Ứng dụng đơn điệu giải phương trình

Quan tâm

3

CÁC ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về:
1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

Phần 1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
Bài 1.
Giải các phương trình
a. ${x^{2011}} + x = 2$ b. ${x^2} + \sqrt {x - 1} = 5$
Lời giải:
a. Đặt $f[x] = {x^{2011}} + x \Rightarrow f'[x] = 2011{x^{2010}} + 1 > 0$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm số đồng biến
Mặt khác: $f[1] = 2$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
b. Điều kiện $x \geqslant 1$ và x = 1 không là nghiệm của phương trình
Đặt $f[x] = {x^2} + \sqrt {x - 1} $ với x > 1
$ \Rightarrow f'[x] = 2x + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} > 0,x > 1$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm số đồng biến
Mặt khác: $f[2] = 5$ nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2.
Giải phương trình $\sqrt {x + 3} + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} } = 4$ [1]
Lời giải
Điều kiện của phương trình $\frac{{7 - \sqrt {41} }}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{7 + \sqrt {41} }}{2}$ [*]
$[1] \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} } - 4 = 0$
Xét $g[x] = \sqrt {x + 3} + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} } - 4 \Rightarrow g'[x] = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} + \frac{{1 + \frac{7}{{2\sqrt {x + 3} }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt {7x + 2} } }} > 0,\forall x \in [*]$
$ \Rightarrow $ g[x] là hàm số đồng biến
Mặt khác: g[1] = 0
Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Thật vậy:
Khi x > 1 thì g[x] > g[1] = 0 nên phương trình vô nghiệm
Khi x < 1 thì g[x] < g[1] = 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài 3.
Giải các phương trình sau $\sqrt {5{x^3} - 1} + \sqrt[3]{{2x - 1}} = 4 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$
Lời giải
Điều kiện: $x \geqslant \frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}$
$[1] \Leftrightarrow \sqrt {5{x^3} - 1} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x = 4$
Xét $f[x] = \sqrt {5{x^3} - 1} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x \Rightarrow f'[x] = \frac{{15{x^2}}}{{2\sqrt {5{x^3} - 1} }} + \frac{2}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left[ {2x - 1} \right]}^2}}}}} + 1 > 0$
$ \Rightarrow $ hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}; + \infty } \right]$
Mặt khác: $f[1] = 4$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất
Kết luận: $S = \left\{ 1 \right\}$

Bài 4.
Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$
Lời giải
Phương trình [1] được viết lại $\sqrt[3]{{x + 1 + 1}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]$
Xét $f[t] = \sqrt[3]{{t + 1}} + \sqrt[3]{t} \Rightarrow f'[t] = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{[t + 1]}^2}}}}} + \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}} > 0$
$ \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: $[2] \Leftrightarrow f[x + 1] = f[2{x^2}] \Rightarrow x + 1 = 2{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
x = 1 \\
x = - \frac{1}{2} \\
\end{array} \right.$

