Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật[1] các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột[2][3] mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột.
Các số, ký hiệu hay biểu thức trong ma trận được gọi là các phần tử của nó. Các đường theo phương ngang hoặc phương dọc chứa các phần tử trong ma trận được gọi tương ứng là hàng và cột.
Độ lớnSửa đổi
Độ lớn hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột. Một ma trận m hàng và n cột được gọi là ma trận m×n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m và n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3×2.
Ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng, ma trận chỉ có một cột gọi là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột [hoặc cả hai] được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.
| Vectơ hàng | 1×n | [ 3 7 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}} | Ma trận có một hàng, được dùng để biểu diễn một vectơ |
| Vectơ cột | n×1 | [ 4 1 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}} | Ma trận có một cột, được dùng để biểu diễn một vectơ |
| Ma trận vuông | n×n | [ 9 13 5 1 11 7 2 6 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}} | Ma trận có cùng số hàng và số cột, nó được sử dụng để biểu diễn phép biến đổi tuyến tính từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phép phản xạ, phép quay hoặc ánh xạ cắt. |
Lịch sửSửa đổi
Ma trận có một lịch sử dài về ứng dụng trong giải các phương trình tuyến tính nhưng chúng được biết đến là các mảng cho tới tận những năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN đưa ra phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến tính,[8] bao gồm khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học người Ý Girolamo Cardano giới thiệu phương pháp giải này vào châu Âu khi ông công bố quyển Ars Magna.[9] Nhà toán học Nhật Bản Seki đã sử dụng phương pháp mảng này để giải hệ phương trình vào năm 1683.[10] Nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần đầu tiên biểu diễn các biến đổi dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves [1659].[11] Giữa các năm 1700 và 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz công bố phương pháp sử dụng các mảng để ghi lại thông tin hay tìm nghiệm và nghiên cứu trên 50 loại ma trận khác nhau.[9] Cramer đưa ra quy tắc của ông vào năm 1750.
Thuật ngữ trong tiếng Anh "matrix" [tiếng Latin là "womb", dẫn xuất từ matermẹ[12]] do James Joseph Sylvester nêu ra vào năm 1850,[13] khi ông nhận ra rằng ma trận là một đối tượng làm xuất hiện một số định thức mà ngày nay gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ hơn thu được từ ma trận ban đầu bằng cách xóa đi các hàng và các cột. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:
Tôi đã định nghĩa trong bài báo trước về "Ma trận" là một mảng chữ nhật chứa các phần tử, mà những định thức khác nhau có thể đưa ra định thức của ma trận mẹ.[14]Arthur Cayley đăng một chuyên luận về các phép biến đổi hình học sử dụng ma trận ngoài những phép biến đổi quay đã được khảo sát trước đó. Thay vào đó, ông định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia những ma trận này và chứng tỏ các quy tắc kết hợp và phân phối vẫn được thỏa mãn. Cayley đã nghiên cứu và minh chứng tính chất không giao hoán của phép nhân ma trận cũng như tính giao hoán của phép cộng ma trận.[9] Lý thuyết ma trận sơ khai bị giới hạn ở cách sử dụng các mảng và tính định thức và các phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã làm nên cuộc cách mạng cho lý thuyết này. Ông áp dụng khái niệm ma trận cho hệ phương trình tuyến tính độc lập. Năm 1858 Cayley công bố Hồi ký về lý thuyết ma trận[15][16] trong đó ông nêu ra và chứng minh định lý Cayley-Hamilton.[9]
