Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh là $A\left[ {1,1,1} \right],{\rm{ }}B\left[ {1,2,1} \right],{\rm{ }}C\left[ {1,1,2} \right]$ và $D\left[ {2,2,1} \right]$. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có phương trình là
Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M[2;-1;3] và có véc tơ chỉ phương u→=1;2;-4là
Đáp án chính xác
Xem lời giải
Vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với d.
Chú ý: Nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì $k.\overrightarrow{u}\,\,[k\in \mathbb{R};k\ne 0]$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
2. Phương trình tham số và phương trình chính tắt của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=[a;b;c]$ có:
+ Phương trình tham số : $\left\{ \begin{array} {} x={{x}_{0}}+at \\ {} y={{y}_{0}}+bt \\ {} z={{z}_{0}}+ct \\ \end{array} \right.\,\,\,[t\in \mathbb{R}].$
[Với mỗi giá trị t cho ta các giá trị tương ứng $x,\,\,y,\,\,z$ tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường thẳng].
+] Phương trình chính tắc là: $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$ với điều kiện abc ≠ 0.
3. Xác định vecto chỉ phương
Cho 2 mặt phẳng [P] và [Q] lần lượt có phương trình là $\text{Ax}+By+Cz+D=0$ và
$\text{A }\!\!'\!\!\text{ x}+B'y+C'z+D'=0$ với điều kiện $A:B:C\ne A':B':C'$
Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng.
Đường thẳng d gồm những điểm M [x;y;z] vừa thuộc mặt phẳng [P] vừa thuộc mặt phẳng [Q] nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} Ax+By+Cz+D=0 \\ {} A'x+B'y+C'z+D'=0 \\ \end{array} \right..$
Khi đó $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$ với $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=[A;B;C];\,\,\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=[A';B';C']$ là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng d.
4. Một số cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay gặp:
• [d] đi qua điểm A và song song với đường thẳng [∆] thì ta chọn cho ${{\overrightarrow{u}}_{d}}={{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}$
• [d] đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng [d1], [d2] thì$\left\{ \begin{array} {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}} \\ {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \\ \end{array} \right.\to {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}},{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \right]$
• [d] đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng [α], [β] thì $\left\{ \begin{array} {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\ {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}{{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$
• [d] đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng [∆]; song song với mặt phẳng [P] thì
$\left\{ \begin{array} {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \\ {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{P}} \\ \end{array} \right.\to {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }},{{\overrightarrow{n}}_{P}} \right]$
Viết phương trình đường thẳng trong không gian là chủ đề quan trọng trong chương trình toán học Trung học phổ thông. Để nắm chắc kiến thức về chuyên đề này, kiến thức lý thuyết cũng như các dạng toán và cách giải các loại bài tập, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu cụ thể qua bài viết dưới đây nhé!
Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian
Bao gồm 2 dạng là phương trình chính tắc và phương trình tham số.
Đường thẳng d đi qua điểm \[M_{0}[x_{0},y_{0},z_{0}]\] và có vec tơ chỉ phương \[\vec{u}=[a,b,c]\] có:
Phương trình tham số của đường thẳng d
\[\left\{\begin{matrix} x = x_{0} + at & \\ y = y_{0} + bt & \\ z = z_{0} + ct & \end{matrix}\right.\]
Với \[t\in R\]
Phương trình chính tắc của đường thẳng d
\[\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}\]
Với \[abc\neq 0\]
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
Tìm hiểu về góc giữa hai đường thẳng
Tìm hiểu về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Tìm hiểu khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương trình tổng quát đường thẳng trong không gian
Để viết được phương trình đường thẳng d ta quy d thành giao tuyến của mặt phẳng [P] và [Q]. Với
[P]: \[A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0\]
[Q]: \[A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0\]
Thì phương trình tổng quát của d là:
\[\left\{\begin{matrix} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 & \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 & \end{matrix}\right.\]
Khi đó vector chỉ phương của d là \[\vec{u_{d}} = \left [ \vec{n_{P}},\vec{n_{Q}}\right ]\]
Các dạng toán viết phương trình đường thẳng trong không gian
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
Phương trình đường thẳng Ox trong không gian
Đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng Oyz nên nhận véc tơ [1,0,0] của trục Ox làm vector chỉ phương. Mặt khác Ox lại đi qua điểm O [0,0,0] nên phương trình đường thẳng Ox là: \[\left\{\begin{matrix} x = t & \\ y = 0 & \\ z = 0 & \end{matrix}\right.\]
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz. Nếu có bất kì đóng góp hay thắc mắc các bạn để lại bình luận bên dưới để cùng DINHNGHIA.VN trao đổi thêm nhé. Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nha ^^
Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập
Xem thêm >>> Viết phương trình mặt phẳng trong không gian: Lý thuyết và Bài tập
Xem chi tiết qua bài giảng sau:
[Nguồn: www.youtube.com]
Please follow and like us: