I. Các kiến thức cần nhớ
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
* Ta có \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}\]
* Từ dãy tỉ số bằng nhau \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}\] ta suy ra:
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\]
Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.
* Mở rộng
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$
Chú ý:
Khi nói các số \[x,\,y,\,z\] tỉ lệ với các số \[a,\,b,\,c\] tức là ta có \[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\]. Ta cũng viết \[x:y:z = a:b:c\]
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng [hoặc hiệu] và tỉ số của chúng.
Phương pháp giải:
* Để tìm hai số \[x;y\] khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số \[\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\] ta làm như sau
Ta có \[\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\]
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{s}{{a + b}}\]
Từ đó \[x = \dfrac{s}{{a + b}}.a;\,y = \dfrac{s}{{a + b}}.b\] .
* Để tìm hai số \[x;y\] khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số \[\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\] ta làm như sau
Ta có \[\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\]\[ \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\]
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}} = \dfrac{p}{{a - b}}\]
Từ đó \[x = \dfrac{p}{{a - b}}.a;\]\[y = \dfrac{p}{{a - b}}.b\] .
Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước
Phương pháp:
Giả sử chia số \[P\] thành ba phần \[x,\,y,\,z\] tỉ lệ với các số \[a,b,c\], ta làm như sau:
\[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}\]
Từ đó \[x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b\]; \[z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c\].
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp:
Tìm hai số \[x;\,y\] biết $x.y = P$ và \[\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\]
Cách 1: Ta có \[\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\]
Đặt \[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k\] ta có \[x = ka;\,y = kb\]
Nên \[x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \]\[\Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}\]
Từ đó tìm được \[k\] sau đó tìm được \[x,y\].
Cách 2: Ta có \[\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\]\[ \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = \dfrac{a}{b}\] hay \[\dfrac{{{x^2}}}{P} = \dfrac{a}{b} \]\[\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{Pa}}{b}\] từ đó tìm được \[x\] và \[y.\]
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp:
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Dạng 5: Bài toán về tỉ lệ thức
Phương pháp:
+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài
+ Lập được tỉ lệ thức
+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.