1. Định nghĩa
Với mỗi góc $\alpha $ [${0^0} \leqslant \alpha \leqslant {180^0}$] ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha $ và giả sử điểm M có toạ độ $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$. Khi đó ta định nghĩa :
* sin của góc $\alpha $ là ${y_0}$, kí hiệu $\sin \alpha = {y_0}$;
* côsin của góc $\alpha $ là ${x_0}$, kí hiệu $\cos \alpha = {x_0}$;
* tang của góc $\alpha $ là $\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}\left[ {{x_0} \ne 0} \right]$, kí hiệu $\tan \alpha = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$;
* côtang của góc $\alpha $ là $\frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}\left[ {{y_0} \ne 0} \right]$, kí hiệu $\cot \alpha = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}$.
Các số sin$\alpha $, cos$\alpha $, tan$\alpha $, cot$\alpha $ được gọi là các giá trị lượng giác của góc $\alpha $.
Chú ý
* Nếu $\alpha $ là góc tù thì cos$\alpha $< 0, tan$\alpha $< 0, cot$\alpha $< 0.
* tan$\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, cot$\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha \ne k\pi ,k \in Z.$
2. Tính chất
Ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu $\widehat {xOM} = \alpha $ thì $\widehat {xON} = {180^0} - \alpha $.
Ta có ${y_M} = {y_N} = {y_0};{x_M} = - {x_N} = {x_0}$. Do đó:
$\begin{gathered} \sin \alpha = \sin \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \cos \alpha = - \cos \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \tan \alpha = - \tan \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \cot \alpha = - \cot \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \end{gathered} $
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Trong bảng, kí hiệu $\parallel $ để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý
Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:
$\begin{gathered} \sin {120^0} = \sin \left[ {{{180}^0} - {{60}^0}} \right] = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \cos {135^0} = \cos \left[ {{{180}^0} - {{45}^0}} \right] = - \cos {45^0} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} $
4. Góc giữa hai vectơ
a] Định nghĩa
Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a $ và $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b $ . Góc $\widehat {AOB}$ với số đo từ ${0^0}$ đến ${180^0}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $]. Nếu [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $] $ = {90^0}$ thì ta nói rằng $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ hoặc $\overrightarrow b \bot \overrightarrow a $.
b] Chú ý
Từ định nghĩa ta có [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $] = [$\overrightarrow b $, $\overrightarrow a $].
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc
Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau :
a] Tính các giá trị lượng giác của gốc a
Sau khi mở máy ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây :
Sau đó ấn phím 1 để xác định đơn vị đo góc là “độ” và tính giá trị lượng giác của góc.
b] Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc x khi biết các giá trị lượng giác của góc đó.
Page 2
SureLRN
Khi biết số đo của một góc cho trước chúng ta có thể tính được các giá trị lượng giác
Ngược lại khi biết giá trị lượng giác của một góc chúng ta cũng có thể tính được số đo của góc đó
Với sự giúp đỡ của máy tính CASIO fx-580VN X chúng ta dễ dàng tính được giá trị lượng giác của một góc hoặc tìm ra số đo của góc đó
Tuy nhiên khi tính
1 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Chúng ta nên ghi nhớ các giá trị lượng giác của các góc được trình bày trong bảng bên dưới vì chúng rất thường gặp và cũng không khó nhớ
2 Thiết lập đơn vị góc
Trước khi thực hiện các thao tác tính toán với các hàm lượng giác chúng ta cần thiết lập đơn vị góc của máy tính phù hợp với đơn vị góc của biểu thức cần tính
Thiết lập Radian làm đơn vị góc mặc định
Bước 1 Nhấn phím SETUP [nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím MENU]
Bước 2 Chọn cấu hình Angle Unit
Bước 3 Chọn đơn vị góc Radian
Trường hợp bạn muốn thiết lập Độ làm đơn vị góc mặc định thì ở Bước 2 bạn hãy chọn Degree
3 Tính giá trị lượng giác của một góc
Nếu không có yêu cầu cụ thể, khi tính giá trị lượng giác của một góc chúng ta cần tính cả bốn giá trị
Bước 1 Nhập các hàm lượng giác
- Các hàm được nhập vào bằng cách nhấn trực tiếp vào các phím
- Hàm không thể nhập trực tiếp nên chúng ta sẽ nhập thông qua phím, cụ thể chúng ta sẽ nhậphoặc
Bước 2 Nhập số đo góc
Bước 3 Nhấn phím =
Tính giá trị lượng giác của góc
Các giá trị
Giá trị
- Phương pháp 1 Tính thông qua hàm và hàm
- Phương pháp 2 Tính thông qua hàm
4 Tìm số đo của góc khi biết giá trị lượng giác
Bước 1 Nhập các hàm lượng giác ngược
- Các hàm lượng giác ngược được nhập bằng cách nhấn trực tiếp vào các phím
- Hàm arccot không thể nhập trực tiếp nên chúng ta sẽ nhập thông qua phím , cụ thể chúng ta sẽ nhậphoặc
Bước 2 Nhập giá trị lượng giác
Bước 3 Nhấn phím =
Tìm số đo của góc
Số đo của góc
Số đo của góc
- Cách 1 Tính thông qua phím
- Cách 2 Tính thông qua phím
5 Tính giá trị của biểu thức có chứa các hàm lượng giác
Khi tính toán với các biểu thức có chứa các hàm lượng giác thì công việc đầu tiên cần thực hiện là thiết lập đơn vị góc của máy tính phù hợp với biểu thức cần tính
Tuy nhiên có trường hợp trong cùng một biểu thức nhưng mỗi hàm lượng giác khác nhau lại sử dụng một đơn vị góc khác nhau
Chẳng hạn biểu thức
Câu hỏi được đặt ra là nếu gặp biểu thức như trên thì thiết lập như thế nào?
Giả sử rằng máy tính của mình đang thiết lập Độ làm vị góc mặc định
- Phương pháp 1 Chuyển số đo góc từ Radian sang Độ
- Phương pháp 2 Khai báo cho máy tính biết góc có đơn vị là Radian
Tính giá trị biểu thức
Phương pháp 1 Chuyển số đo góc từ Radian sang Độ
Bước 1 Chuyển
Bước 2 Nhập biểu thức
Vậy
Phương pháp 2 Khai báo cho máy tính biết góc
Bước 1 Nhập biểu thức
Bước 2 Khai báo đơn vị góc là Radian cho góc
Vậy