Bài 5.
Giải phương trình ${3^x} + {4^x} = {5^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$
Lời giải
$[1] \Leftrightarrow {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x} + {\left[ {\frac{4}{5}} \right]^x} = 1$
Xét $f[x] = {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x} + {\left[ {\frac{4}{5}} \right]^x} - 1 \Rightarrow f'[x] = {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x}\ln \frac{3}{5} + {\left[ {\frac{4}{5}} \right]^x}\ln \frac{4}{5} < 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm đồng biến trên R
Mặt khác: $f[2] = 0$ nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 6.
Giải phương trình ${9^x} + 2[x - 2]{3^x} + 2x - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$
Lời giải
Đặt $t = {3^x} > 0$
Phương trình trở thành ${t^2} + 2[x - 2]t + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
t = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[lo{\text{ai}}] \\
t = 5 - 2x \\
\end{array} \right.$
Với $t = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} + 2x - 5 = 0$
Xét $f[x] = {3^x} + 2x - 5 \Rightarrow f'[x] = {3^x}\ln 3 + 2 > 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm đồng biến
Mặt khác: f[1] = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 7.
Giải phương trình $\sqrt x + \sqrt {x - 5} + \sqrt {x + 7} + \sqrt {x + 16} = 14$
Lời giải
Điều kiện của phương trình $x \geqslant 5$. Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trình
Xét $f[x] = \sqrt x + \sqrt {x - 5} + \sqrt {x + 7} + \sqrt {x + 16} $
$ \Rightarrow f'[x] = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 5} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 16} }} > 0,\forall x > 5$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm số đồng biến trên $[5; + \infty ]$
Mặt khác: $f[9] = 14$ nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 8.
Giải phương trình $ - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {[x - 1]^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$
Lời giải
$\begin{array}
[1] \Leftrightarrow - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {x^2} - 2x + 1 \\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {x^2} - x - [x - 1] \\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {2^{x - 1}} + x - 1 = {2^{{x^2} - x}} + {x^2} - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2] \\
\end{array} $
Xét $f[t] = {2^t} + t \Rightarrow f'[t] = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f[t] là hàm đồng biến
Mặt khác: $[2] \Leftrightarrow f[x - 1] = f[{x^2} - x] \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 9.
Giải phương trình ${25^x} - 2[3 - x]{5^x} + 2x - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$
Lời giải
Đặt $t = {5^x} > 0$. Phương trình trở thành ${t^2} - 2[3 - x]t + 2x - 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
t = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[l] \\
t = 7 - 2x \\
\end{array} \right.$
Với $t = 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} = 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} + 2x - 7 = 0$
Xét $f[x] = {5^x} + 2x - 7 \Rightarrow f'[x] = {5^x}\ln 5 + 2 > 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm đồng biến
Mặt khác: $f[1] = 0$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 10.
Giải phương trình ${\log _2}[1 + \sqrt[3]{x}] = {\log _7}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình x > 0
Đặt $t = {\log _7}x \Leftrightarrow x = {7^t}$
Phương trình [1] trở thành ${\log _2}[1 + \sqrt[3]{{{7^t}}}] = t \Leftrightarrow 1 + {7^{\frac{t}{3}}} = {2^t} \Leftrightarrow {\left[ {\frac{1}{2}} \right]^t} + {\left[ {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right]^t} = 1$
Xét $f[t] = {\left[ {\frac{1}{2}} \right]^t} + {\left[ {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right]^t} - 1 \Rightarrow f'[t] = {\left[ {\frac{1}{2}} \right]^t}.\ln \frac{1}{2} + {\left[ {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right]^t}.\ln \frac{{\sqrt[3]{7}}}{3} < 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f[t] là hàm số nghịch biến trên R
Mặt khác: f[3] = 0 nên $t = 3 \Leftrightarrow x = 343$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 11.
Giải phương trình ${\log _5}x = {\log _7}[x + 2]$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x > 0$
Đặt $t = {\log _5}x \Leftrightarrow x = {5^t}$
Phương trình trở thành $t = {\log _7}[{5^t} + 2] \Leftrightarrow {5^t} + 2 = {7^t} \Leftrightarrow {5^t} - {7^t} + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {\frac{5}{7}} \right]^t} + 2{\left[ {\frac{1}{7}} \right]^t} - 1 = 0$
Xét $f[t] = {\left[ {\frac{5}{7}} \right]^t} + 2{\left[ {\frac{1}{7}} \right]^t} - 1 \Rightarrow f'[t] = {\left[ {\frac{5}{7}} \right]^t}.\ln \frac{5}{7} + 2{\left[ {\frac{1}{7}} \right]^t}.\ln \frac{1}{7} < 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f[t] là hàm nghịch biến trên R $ \Rightarrow $ phương trình f[t] = 0 có không quá 1 nghiệm trên R
Mặt khác: $f[1] = 0$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Phần 2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Bài 1.
Giải bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} < 2\sqrt 3 + \sqrt {4 - x} $
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình là $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Bất phương trình được viết lại thành $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} < 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]$
Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên
Xét $f[x] = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} \\ \Rightarrow f'[x] = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} > 0,\forall x \in [ - 2;4]$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm số đồng biến trên [-2; 4]
Mặt khác: $[2] \Leftrightarrow f[x] < f[1] \Leftrightarrow x < 1$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là $ - 2 \leqslant x < 1$

Bài 2.
Giải bất phương trình $\sqrt {x + 9} + \sqrt {2x + 4} > 5$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x \geqslant - 2$
Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét $f[x] = \sqrt {x + 9} + \sqrt {2x + 4} \Rightarrow f'[x] = \frac{1}{{2\sqrt {x + 9} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }} > 0,\forall x > - 2$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm số đồng biến trên $[ - 2; + \infty ]$
Mặt khác: $\sqrt {x + 9} + \sqrt {2x + 4} > 5 \Leftrightarrow f[x] > f[0] \Leftrightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0

Bài 3.
Giải bất phương trình ${3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} > 13$
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình $x \geqslant - 2$
Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét $f[x] = {3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} \\ \Rightarrow f'[x] = \frac{1}{{\sqrt {x + 4} }}{3^{\sqrt {x + 4} }}.\ln 3 + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }}{2^{\sqrt {2x + 4} }}.\ln 2 > 0,\forall x > - 2$
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm số đồng biến trên $[ - 2; + \infty ]$
Mặt khác: ${3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} > 13 \Leftrightarrow f[x] > f[0] \Leftrightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có $x > 0$ là nghiệm của bất phương trình

Bài 4.
Giải bất phương trình ${\log _2}\sqrt {x + 1} + {\log _3}\sqrt {x + 9} > 1$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x > - 1$
Xét
$\begin{array}
f[x] = {\log _2}\sqrt {x + 1} + {\log _3}\sqrt {x + 9} = \frac{1}{2}{\log _2}[x + 1] + \frac{1}{2}{\log _3}[x + 9] \\
\Rightarrow f'[x] = \frac{1}{{2[x + 1]\ln 2}} + \frac{1}{{2[x + 9]\ln 3}} > 0,\forall x > - 1 \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ f[x] là hàm số đồng biến trên $[ - 1; + \infty ]$
Ta có: ${\log _2}\sqrt {x + 1} + {\log _3}\sqrt {x + 9} > 1 \Leftrightarrow f[x] > f[0] \Rightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Bài 5.
Giải bất phương trình sau $\sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} < 181 - 14x$ [1]
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình $x \geqslant \frac{6}{7}$
[1]$ \Leftrightarrow $ $\sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} - 181 + 14x < 0$
Đặt $t = $$\sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} \Rightarrow {t^2} = 14x + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} $ $[t \geqslant 0]$
Phương trình trở thành : ${t^2} + t - 182 < 0 \Leftrightarrow - 14 < t < 13$ kết hợp điều kiện $[t \geqslant 0]$
ta được $0 \leqslant t \leqslant 13 \Rightarrow [1] \Leftrightarrow \sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} < 13$ [2]; điều kiện $x \in \left[ {\frac{6}{7}; + \infty } \right]$
Xét hàm $f[x] = \sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} $
$ \Rightarrow f'[x] = \frac{1}{{2\sqrt {7x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {7x - 6} }} > 0\;\;;\forall x \in [\frac{6}{7}; + \infty ]$ hàm số đồng biến trên $x \in \left[ {\frac{6}{7}; + \infty } \right]$
Mặt khác $f[6] = 13$ nên $f[x] < 13 \Leftrightarrow x < 6$ vậy nghiệm của bất phương trình là $\frac{6}{7} \leqslant x \leqslant 6$ hay $x \in \left[ {\frac{6}{7}.6} \right]$