Nhà toán học người Anh Cullis là người đầu tiên sử dụng ký hiệu ngoặc hiện đại cho ma trận vào năm 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng A = [ai,j] để biểu diễn một ma trận với ai,j là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j.[9]
Quá trình nghiên cứu định thức xuất phát từ một số nguồn khác nhau.[17] Các bài toán số học dẫn Gauss đi tới liên hệ các hệ số của dạng toàn phương, những đa thức có dạng x2 + xy 2y2, và ánh xạ tuyến tính trong không gian ba chiều với ma trận. Eisenstein đã phát triển xa hơn các khái niệm này, với nhận xét theo cách phát biểu hiện đại rằng tích ma trận là không giao hoán. Cauchy là người đầu tiên chứng minh những mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông sử dụng định nghĩa như sau về định thức của ma trận A = [ai,j]: thay thế lũy thừa ajk bằng ajk trong đa thức
a 1 a 2 a n i < j [ a j a i ] {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i m, và nếu hạng của ma trận Jacobi đạt giá trị lớn nhất bằng m, f là hàm khả nghịch tại điểm đó theo như định lý hàm ẩn.[98]Các nhà toán học có thể phân loại phương trình đạo hàm riêng bằng cách xét ma trận các hệ số của những toán tử vi phân bậc cao nhất của phương trình. Đối với phương trình đạo hàm riêng eliptic ma trận này xác định dương và có ảnh hưởng quyết định đến tập hợp nghiệm khả dĩ của bài toán tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng.[99]
Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số quan trọng để giải phương trình đạo hàm riêng, được ứng dụng rộng rãi trong việc mô phỏng các hệ thống thực phức hợp. Phương pháp này đánh giá xấp xỉ nghiệm của phương trình bằng cách phân chia phương trình thành các hàm tuyến tính, mà những hàm này được chọn để lưới tạo ra đủ mịn, mà từ đó có thể viết phương trình dưới dạng phương trình ma trận.[100]
Lý thuyết xác suất và thống kêSửa đổi
Ma trận quá trình ngẫu nhiên là những ma trận vuông mà các hàng của nó là các vectơ xác suất, tức là vectơ có các thành phần không âm và tổng của chúng bằng 1. Ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để tìm xích Markov với những trạng thái hữu hạn.[101] Một hàng của ma trận ngẫu nhiên cho phân bố xác suất của vị trí tiếp theo của một số hạt ở trong trạng thái tương ứng với hàng đó. Các tính chất của xích Markov giống như điểm hấp dẫn [attractor], những điểm trạng thái mà các hạt cuối cùng đạt tới, có thể được suy ra từ những vectơ riêng của ma trận chuyển tiếp.[102]
Lý thuyết thống kê cũng áp dụng ma trận trong nhiều dạng khác nhau.[103] Thống kê mô tả đề cập tới tập hợp dữ liệu được mô tả, mà chúng được biểu diễn bằng các ma trận dữ liệu, sau đó các nhà thống kê sử dụng những kỹ thuật "thu giảm số biến" [dimensionality reduction" để khảo sát các ma trận này. Ma trận hiệp phương sai mã hóa phương sai tương hỗ của các biến ngẫu nhiên.[104] Các kỹ thuật khác sử dụng ma trận là bình phương tối thiểu, một phương pháp xấp xỉ tập hợp hữu hạn những cặp điểm [x1, y1], [x2, y2],..., [xN, yN], bằng một hàm số tuyến tính
yi axi + b, i = 1,..., N do chúng có thể được thiết lập dựa trên ngôn ngữ của lý thuyết ma trận, với liên hệ đến kỹ thuật phân tích thành tích các ma trận giá trị riêng đặc biệt [singular value decomposition].[105]Ma trận ngẫu nhiên là ma trận với phần tử là những số ngẫu nhiên, phù hợp cho nghiên cứu tính chất phân bố xác suất, như là ma trận phân bố chuẩn. Ngoài lý thuyết xác suất, chúng còn được áp dụng trong phạm vi từ lý thuyết số tới vật lý học.[106][107]
Đối xứng và các biến đổi trong vật lý họcSửa đổi
Các biến đổi tuyến tính và những đối xứng đi kèm đóng vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Ví dụ, các hạt cơ bản trong lý thuyết trường lượng tử được phân loại nhờ những biểu diễn của nhóm Lorentz trong thuyết tương đối hẹp và, cụ thể hơn, bởi ứng xử của chúng dưới nhóm spin. Những biểu diễn tường minh bao gồm ma trận Pauli và ma trận gamma tổng quát hơn là phần tích phân của miêu tả vật lý đối với fermion, mà hoạt động như là spinor.[108] Đối với ba loại quark nhẹ nhất, có thể biểu diễn chúng bằng nhóm unita đặc biệt SU[3]; và các nhà vật lý sử dụng ma trận biểu diễn thuận tiện gọi là ma trận Gell-Mann khi tính toán liên quan, ma trận này cũng được sử dụng cho nhóm chuẩn SU[3] mà nó trở thành cơ sở cho lý thuyết miêu tả về tương tác mạnh, sắc động lực học lượng tử. Ma trận CabibboKobayashiMaskawa, biểu diễn trạng thái cơ bản các quark khi tham gia vào tương tác yếu, nó không giống như ma trận Gell-Mann, nhưng có liên hệ tuyến tính với trạng thái cơ bản các quark xác định lên hạt tổ hợp với tính chất và khối lượng cụ thể.[109]
Tổ hợp tuyến tính của các trạng thái lượng tửSửa đổi
Mô hình đầu tiên về cơ học lượng tử [Heisenberg, 1925] biểu diễn các toán tử của lý thuyết bằng các ma trận vô hạn chiều tác dụng lên các trạng thái lượng tử.[110] Lý thuyết này còn được gọi là cơ học ma trận. Một ví dụ cụ thể đó là ma trận mật độ đặc trưng cho trạng thái "trộn" của một hệ lượng tử như là tổ hợp tuyến tính của các trạng thái riêng thuần tuý và cơ bản.[111]
Ví dụ khác về ma trận trở thành công cụ quan trọng cho miêu tả các thí nghiệm tán xạ là hoạt động trung tâm của vật lý hạt thực nghiệm: Những phản ứng va chạm xảy ra trong các máy gia tốc, nơi các hạt được cho va chạm đối đầu vào nhau trong một miền va chạm nhỏ, với kết quả sau va chạm sinh ra những hạt mới, có thể được miêu tả bằng tích vô hướng của trạng thái những hạt hình thành với tổ hợp tuyến tính của các hạt tham gia vào va chạm. Tổ hợp tuyến tính này cho bởi ma trận gọi là ma trận S, nó chứa mọi thông tin về các tương tác khả dĩ giữa những hạt tham gia vào va chạm.[112]
Dao động riêngSửa đổi
Ứng dụng phổ biến của ma trận trong vật lý học là dùng để miêu tả hệ dao động điều hòa tuyến tính. Phương trình chuyển động của những hệ này có thể miêu tả theo dạng ma trận, với ma trận khối lượng nhân với một vectơ tọa độ sẽ cho số hạng động học, ma trận lực nhân với vectơ chuyển dời vị trí sẽ cho đặc trưng của tương tác. Cách tốt nhất để thu được nghiệm của hệ phương trình đó là xác định các vectơ riêng của hệ, hay các dao động riêng, bằng cách chéo hóa phương trình ma trận. Các kỹ thuật như thế này là quan trọng khi nghiên nghiên cứu nội động lực phân tử: các dao động bên trong của hệ chứa các nguyên tử thành phần liên kết với nhau.[113] Chúng cũng cần thiết để miêu tả dao động cơ học, dao động trong mạch điện.[114]
Quang hình họcSửa đổi
Quang hình học sử dụng các ứng dụng của ma trận nhiều hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ này, bản chất sóng của ánh sáng được bỏ qua. Mô hình kết quả trong đó tia sáng trở thành tia hình học. Nếu sự lệch của tia sáng bởi các quang cụ là nhỏ, tác dụng của một thấu kính hoặc dụng cụ phản xạ lên một tia sáng có thể được biểu diễn bằng tích của một vectơ hai thành phần với ma trận 2x2 gọi là ma trận chuyển tiếp tia [ray transfer matrix]: các thành phần của vec tơ là độ dốc của tia sáng và khoảng cách của nó tới quang trục, trong khi ma trận mã hóa các tính chất của quang cụ. Thực sự có hai kiểu ma trận, trong đó ma trận khúc xạ miêu tả sự khúc xạ tại bề mặt thấu kính, và ma trận tịnh tiến miêu tả sự tịnh tiến của mặt phẳng tham chiếu tới mặt phẳng khúc xạ kề cận, nơi một ma trận khúc xạ khác được áp dụng. Quang hệ, bao gồm tổ hợp các thấu kính và các dụng cụ phản xạ, được miêu tả đơn giản bằng ma trận từ tích các ma trận thành phần.[115]
Điện tử họcSửa đổi
Phương pháp phân tích dòng điện vòng [mesh analysis] truyền thống trong điện tử học dẫn tới việc tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính mà có thể miêu tả bằng ma trận.
Hoạt động của nhiều linh kiện điện tử được miêu tả bằng ma trận. Nếu A là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp vào v1 và dòng vào i1, gọi B là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp ra v2 và dòng ra i2. Thì hoạt động của linh kiện điện tử được miêu tả bằng phương trình B = H A, với H là ma trận 2 x 2 chứa một phần tử trở kháng [h12], và một phần tử độ dẫn [admitance] [h21] và hai đại lượng không thứ nguyên [h11 và h22]. Việc tính toán mạch điện thu về việc nhân các ma trận.
Tham khảoSửa đổi
- ^ hoặc tương đương là bảng
- ^ Anton [1987, tr.23]
- ^ Beauregard & Fraleigh [1973, tr.56]
- ^ K. Bryan and T. Leise. The $25,000,000,000 eigenvector: The linear algebra behind Google. SIAM Review, 48[3]:569581, 2006.
- ^ Lang2002
- ^ Fraleigh [1976, tr.209]
- ^ Nering [1970, tr.37]
- ^ Shen, Crossley & Lun1999 cited by Bretscher[[#CITEREFBretscher|]], p. 1, 2005
- ^ a b c d e Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, ngày 10 tháng 10 năm 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564-565
- ^ Needham, Joseph; Wang Ling [1959]. Science and Civilisation in China. III. Cambridge: Cambridge University Press. tr.117. ISBN9780521058018.
- ^ Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, ngày 10 tháng 10 năm 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564
- ^ MerriamWebster dictionary, MerriamWebster, truy cập ngày 20 tháng 4 năm 2009
- ^ Mặc dù nhiều nguồn cho rằng J. J. Sylvester đưa ra thuật ngữ "matrix" vào năm 1848, nhưng Sylvester không công bố tài liệu nào vào năm 1848. [Về dẫn chứng cho Sylvester không công bố gì vào năm 1848, xem: J. J. Sylvester và H. F. Baker, ed., The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1904], vol. 1.] Năm đầu tiên mà ông sử dụng "matrix" xuất hiện vào năm 1850: J. J. Sylvester [1850] "Additions to the articles in the September number of this journal, "On a new class of theorems," and on Pascal's theorem," The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 37: 363-370. From page 369: "For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants "
- ^ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 18371853, Paper 37, p. 247
- ^ Phil.Trans. 1858, vol.148, pp.17-37 Math. Papers II 475-496
- ^ Dieudonné, ed.1978, Vol. 1, Ch. III, p. 96
- ^ Knobloch1994
- ^ Hawkins1975
- ^ Kronecker1897
- ^ Weierstrass1915, pp. 271286
- ^ Bôcher2004
- ^ Mehra & Rechenberg1987
- ^ Tarski, Alfred; [1946] Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc, New York NY, ISBN 0-486-28462-X.
- ^ Oualline2003, Ch. 5
- ^ How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito. TED ED. Truy cập ngày 3 tháng 5 năm 2015.
- ^ Brown1991, Definition I.2.1 [addition], Definition I.2.4 [scalar multiplication], and Definition I.2.33 [transpose]
- ^ a b Brown1991, Theorem I.2.6
- ^ Brown1991, Definition I.2.20
- ^ Brown1991, Theorem I.2.24
- ^ Horn & Johnson1985, Ch. 4 and 5
- ^ Bronson [1970, tr.16]
- ^ Kreyszig [1972, tr.220]
- ^ a b Protter & Morrey [1970, tr.869]Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFProtterMorrey1970 [trợ giúp]
- ^ Kreyszig [1972, tr.241,244]
- ^ Schneider, Hans; Barker, George Phillip [2012], Matrices and Linear Algebra, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Corporation, tr.251, ISBN9780486139302.
- ^ Perlis, Sam [1991], Theory of Matrices, Dover books on advanced mathematics, Courier Dover Corporation, tr.103, ISBN9780486668109.
- ^ Anton, Howard [414], Elementary Linear Algebra [ấn bản 10], John Wiley & Sons, ISBN9780470458211.
- ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. [2012], Matrix Analysis [ấn bản 2], Cambridge University Press, tr.17, ISBN9780521839402.
- ^ Brown1991, I.2.21 and 22
- ^ Greub1975, Section III.2
- ^ Brown1991, Definition II.3.3
- ^ Greub1975, Section III.1
- ^ Brown1991, Theorem II.3.22
- ^ Horn & Johnson1985, Theorem 2.5.6
- ^ Brown1991, Definition I.2.28
- ^ Brown1991, Definition I.5.13
- ^ Horn & Johnson1985, Chapter 7
- ^ Horn & Johnson1985, Theorem 7.2.1
- ^ Horn & Johnson1985, Example 4.0.6, p. 169
- ^ Brown1991, Definition III.2.1
- ^ Brown1991, Theorem III.2.12
- ^ Brown1991, Corollary III.2.16
- ^ Mirsky1990, Theorem 1.4.1
- ^ Brown1991, Theorem III.3.18
- ^ Brown1991, Definition III.4.1
- ^ Brown1991, Definition III.4.9
- ^ Brown1991, Corollary III.4.10
- ^ Householder1975, Ch. 7
- ^ Bau III & Trefethen1997
- ^ Golub & Van Loan1996, Algorithm 1.3.1
- ^ Golub & Van Loan1996, Chapters 9 and 10, esp. section 10.2
- ^ Golub & Van Loan1996, Chapter 2.3
- ^ Grcar, Joseph F. [ngày 1 tháng 1 năm 2011]. John von Neumann's Analysis of Gaussian Elimination and the Origins of Modern Numerical Analysis. SIAM Review. 53 [4]: 607682. doi:10.1137/080734716. ISSN0036-1445.
- ^ For example, Mathematica, see Wolfram2003, Ch. 3.7
- ^ Press, Flannery & Teukolsky1992
- ^ Stoer & Bulirsch2002, Section 4.1
- ^ Horn & Johnson1985, Theorem 2.5.4
- ^ Horn & Johnson1985, Ch. 3.1, 3.2
- ^ Arnold & Cooke1992, Sections 14.5, 7, 8
- ^ Bronson1989, Ch. 15
- ^ Coburn1955, Ch. V
- ^ Lang2002, Chapter XIII
- ^ Lang2002, XVII.1, p. 643
- ^ Lang2002, Proposition XIII.4.16
- ^ Reichl2004, Section L.2
- ^ Greub1975, Section III.3
- ^ Greub1975, Section III.3.13
- ^ Xem các giáo trình cơ sở về lý thuyết nhóm.
- ^ Baker2003, Def. 1.30
- ^ Baker2003, Theorem 1.2
- ^ Artin1991, Chapter 4.5
- ^ Rowen2008, Example 19.2, p. 198
- ^ Xem các giáo trình về lý thuyết biểu diễn hoặc biểu diễn nhóm.
- ^ Xem phần "Ma trận" trong Itõ, ed.1987
- ^ "Không có nhiều lý thuyết ma trận chuyển sang không gian vô hạn chiều và những gì không hữu ích, nhưng đôi khi lại hữu ích." Halmos1982, p. 23, Chapter 5
- ^ "Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero", Glossary Lưu trữ 2009-04-29 tại Wayback Machine, O-Matrix v6 User Guide
- ^ "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", MATLAB Data Structures Lưu trữ 2009-12-28 tại Wayback Machine
- ^ Fudenberg & Tirole1983, Section 1.1.1
- ^ Manning1999, Section 15.3.4
- ^ Ward1997, Ch. 2.8
- ^ Stinson2005, Ch. 1.1.5 and 1.2.4
- ^ Association for Computing Machinery1979, Ch. 7
- ^ Godsil & Royle2004, Ch. 8.1
- ^ Punnen2002
- ^ Lang1987a, Ch. XVI.6
- ^ Nocedal2006, Ch. 16
- ^ Lang1987a, Ch. XVI.1
- ^ Lang1987a, Ch. XVI.5. Xem bài viết chi tiết, và những phát biểu tổng quát xem Lang1969, Ch. VI.2
- ^ Gilbarg & Trudinger2001
- ^ Šolin2005, Ch. 2.5.
