I. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo1. Giải bài tốn thực tếVD1: Lớp điện 7 có top 10 bạn điểm kiểm tra cao nhất bao gồm các điểm 8, 9, 10.Biết rằng tổng số điểm của 10 bạn là 87 và tổng số bạn có điểm 9 và 10 bằng tổngsố bạn cso điểm 8. Hỏi có bao nhiêu bạn được điểm 8, bao nhiêu bạn được điểm 9,bao nhiêu bạn được điểm 10 ?Giải:Gọi số bạn được 10 điểm là aGọi số bạn được 9 điểm là bGọi số bạn được 8 điểm là cTheo đề bài ta có hệ phương trình:10𝑎 +{ 𝑎 +𝑎 +9𝑏 +𝑏 +𝑏=8𝑐 =𝑐 =𝑐8710[*]Từ [*] ta có:10A=[ 1191181]−1𝑎X=[𝑏 ]𝑐;;87B=[10]0 [*] trở thành: A.X=B [1]Det[A]= -2 ≠ 0 => tồn tại 𝐴−1Ta có:𝑎11𝐴 = [𝑎12𝑎13∗𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32 ]𝑎33𝑎11 = [−1]1+1 . Det[𝑀11 ]= |111| = -2−1 1𝑎12 = [−1]1+2 . Det[𝑀12 ]=− |11𝑎13 = [−1]1+3 . Det[𝑀13 ]= |11|=2−11|=01Tương tự ta tính được :𝑎21 = 17;𝑎31 = 1𝑎22 = -18;𝑎32 = -2𝑎23 = -1; 𝑎33 = 1−2 𝐴∗ =[ 2017−18−11−2]1Ta có:𝐴−1 =−1𝐴1det [𝐴]. 𝐴∗−2= .[ 2−20117−18−11𝐴−1 =[−101−2]1−8,590,5−0,51 ]−0,5Nhân 𝐴−1 vào bên trái của cả hai vế phương trình [1] ta được: 𝐴−1 . A . X= 𝐴−1 . B−1 X=𝐴1. 𝐵 =[−10−8,590,5−0,58721 ] . [10] = [3]−0,505a= 2 {b = 3c= 5Kết luận: có 2 bạn 10 điểm, 3 bạn 9 điểm, 5 bạn 8 điểm VD2: 1 nhà nông chăn nuôi tổng 100 con gia súc bao gồm 3 loại : lợn, gà, vịt . Biếtrằng tổng số chân của cả 3 loại là 220, tổng số gà gấp 2 lần tổng số vịt . Hỏi mỗiloại có bao nhiêu con ?Giải:Gọi số lợn là x, số gà là y, số vịt là zTheo đề bài ta có hệ phương trình:𝑥 +{4𝑥 +𝑦 =𝑦 +2𝑦 +2𝑧𝑧 =2𝑧 =100220[*]Từ [*] ta có:1A=[40121𝑥X=[𝑦];𝑧12 ];−2100B=[220]0 [*] trở thành: A.X=B [1]Det[A]= 6 ≠ 0 => tồn tại 𝐴−1Ta có:𝑎11𝐴 = [𝑎12𝑎13∗𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32 ]𝑎33𝑎11 = [−1]1+1 . Det[𝑀11 ]= |21𝑎12 = [−1]1+2 . Det[𝑀12 ]=− |4𝑎13 = [−1]1+3 . Det[𝑀13 ]= |0Tương tự ta tính được :𝑎21 = 3 ;𝑎31 = 02| = -6−2402|=8−22|=41 𝑎22 = -2 ;𝑎32 = 2𝑎23 = -1 ;𝑎33 = -2−6 𝐴∗ =[ 843−2−102]−2Ta có:𝐴−1 =1det [𝐴]. 𝐴∗−1𝐴−6= .[ 8641−1𝐴−1 =[13−2−102]−2042−1323−13−13631]Nhân 𝐴−1 vào bên trái của cả hai vế phương trình [1] ta được: 𝐴−1 . A . X= 𝐴−1 . B−1−1 X=𝐴. 𝐵=[1042−1323−13−13631]10010. [220]= [60]030𝑥 = 10 {𝑦 = 60𝑧 = 30Kết luận: số lợn là 10; số gà là 60; số vịt là 302. Áp dụng trong mã hóa thơng tin II. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính1. Giải bài tốn tính cường độ dịng điện trong mạch điện một chiềuVD1:Cho mạch điện như hình vẽ:I4AR2Cho E = 20V, r= 1Ω, R1=R2=5Ω, R3=R4=3Ω,I3R5=6Ω. Bỏ qua điện trở của dây dẫn, tínhcường độ dịng điện chạy qua mỗi điện trở.R1I1Giải:R5Áp dụng định luật Kirckoff I tại nút A có:I1 = I 3 + I 4[1]Áp dụng định luật Kirckoff II ta có:{𝐼1 𝑅1 + 𝐼1 𝑅2 + 𝐼3 𝑅3 + 𝐼1 𝑟 − 𝐸 = 0𝐼1 𝑅1 + 𝐼1 𝑅2 + 𝐼4 𝑅4 + 𝐼4 𝑅5 + 𝐼1 𝑟 − 𝐸 = 0R4R3[2]Từ [1], [2] ta có hệ:𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0{ 𝐼1 [𝑅1 + 𝑅2 + 𝑟] + 𝐼3 𝑅3 = 𝐸𝐼1 [𝑅1 + 𝑅2 + 𝑟] + 𝐼4 [𝑅4 + 𝑅5 ] = 𝐸𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0↔ { 𝐼1 [5 + 5 + 1] + 3𝐼3 = 20 ↔ { 11𝐼1 + 3𝐼3 = 2011𝐼1 + 9𝐼4 = 20𝐼1 [5 + 5 + 1] + 𝐼4 [3 + 6] = 20[*] Chuyển thành ma trận ta có:1 +𝑑2 →𝑑2 10 −11𝑑−1−11𝑑1 +𝑑3 →𝑑3[ 0 1420] →200 111 −1 −1−11𝑑2 +𝑑3 →𝑑30 14 1114[→1590 0141 −1 −1[ 11 3 011 0 3−1112002030]7020]20Hệ [*] chuyển thành:20𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 05314𝐼3 + 11𝐼4 = 2060{↔ 𝐼3 =1593053𝐼4 =80147{ 𝐼4 = 53𝐼1 =80 80Vậy cường độ dòng điện đi qua R1,R2, R3, R4, R5 lần lượt là ;53 53VD2:Cho mạch điện như hình vẽ:;E1, r2A60 20 20;;53 53 53.R1I1BCho E1 =E2 =16V, r1 =r2 =1Ω, R1 =3Ω, R2=6Ω, R3 =4Ω, R4 =5Ω, R5 =6Ω. Dây dẫn cóA1điện trở khơng đáng kể. Tính số chỉ cảu cácR4Ampe kế A1, A2, A3.R2I5A2R5DA3C Giải:Áp dụng định luật Kirekhoff I cho điểm B có:I1 + I3 = I5[1]Áp dụng định luật Kirekhoff II có:{𝐼1 𝑅1 + 𝐼1 𝑟1 − 𝐸1 + 𝐼1 𝑅2 − 𝐼3 𝑅3 − 𝐼3 𝑟2 + 𝐸2 = 0[2]𝐼3 𝑟2 − 𝐸2 + 𝐼3 𝑅3 + 𝐼5 𝑅5 + 𝐼5 𝑅4 = 0Từ [1],[2] có hệ phương trình:𝐼1 𝑅1 + 𝐼1 𝑟1 − 𝐸1 + 𝐼1 𝑅2 − 𝐼3 𝑅3 − 𝐼3 𝑟2 + 𝐸2 = 0𝐼3 𝑟2 − 𝐸2 + 𝐼3 𝑅3 + 𝐼5 𝑅5 + 𝐼5 𝑅4 = 0{𝐼1 + I3 = 𝐼52. Giải hệ phương trình nhiều ẩn trong một bài tốn.VD1: Cân bằng phương trình hóa học sau:CO2 + H2O → C6H12O6 + O2Giải:Đặt phương trình hóa học có dạng như sau:xCO2 + yH2O → zC6H12O6 + tO2 [*]Bảo tồn ngun tố C,H,O ta có𝐶→𝑂→𝐻→x=6z ↔ x-6x=0[1]2x+y=6z+2t ↔ 2x-y-6z-2t=0[2]2y=12z ↔ y-6z =0[3]Từ [1],[2],[3] có hệ phương trình:x − 6x = 0{2x − y − 6z − 2t = 0y − 6z = 0Đưa hệ về ma trận:1𝐴̅ = [20011−6 0 0−6 −2 0]−6 0 0[I] −2𝑑1 +𝑑2 →𝑑2→1 0 −6[0 1 60 1 −60 0 −𝑑2+𝑑3→𝑑3 1[0−2 0]→0 00010−6 06 −2−12 200]0Hệ phương trình [I] chuyển thành:𝑥 − 6𝑧 = 0{ 𝑦 + 6𝑧 = 0−12𝑧 + 2𝑡 = 0[II] [hệ phương trình bậc thang]Đặt t=α, với 𝛼 ∈ 𝑅𝑥= 𝛼𝑥 − 6𝑧 = 0𝑦 = 𝛼[𝐼𝐼] ↔ {𝑦 + 6𝑧 = 2𝛼 ↔ {α𝑧=−12 = 2𝛼6αVậy tập nghiệm của pt [α, ; 𝛼 ∈ 𝑅]6Thay nghiệm vào vào [*] có phương trình hóa học:𝛂α CO2 + α H2O → C6H12O6 + α O2𝟔Rút về dạng tối giản nhất thì α=1. Phương trình cân bằng cần tìm là:𝟏CO2 + H2O → C6H12O6 + O2𝟔VD2: Để tìm nồng độ cồn trong máu thì người ta có thể lấy mẫu máu hoặc mẫu nước tiểucủa người nghi ngờ vi phạm, nhưng điều này không khả thi khi triển khai thực tế màngược lại nó cịn có tính chất xâm phạm cơ thể. Chính vì thế mà người ta tìm ra phươngpháp xác định nồng độ cồn trong máu qua hơi thở, nhờ các thiết bị tân tiến cho kết quảngay lập tức. Cồn xuất hiện trong hơi thở của người uống nó, điều này xảy ra khi uốngbia rượu vào miệng xuống dạ dày, ruột và được hấp thụ vào máu. Cồn không bị phân hủykhi bị hấp thụ, cũng khơng thay đổi về mặt hóa học trong máu, khi máu di chuyển quaphổi thì một phần cồn sẽ bị thẩm thấu qua màng túi khí của phổi, bản chất cồn dễ bay hơinên nó sẽ hịa vào phần khơng khí của túi khí phổi, chính vì mối liên hệ này mà người tacó thể suy ra được lượng cồn có trong máu. Thay vì phải kiểm tra máu thì cảnh sát sẽ kiểm tra hơi thở của người nghi ngờ uống quá rượu bia, đưa ra quyết định có giữ phươngtiện lại hay khơng để đảm bảo an tồn. Tỉ lệ cồn có trong máu so với hơi thở ở khoảng2100:1, nghĩa là cứ 2100 ml hơi thở có cồn thì tương đương có 1 ml cồn trong máu.Phương trình hóa học để kiểm tra nông độ cồn:C2H5OH + Cr3 → Cr2O3 + CO2 + H20Tuy nhiên phương trình chưa được cân bằng anh/chị hãy cân bằng phương trình trên.Giải:Đặt phương trình có dạng sau:aC2H5OH + bCr3 → cCr2O3 + dCO2 + eH20Bảo tồn ngun tố C,H,O,Cr ta có:𝐶→𝐻→𝑂→𝐶𝑟→2a = d[1]6a = 2e[2]a + 3b = 3c + 2d +e[3]b = 2c[4]Từ [1], [2], [3], [4] ta có hệ phương trình:𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑2𝑒 = 02𝑎 − 𝑑 = 0{3𝑎 − 𝑒 = 0𝑏 − 2𝑐 = 𝑜[5]Ta có:1 3 −3𝐴̅ = [ 2 0 03 0 00 1 −2−2 −1 0 −2𝑑1 +𝑑2→𝑑2 11 +𝑑3 →𝑑3 0−1 0 0 ] −3𝑑[→0 −1 000 0 003 −3−6 6−9 91 −2−2360−1 02 0 ]2 00 0 101𝑑6 2+𝑑4 →𝑑4−3𝑑 +𝑑 →𝑑32 2 3→3 −3−6 6−2 −1 01 3 −33 2 00 −6 63𝑑3 ↔𝑑4−1 0 →0 0 −121 10 0 00 ][2 30 0 00 0 −1[−231232−1 02 01031Hệ phương trình [5] trở thành:𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑 − 𝑒 = 0−6𝑏 + 6𝑐 + 3𝑑 + 2𝑒 = 011−𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 0233𝑑−𝑒 =0{2Đặt e=α, 𝛼 ∈ 𝑅𝛼𝑎=𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑 = 𝛼3−6𝑏 + 6𝑐 + 3𝑑 = −2𝛼4𝛼𝑏=1𝛼3−𝑐 + 𝑑 =→2𝛼23𝑐=33𝑑=𝛼2𝛼{2{𝑑 = 3Vậy tập nghiệm[α,2𝛼3,4𝛼 𝛼3, ;𝛼 ∈ 𝑅]3Thay nghiệm vài [*] ta có phương trình hóa học sau:𝛼3C2H5OH +4𝛼3Cr3 →2𝛼3Cr2O3 +2𝛼3CO2 + α H20Rút về dạng tối giản nhất thì α=3. Phương trình cân bằng cần tìm là:C2H5OH + 4Cr3 → 2Cr2O3 + 2CO2 + 3H200 ]