Bài 6.
Giải bất phương trình ${\log _7}x > {\log _3}[2 + \sqrt x ]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$
Lời giải:
Điều kiện của bất phương trình x > 0
Đặt $t = {\log _7}x$
Phương trình [1] trở thành $t > {\log _3}\left[ {2 + \sqrt {{7^t}} } \right] \Leftrightarrow 2 + {7^{\frac{t}{2}}} - {3^t} < 0 \Leftrightarrow 2.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^t} + {\left[ {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right]^t} - 1 < 0$
Xét $f[t] = 2.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^t} + {\left[ {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right]^t} - 1 \Rightarrow f'[t] = 2.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^t}\ln \frac{1}{3} + {\left[ {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right]^t}\ln \frac{{\sqrt 7 }}{3} < 0$
$ \Rightarrow $ f[t] là hàm số nghịch biến
Mặt khác: f[2] = 0 nên $2.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^t} + {\left[ {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right]^t} - 1 < 0 \Leftrightarrow f[t] < f[2] \Rightarrow t > 2 \Leftrightarrow {\log _7}x > 2 \Leftrightarrow x > 49$

Bài 7.
Giải bất phương trình $8{x^3} + 2x < [x + 2]\sqrt {x + 1} $
Lời giải:
Điều kiện $x \geqslant - 1$
$\begin{array}
[*] \Leftrightarrow {[2x]^3} + 2x < [x + 1 + 1]\sqrt {x + 1} \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {[2x]^3} + 2x < {[\sqrt {x + 1} ]^3} + \sqrt {x + 1} \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow f[2x] < f[\sqrt {x + 1} ],\,\,\,f[t] = {t^3} + t \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2x < \sqrt {x + 1} \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
x < 0 \\
\left\{ \begin{array}
x \geqslant 0 \\
4{x^2} < x + 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
x < 0 \\
\left\{ \begin{array}
x \geqslant 0 \\
0 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8} \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array} $
Vậy bất phương trình có nghiệm $ - 1 \leqslant x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}$

Phần 3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
Bài 1.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
{x^3} + x = [y + 2]\sqrt {y + 1} \\
{x^2} + {y^2} = 1 \\
\end{array} \right.$
Lời giải:
$\begin{array}
[1] \Leftrightarrow {x^3} + x = [y + 2]\sqrt {y + 1} \Leftrightarrow {x^3} + x = {[\sqrt {y + 1} ]^3} + \sqrt {y + 1} \\
\Leftrightarrow f[x] = f[\sqrt {y + 1} ],\,\,f[t] = {t^3} + t \\
\Leftrightarrow x = \sqrt {y + 1} \\
\end{array} $
Thay $x = \sqrt {y + 1} $ vào [2] ta có: $y + 1 + {y^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
y = 0 \Rightarrow x = 1 \\
y = - 1 \Rightarrow x = 0 \\
\end{array} \right.$
Vậy hệ có 2 nghiệm [1; 0] và [0; -1]

Bài 2.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
{x^3} - 3y = {y^3} - 3{\text{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{[1]}} \\
{\text{2}}{{\text{x}}^2} - {y^2} = 4 \\
\end{array} \right.$
Lời giải
$[1] \Leftrightarrow {x^3} + 3x = {y^3} + 3y$
Xét $f[t] = {t^3} + 3t \Rightarrow f'[t] = 3{t^2} + 3 > 0$
$ \Rightarrow $ f[t] là hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: ${x^3} + 3x = {y^3} + 3y \Leftrightarrow f[x] = f[y] \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau: $\left\{ \begin{array}
x = y \\
2{x^2} - {y^2} = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = y \\
x = \pm 2 \\
\end{array} \right.$
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm [2; 2] và [-2; -2]