- ^ Latouche & Ramaswami1999
- ^ Mehata & Srinivasan1978, Ch. 2.8
- ^ Healy, Michael [1986], Matrices for Statistics, Oxford University Press, ISBN978-0-19-850702-4
- ^ Krzanowski1988, Ch. 2.2., p. 60
- ^ Krzanowski1988, Ch. 4.1
- ^ Conrey2007
- ^ Zabrodin, Brezin & Kazakov và đồng nghiệp.2006
- ^ Itzykson & Zuber1980, Ch. 2
- ^ see Burgess & Moore2007, section 1.6.3. [SU[3]], section 2.4.3.2. [KobayashiMaskawa matrix]
- ^ Schiff1968, Ch. 6
- ^ Bohm2001, sections II.4 and II.8
- ^ Weinberg1995, Ch. 3
- ^ Wherrett1987, part II
- ^ Riley, Hobson & Bence1997, 7.17
- ^ Guenther1990, Ch. 5
- ^ Eigen có nghĩa là "riêng" trong tiếng Đức và tiếng Hà Lan.
- ^ Ngoài ra, nhóm đòi hỏi tập hợp và phép toán phải đóng đối với nhóm tuyến tính tổng quát.
Tham khảoSửa đổi
- Anton, Howard [1987], Elementary Linear Algebra [ấn bản 5], New York: John Wiley & Sons, ISBN0-471-84819-0
- Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger [1992], Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-3-540-54813-3
- Artin, Michael [1991], Algebra, Prentice Hall, ISBN978-0-89871-510-1
- Association for Computing Machinery [1979], Computer Graphics, Tata McGrawHill, ISBN978-0-07-059376-3
- Baker, Andrew J. [2003], Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-1-85233-470-3
- Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. [1997], Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN978-0-89871-361-9
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. [1973], A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN0-395-14017-X
- Bretscher, Otto [2005], Linear Algebra with Applications [ấn bản 3], Prentice Hall
- Bronson, Richard [1970], Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN70097490
- Bronson, Richard [1989], Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGrawHill, ISBN978-0-07-007978-6
- Brown, William C. [1991], Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN978-0-8247-8419-5
- Coburn, Nathaniel [1955], Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, OCLC1029828
- Conrey, J. Brian [2007], Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-69964-8
- Fraleigh, John B. [1976], A First Course In Abstract Algebra [ấn bản 2], Reading: Addison-Wesley, ISBN0-201-01984-1
- Fudenberg, Drew; Tirole, Jean [1983], Game Theory, MIT Press
- Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. [2001], Elliptic partial differential equations of second order [ấn bản 2], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-3-540-41160-4
- Godsil, Chris; Royle, Gordon [2004], Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-95220-8
- Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. [1996], Matrix Computations [ấn bản 3], Johns Hopkins, ISBN978-0-8018-5414-9
- Greub, Werner Hildbert [1975], Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-90110-7
- Halmos, Paul Richard [1982], A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 [ấn bản 2], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-90685-0, MR0675952
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. [1985], Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-38632-6
- Householder, Alston S. [1975], The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications, MR0378371
- Kreyszig, Erwin [1972], Advanced Engineering Mathematics [ấn bản 3], New York: John Wiley & Sons, ISBN0-471-50728-8.
