adsense
Câu hỏi:
Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
A. 124
B. 132
C. 136
D. 120
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[
\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {a \ne 0} \right]\]
Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.⇒ d∈{0;5}
TH1: d=0, số cần tìm có dạng \[
\overline {abc0}\]
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c⋮3
Ta có các nhóm: \[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\{ 2;5;8\} \equiv 3[mod2]\\
\{ 9 \equiv 3[mod0]\\
\{ 1;4;7\} \equiv 3[mod1]
\end{array} \right.\\
a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {\bmod 1} \right] \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {1;4;7} \right\}
\end{array}\]
⇒ Có 3! cách chọn.
+] \[
a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {\bmod 2} \right] \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\]⇒ Có 3! cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có\[
1.C_3^1.C_3^1.3!\] cách chọn
⇒ Có \[
3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\] số
adsense
TH2: d=5, số cần tìm có dạng \[
\overline {abc5} \]
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c+5⋮3, trong đó 5≡3[mod2]
Ta có các nhóm: \[\left\{ \begin{array}{l}
\{ 0;9\} \equiv 3[mod0]\\
\{ 1;4;7\} \equiv 3[mod1]\\
\{ 2;8\} \equiv 3[mod2]
\end{array} \right.\]
+ Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
⇒ Có \[
C_3^1.3! – C_1^3.2! = 12\] cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
⇒ Có \[C^1_2.3!−2!=10\] cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,ccó 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2
⇒ Có \[C^2_3.C^1_2.3!=36\] cách chọn.
Vậy có tất cả 66+12+10+36=124 số thỏa mãn
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
\[\text { Vì } n \text { không chia hết cho } 5 \Rightarrow a_{4} \text { phải khác } 0 \text { và khác } 5 \text { . }\]
\[\text { Ta có } \left.4 \text { cách chon } a_{4} \text { [chọn } 1,2,7,9\right] \text { , có } 4 \text { cách chọn } a_{1} \text { và có } \mathrm{A}_{4}^{2} \text { cách chọn } \overline{a_{2} a_{3}} \text { . }\]
adsense
\[\text { Suy ra ta có } 4 \cdot 4 \cdot \mathrm{A}_{4}^{2}=192 \text { số thoả mãn yêu cầu bài toán. }\]