Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11
Phương pháp chung:
Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng:
- Hàm số $y=\sin x:$
* Đồng biến trên các khoảng $\left[ -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \right],\,k\in \mathbb{Z}.$
* Nghịch biến trên các khoảng $\left[ \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi \right],\,k\in \mathbb{Z}.$
- Hàm số $y=\cos x:$
* Đồng biến trên các khoảng $\left[ -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi \right],\,k\in \mathbb{Z}.$
* Nghịch biến trên các khoảng $\left[ k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi \right],\,k\in \mathbb{Z}.$
- Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên các khoảng $\left[ -\dfrac{\pi }{2}+k\pi ;\,\,\dfrac{\pi }{2}+k\pi \right],\,k\in \mathbb{Z}.$
- Hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên các khoảng $\left[ k\pi ;\,\,\pi +k\pi \right],\,k\in \mathbb{Z}.$
Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa.
Câu 1.
Trong khoảng \[\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]\], hàm số \[y=\sin x-\cos x\]là hàm số:
[A]. Đồng biến.
[B]. Nghịch biến.
[C]. Không đổi.
[D]. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.
Đáp án A.
Cách 1: Ta thấy trên khoảng $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$ hàm $f[x]=\sin x$ đồng biến và hàm $g[x]=-\cos x$đồng biến , suy ra trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$ hàm số $y=\sin x-\cos x$ đồng biến.
Cách 2: Sử dụng máy tính . Dùng TABLE ta xác định được hàm số $y=\sin x-\cos x$tăng trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$
Câu 2.
Hàm số \[y=\sin 2x\]nghịch biến trên các khoảng nào sau đây \[\left[ k\in Z \right]\]?
[A]. \[\left[ k2\pi ;\pi +k2\pi \right]\].
[B]. \[\left[ \dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{3\pi }{4}+k\pi \right]\].
[C]. \[\left[ \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi \right]\].
[D]. \[\left[ -\dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{\pi }{4}+k\pi \right]\].
Đáp án C .
Ta thấy hàm số $y=\sin 2x$ nghịch biến trên $\left[ \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi \right],k\in \mathbb{Z}$, suy ra hàm số $y=\sin 2x$nghịch biến khi $\dfrac{\pi }{2}+k2\pi