- Krzanowski, Wojtek J. [1988], Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN978-0-19-852211-9, MR0969370
- Itõ, Kiyosi biên tập [1987], Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV [ấn bản 2], MIT Press, ISBN978-0-262-09026-1, MR0901762
- Lang, Serge [1969], Analysis II, Addison-Wesley
- Lang, Serge [1987a], Calculus of several variables [ấn bản 3], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-96405-8
- Lang, Serge [1987b], Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-96412-6
- * Lang, Serge [2002], Algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-95385-4
- Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan [1999], Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling [ấn bản 1], Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN978-0-89871-425-8
- Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich [1999], Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, ISBN978-0-262-13360-9
- Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. [1978], Stochastic processes, New York, NY: McGrawHill, ISBN978-0-07-096612-3
- Mirsky, Leonid [1990], An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN978-0-486-66434-7
- Nering, Evar D. [1970], Linear Algebra and Matrix Theory [ấn bản 2], New York: John Wiley & Sons, LCCN76-91646
- Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. [2006], Numerical Optimization [ấn bản 2], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, tr.449, ISBN978-0-387-30303-1
- Oualline, Steve [2003], Practical C++ programming, O'Reilly Media, ISBN978-0-596-00419-4
- Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. [1992], LU Decomposition and Its Applications, Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing [PDF] [ấn bản 2], Cambridge University Press, tr.3442
- Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. [1970], College Calculus with Analytic Geometry [ấn bản 2], Reading: Addison-Wesley, LCCN76087042
- Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory [2002], The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, ISBN978-1-4020-0664-7
- Reichl, Linda E. [2004], The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-98788-0
- Rowen, Louis Halle [2008], Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN978-0-8218-4153-2
- Šolin, Pavel [2005], Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, ISBN978-0-471-76409-0
- Stinson, Douglas R. [2005], Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, ISBN978-1-58488-508-5
- Stoer, Josef; Bulirsch, Roland [2002], Introduction to Numerical Analysis [ấn bản 3], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-95452-3
- Ward, J. P. [1997], Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN978-0-7923-4513-8, MR1458894
- Wolfram, Stephen [2003], The Mathematica Book [ấn bản 5], Champaign, IL: Wolfram Media, ISBN978-1-57955-022-6
Tham khảo về vật lýSửa đổi
- Bohm, Arno [2001], Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN0-387-95330-2
- Burgess, Cliff; Moore, Guy [2007], The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN0-521-86036-9
- Guenther, Robert D. [1990], Modern Optics, John Wiley, ISBN0-471-60538-7
- Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard [1980], Quantum Field Theory, McGrawHill, ISBN0-07-032071-3
- Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. [1997], Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN0-521-55506-X
- Schiff, Leonard I. [1968], Quantum Mechanics [ấn bản 3], McGrawHill
- Weinberg, Steven [1995], The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN0-521-55001-7
- Wherrett, Brian S. [1987], Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, PrenticeHall International, ISBN0-13-365461-3
- Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul [2006], Applications of Random Matrices in Physics [NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-1-4020-4530-1
Tham khảo về lịch sửSửa đổi
- A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
- Bôcher, Maxime [2004], Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, ISBN978-0-486-49570-5, reprint of the 1907 original edition
- Cayley, Arthur [1889], The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I [18411853], Cambridge University Press, tr.123126
- Dieudonné, Jean biên tập [1978], Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann
- Hawkins, Thomas [1975], Cauchy and the spectral theory of matrices, Historia Mathematica, 2: 129, doi:10.1016/0315-0860[75]90032-4, ISSN0315-0860, MR0469635
- Knobloch, Eberhard [1994], From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations, The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies, 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, tr.5166, MR1308079
- Kronecker, Leopold [1897], Hensel, Kurt [biên tập], Leopold Kronecker's Werke, Teubner
- Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut [1987], The Historical Development of Quantum Theory [ấn bản 1], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-96284-9
- Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung [1999], Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary [ấn bản 2], Oxford University Press, ISBN978-0-19-853936-0
- Weierstrass, Karl [1915], Collected works, 3
Liên kết ngoàiSửa đổi
| Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Ma trận [toán học]. |
- Matrix [mathematics] tại Encyclopædia Britannica [tiếng Anh]
- Hazewinkel, Michiel biên tập [2001], Matrix, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN978-1-55608-010-4
- Weisstein, Eric W., "Matrix" từ MathWorld.
- MacTutor: Matrices and determinants Lưu trữ 2015-03-08 tại Wayback Machine
- Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
- Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors
- Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, ISBN978-0-615-25126-4
- The Matrix Cookbook [PDF], truy cập ngày 24 tháng 3 năm 2014
- Brookes, Mike [2005], The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008
- SimplyMath [Matrix Calculator]
- Matrix Calculator [DotNumerics]
- Xiao, Gang, Matrix calculator, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008
- Online matrix calculator, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008
- Online matrix calculator [ZK framework], Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 5 năm 2013, truy cập ngày 26 tháng 11 năm 2009
- Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008, a freeware package for matrix algebra and statistics
- Online matrix calculator, truy cập ngày 14 tháng 12 năm 2009
- Operation with matrices in R [determinant, track, inverse, adjoint, transpose]
| Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê |