.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện

.

Đặt

 , điều kiện

.

Ta có

Nếu

 thì ta có

Nếu

 thì ta có

.

Câu 32:      Nghiệm của bất phương trình:

 là:

A.

.                                    B.

.

C.

.                                    D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

.

Câu 33:      Bất phương trình

 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 1.                                                                      B. 2.

C. 3.                                                                      D. Nhiều hơn 3 nhưng hữu hạn.

Hướng dẫn giải

Chọn B

·       Nếu

 thì

Cho

;

;

Lập bảng xét dấu ta có:

.

Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là

·            Nếu

 thì

Cho

 ;

;

Lập bảng xét dấu ta có:

.

Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là

[loại]

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.

Câu 34:      Hệ bất phương trình

 có nghiệm khi

A.

.                         B.

.                       C.

.                       D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

.

Do đó hệ có nghiệm khi

.

Câu 35:      Xác định

 để phương trình

có ba nghiệm phân biệt lớn hơn –1.

A.

.                                                           B.

 và

.

C.

 và

.                              D.

 và

.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

.

Giải sử phương trình

 có hai nghiệm phân biệt

, theo Vi-et ta có

.

Để phương trình

có ba nghiệm phân biệt lớn hơn

. thì phương trình

 có hai nghiệm phân biệt

 khác

 và đều lớn hơn

.

.

Câu 36:      Phương trình

 có đúng hai nghiệm

 thoả

. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau

A.

.              B.

.                       C.

.            D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Để phương trình

có có đúng hai nghiệm

 thoả

.

.Theo Vi-et ta có

.

.

Câu 37:      Nghiệm dương nhỏ nhất của bất phương trình

 gần nhất với số nào sau đây

A.

.                            B.

.                             C.

.                         D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trên ta được tập nghiệm là

  vậy nghiệm dương nhỏ nhất là

, đáp án D

Câu 38:       Tìm

 để

với mọi

?

A.

.                                                              B.

.

C.

.                                                              D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta thấy để

 đúng với mọi

 thì

Hay

.

Câu 39:      Cho bất phương trình:

[ 1]. Khi đókhẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. [1] có nghiệm khi

.                                  B. Mọi nghiệm của[ 1] đều không âm.

C. [ 1] có nghiệm lớn hơn 1 khi

.                 D. Tất cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

Do vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng

 nên để BPT có nghiệm thì

 nên B đúng.

Với

 BPT

 vô nghiệm hay BPT có nghiệm khi

  nên A đúng.

Khi

 ta có

có 4 nghiệm xếp thứ tự

Với

 hoặc

 ta có BPT:

Có nghiệm

 và

Nên tồn tại nghiệm lớn hơn 1 vậy C đúng

Câu 40:      Cho bất phương trình:

. Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số

là:

Câu 41:      .      

A.

.             B.

.             C.

.             D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

 có nghiệm khi và chỉ khi

Câu 42:      Tìm

 để bất phương trình

có nghiệm?

A. Với mọi

.                 B. Không có

.            C.

.                    D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi

luôn đúng với

.

Câu 43:      Để bất phương trình

 nghiệm đúng

, tham số

phải thỏa điều kiện:

A.

.                         B.

.                       C.

.                       D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt

, ta có bảng biến thiên

Suy ra

.Bất phương trình đã cho thành

.

Xét hàm

với

.

Ta có bảng biến thiên

Bất phương trình

 nghiệm đúng

 khi và chỉ khi

Câu 44:      Với giá trị nào của

 thìphương trình

 vô nghiệm?

A.

.                        B.

 hoặc

.  C.

.               D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện

. Phương trình trở thành

 với

. Phương trình đã cho vô nghiệm khi phương trình

 vô nghiệm khi

 hoặc

.

Câu 45:      Cho hệ bất phương trình

Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A.

.                  B.

.              C.

.             D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

.

Trường hợp 1:

, bất phương trình hai trở thành

, mà

 suy ra

.

Trường hợp 2:

, bất phương trình hai trở thành

, mà

 suy ra

.

Vậy

 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 46:       Hệ bất phương trình:

 có tập nghiệm biểu diễn trên trục số có độ dài bằng 1, với giá trị của

là:

A.

.                                                              B.

.                  

C.

.                                                        D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Thay

 vào ta có

. A đúng

Thay

 vào ta có

. B đúng

Tương tự C đúng.

Câu 47:      Để phương trình:

có đúng một nghiệm, các giá trị của tham số

là:

A.

 hoặc

.                                         B.

 hoặc

.

C.

 hoặc

.                                      D.

 hoăc

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Xét hàm số

Ta có

Bảng biến thiên của

Dựa vào bảng trên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi

Câu 48:       Phương trình

 có ba nghiệm phân biệt, giá trị thích hợp của tham số

là:

A.

.                  B.

.                 C.

.             D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Xét

Với

, ta có: 

Với

, ta có:

Đặt

Bảng biến thiên:

					2
				0

Dựa vào bảng biến thiên ta có

.

Câu 49:      Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

. Giá trị của tham số

 là:

A.

.                         B.

.               C.

.             D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Xét phương trình:

    [1]

Xét

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt

.

Câu 50:      Để phương trình sau cónghiệm duy nhất:

, Giá trị của tham số

là:

A.

.                       B.

.                   C.

.                 D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Xét phương trình:

                         

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình [1] có nghiệp duy nhất

.