Bài 3.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
\sqrt {x + 3} + \sqrt {10 - y} = 5 \\
\sqrt {y + 3} + \sqrt {10 - x} = 5 \\
\end{array} \right.$
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình $ - 3 \leqslant x,y \leqslant 10$
Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình
Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình $\sqrt {x + 3} - \sqrt {10 - x} = \sqrt {y + 3} - \sqrt {10 - y} $
Xét hàm số $f[t] = \sqrt {t + 3} - \sqrt {10 - t} \Rightarrow f'[t] = \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} + \frac{1}{{2\sqrt {10 - t} }} > 0,\forall t \in [ - 3;10]$
$ \Rightarrow $ f[t] là hàm số đồng biến trên [-3; 10]
$\sqrt {x + 3} - \sqrt {10 - x} = \sqrt {y + 3} - \sqrt {10 - y} \Leftrightarrow f[x] = f[y] \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau $\left\{ \begin{array}
x = y \\
\sqrt {x + 3} + \sqrt {10 - y} = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = y \\
\sqrt {x + 3} + \sqrt {10 - x} = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = y \\
x = 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = 1 \\
y = 1 \\
\end{array} \right.$
Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Bài 4.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y} \\
2y = {x^3} + 1 \\
\end{array} \right.$
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình $x \ne 0,y \ne 0$
Xét hàm số $f[t] = t - \frac{1}{t} \Rightarrow f'[t] = 1 + \frac{1}{{{t^2}}} > 0,\forall t \ne 0$
$ \Rightarrow $ f[t] là hàm số đồng biến trên $R\backslash \left\{ 0 \right\}$
Mặt khác: $x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y} \Leftrightarrow f[x] = f[y] \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau $\left\{ \begin{array}
x = y \\
2y = {x^3} + 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = y \\
{x^3} - 2x + 1 = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = y \\
x = 1,x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right.$
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm $x = y = 1,x = y = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Phần 4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình
Bài 1.
Tìm m để phương trình $m[\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1] + x[2 - x] \leqslant 0$ có nghiệm $x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]$
Lời giải:
$m[\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1] + x[2 - x] \leqslant 0 \Leftrightarrow m[\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1] - [{x^2} - 2x] \leqslant 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[*]$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \geqslant 0 \Rightarrow t' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vẽ bảng biến thiên suy ra $x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]$
$[*] \Rightarrow m\left[ {t + 1} \right] - {t^2} + 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow {t^2} - m\left[ {t + 1} \right] - 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}$
Xét $f[t] = \frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}},1 \leqslant t \leqslant 2 \Rightarrow f'[t] = \frac{{{t^2} + 2t + 2}}{{{{\left[ {t + 1} \right]}^2}}} > 0,1 \leqslant t \leqslant 2$
$ \Rightarrow $ f[t] là hàm số đồng biến
Bất phương trình được thỏa khi $m \leqslant \mathop {\min }\limits_{1 \leqslant x \leqslant 2} f[x] = f[1] = - \frac{1}{2}$

Bài 2.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm $x[x - 1] + 4[x - 1]\sqrt {\frac{x}{{x - 1}}} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[*]$
Lời giải:
Điều kiện của phương trình $x \leqslant 0 \vee x \geqslant 1$
Với điều kiện trên thì $[*] \Leftrightarrow x[x - 1] + 4\sqrt {x[x - 1]} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[**]$
Đặt $t = \sqrt {x[x - 1]} $, $t \geqslant 0$
Phương trình [**] trở thành ${t^2} + 4t - m = 0$ có nghiệm $t \geqslant 0$
Điều kiện trên được thỏa khi $m \geqslant - 4$

Bài 3.
Tìm m để phương trình $2\sqrt {[x + 2][4 - x]} + {x^2} = 2x - m$ có nghiệm
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Đặt $t = \sqrt {[x + 2][4 - x]} \,\,\,[0 \leqslant t \leqslant 3] \Leftrightarrow - {x^2} + 2x = {t^2} - 8$
Phương trình trở thành $2t = {t^2} - 8 - m$
$ \Leftrightarrow g[t] = {t^2} - 2t - 8 = m$
Phương trình có nghiệm khi $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g[t] \leqslant m \leqslant \mathop {\operatorname{m} a{\text{x}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} g[t]$
Ta có: $g'[t] = 2t - 2$
$g'[t] = 0 \Leftrightarrow t = 1$
Vẽ bảng biến thiên ta có
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g[t] \leqslant m \leqslant \mathop {\operatorname{m} a{\text{x}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} g[t] \Leftrightarrow g[1] \leqslant m \leqslant g[3] \Leftrightarrow - 9 \leqslant m \leqslant - 5$

Tính đơn điệu của hàm số Bất phương trình Phương trình Giải và biện luận phương...

hủy

Trợ giúp

Lượt xem