Cho hai số phức z1,z2thỏa mãn z1-3i+5=2và iz2-1+2i=4Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcT=2iz1+3z2
A.313+16
Đáp án chính xác
B.313
C.313+8
D.313+25
Xem lời giải
Giải chi tiết:
Cách 1: Đặt \[z-3-2i=w\] với \[w=x+yi\] \[\left[ x,y\in \mathbb{R} \right]\].
Theo bài ra ta có \[\left| w \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\].
Ta có \[P=\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|=\left| w+4 \right|+2\left| w+1-3i \right|=\sqrt{{{\left[ x+4 \right]}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-3 \right]}^{2}}}\] \[\begin{align} & =\sqrt{20+8x}+2\sqrt{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-3 \right]}^{2}}}=2\sqrt{5+2x}+2\sqrt{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-3 \right]}^{2}}} \\ & =2\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+1}+\sqrt{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-3 \right]}^{2}}} \right]=2\left[ \sqrt{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-3 \right]}^{2}}} \right] \\ & \ge 2\left[ \left| y \right|+\left| y-3 \right| \right]\ge 2\left| y+3-y \right|=6. \\ \end{align}\]
Do đó
\[P = 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y\left[ {3 - y} \right] \ge 0\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = \sqrt 3
\end{array} \right.\]
Vậy GTNN của \[P\] là bằng \[6\] đạt được khi \[z=2+\left[ 2+\sqrt{3} \right]i\]. \[\Rightarrow a+b=2+2+\sqrt{3}=4+\sqrt{3}.\]
Cách 2: Giả thiết \[\left| z-3-2i \right|=2\]\[\Rightarrow MI=2\]\[\Rightarrow M\in \left[ I;2 \right]\] với \[I=\left[ 3;2 \right]\]. \[P=\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|=MA+2MB\] với \[A=\left[ 1;2 \right]\], \[B=\left[ 2;5 \right]\].
Ta có \[IM=2\]; \[IA=4\]. Chọn \[K\left[ 2;2 \right]\] thì \[IK=1\]. Do đó ta có \[IA.IK=I{{M}^{2}}\]\[\Rightarrow \frac{IA}{IM}=\frac{IM}{IK}\] \[\Rightarrow \Delta IAM\] và \[\Delta IMK\] đồng dạng với nhau \[\Rightarrow \frac{AM}{MK}=\frac{IM}{IK}=2\]\[\Rightarrow AM=2MK\].
Từ đó \[P=MA+2MB\]\[=2\left[ MK+MB \right]\]\[\ge 2BK\].
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[M\], \[K\], \[B\] thẳng hàng và \[M\] thuộc đoạn thẳng \[BK\].
Từ đó tìm được \[M=\left[ 2;2+\sqrt{3} \right]\].
Cách 3: Gọi \[M\left[ a;b \right]\] là điểm biểu diễn số phức \[z=a+bi.\]
Đặt \[I=\left[ 3;2 \right]\], \[A\left[ -1;2 \right]\] và \[B\left[ 2;5 \right]\].
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm \[I\], bán kính \[R=2\] sao cho biểu thức \[P=MA+2MB\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm \[K\left[ x;y \right]\] sao cho \[MA=2MK\]\[\forall M\in \left[ C \right]\].
Ta có \[MA=2MK\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{K}^{2}}\Leftrightarrow {{\left[ \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right]}^{2}}=4{{\left[ \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IK} \right]}^{2}}\] \[\Leftrightarrow M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=4\left[ M{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} \right]\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}\left[ \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK} \right]=3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}\]\[\left[ * \right]\]. \[\left[ * \right]\] luôn đúng \[\forall M\in \left[ C \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{0} \\ & 3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.\] mà
\[\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IK} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left[ {x - 3} \right] = - 4\\4\left[ {y - 2} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2
\end{array} \right.\]
Thử trực tiếp ta thấy \[K\left[ 2;2 \right]\] thỏa mãn \[3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0\].
Vì \[B{{I}^{2}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10>{{R}^{2}}=4\] nên \[B\] nằm ngoài \[\left[ C \right]\].
Vì \[K{{I}^{2}}=1
Ta có \[MA+2MB=2MK+2MB=2\left[ MK+MB \right]\ge 2KB\].
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \[M\] thuộc đoạn thẳng \[BK\].
Do đó \[MA+2MB\] nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của \[\left[ C \right]\] và đoạn thẳng \[BK.\]
Phương trình đường thẳng \[BK:x=2\].
Phương trình đường tròn \[\left[ C \right]:{{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}=4\].
Tọa độ điểm \[M\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + \sqrt 3
\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=2-\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\].
Thử lại thấy \[M\left[ 2;2+\sqrt{3} \right]\] thuộc đoạn \[BK\].
Vậy \[a=2\], \[b=2+\sqrt{3}\] \[\Rightarrow a+b=4+\sqrt{3}\].
Chọn D