Giới thiệu bài học
Bài giảng "Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian và bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy" sẽ giúp các em nắm được phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay 3 đường thẳng đồng quy của các bài toán trong không gian.
Nội dung bài học
Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp giải:
Để chứng minh ba điểm [ hay nhiều điểm] thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
Ví dụ. Cho tứ diện \[SABC\]. Trên \[SA,SB\] và \[SC\] lấy các điểm \[D,E\] và \[F\] sao cho \[DE\] cắt \[AB\] tại \[I\],\[EF\] cắt \[BC\] tại \[J\], \[FD\] cắt \[CA\] tại \[K\]. Chứng minh ba điểm \[I,J,K\] thẳng hàng.
Lời giải
Ta có \[I=DE\cap AB,DE\subset \left[ DEF \right]\Rightarrow I\in \left[ DEF \right];\]
\[AB\subset \left[ ABC \right]\Rightarrow I\in \left[ ABC \right]\text{ }\left[ 1 \right]\].
Tương tự :
\[J=EF\cap BC\]\[\Rightarrow \left\{ \begin{align} & J\in EF\in \left[ DEF \right] \\ & J\in BC\subset \left[ ABC \right] \\ \end{align} \right.\text{ }\left[ 2 \right]\]
\[K=DF\cap AC\]\[\Rightarrow \left\{ \begin{align} & K\in DF\subset \left[ DEF \right] \\ & K\in AC\subset \left[ ABC \right] \\ \end{align} \right.\text{ }\left[ 3 \right]\]
Từ [1],[2] và [3] ta có \[I,J,K\] là điểm chung của hai mặt phẳng \[\left[ ABC \right]\] và \[\left[ DEF \right]\] nên chúng thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy .
Phương pháp :
Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, cắt EG tại H. Ba đường nào sau đây đồng quy?
A/ CD, EF, EG.
B/ CD, IG, HF.
C/ AB, IG, HF.
D/ AC, IG, BD.
Lời giải.
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng ${{d}_{1}},\text{ }{{d}_{2}},\text{ }{{d}_{3}}$ đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ và $\left[ \beta \right]$; đồng thời ${{d}_{3}}$ là giao tuyến $\left[ \alpha \right]$ và $\left[ \beta \right]$.
Gọi $O=HF\cap IG$. Ta có
- $O\in HF$ mà $HF\subset \left[ ACD \right]$ suy ra $O\in \left[ ACD \right]$.
- $O\in IG$ mà $IG\subset \left[ BCD \right]$ suy ra $O\in \left[ BCD \right]$.
Do đó $O\in \left[ ACD \right]\cap \left[ BCD \right]$. $\left[ 1 \right]$
Mà $\left[ ACD \right]\cap \left[ BCD \right]=CD$. $\left[ 2 \right]$
Từ $\left[ 1 \right]$ và $\left[ 2 \right]$, suy ra $O\in CD$.
Vậy ba đường thẳng $CD,\text{ }IG,\text{ }HF$ đồng quy. Chọn B.
Với giải Câu hỏi 3 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:
Giải Toán 11 Bài Ôn tập chương 2
Câu hỏi 3 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Nêu phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời giải:
Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.
Tức là chứng minh ba điểm này cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Câu hỏi 1 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy nêu những cách xác định mặt phẳng, kí hiệu mặt phẳng...
Câu hỏi 2 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Thế nào là đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, mặt phẳng song song với mặt phẳng...
Câu hỏi 4 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Nêu phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy...
Câu hỏi 5 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Nêu phương pháp chứng minh...
Câu hỏi 6 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Phát biểu định lí Ta – lét trong không gian...
Câu hỏi 7 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Nêu cách xác định thiết diện được tạo bởi một mặt phẳng với một hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ...
Bài tập 1 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: [AEC] và [BFD], [BCE] và [ADF]...
Bài tập 2 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng [MNP]...
Bài tập 3 trang 77 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn...
Bài tập 4 trang 78 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh mặt phẳng [Ax, By] song song với mặt phẳng [Cz, Dt]...
Câu hỏi trắc nghiệm 1 trang 78 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây...
Câu hỏi trắc nghiệm 2 trang 78 SGK Toán lớp 11 Hình học: Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó...
Câu hỏi trắc nghiệm 3 trang 78 SGK Toán lớp 11 Hình học: Giao tuyến của hai mặt phẳng [ABD] và [IJK] là...
Câu hỏi trắc nghiệm 4 trang 79 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau...
Câu hỏi trắc nghiệm 5 trang 79 SGK Toán lớp 11 Hình học: Thiết diện tạo bởi mặt phẳng [MNE] và tứ diện ABCD là...
Câu hỏi trắc nghiệm 6 trang 79 SGK Toán lớp 11 Hình học: Thiết diện tạo bởi mặt phẳng [AIJ] với hình lăng trụ đã cho là...
Câu hỏi trắc nghiệm 7 trang 79 SGK Toán lớp 11 Hình học: Thiết diện tạo bởi [α] và tứ diện S.ABC là...
Câu hỏi trắc nghiệm 8 trang 80 SGK Toán lớp 11 Hình học: Với giả thiết của bài tập 7, chu vi của thiết diện tính theo AM = x là...
Câu hỏi trắc nghiệm 9 trang 80 SGK Toán lớp 11 Hình học: Khi đó CC’ bằng...
Câu hỏi trắc nghiệm 10 trang 80 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau...
Câu hỏi trắc nghiệm 11 trang 80 SGK Toán lớp 11 Hình học: Thiết diện tạo bởi [α] và hình chóp S.ABCD là hình gì...
Câu hỏi trắc nghiệm 12 trang 80 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ và NP là...
Bài 3 trang 77 Toán 11: Nêu phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Trả lời
Trong không gian để chứng minh 3 điểm thẳng hàng,người ta thường chứng minh 3 điểm ấy là các điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và các yếu tố cố định, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và các yếu tố cố định: Để chứng minh ba điểm [ hay nhiều điểm] thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng. BÀI TẬP DẠNG 4: Ví dụ 1. Cho tứ diện S.ABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại E, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm AB, SC. a] Xác định giao điểm I của đường thẳng AN và mặt phẳng [SBD]. b] Xác định giao điểm J của đường thẳng MN và mặt phẳng [SBD]. c] Chứng minh I, J, B thẳng hàng. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. E là một điểm di động trên đoạn AB [E khác A và B]. Một mặt phẳng [a] đi qua E đồng thời song song với SA và BC. Biết rằng [a] cắt SB, SC, CD lần lượt tại F, G và H.
a] Tứ giác EFGH là hình gì? b] Gọi K là giao điểm của EF và GH. Tìm quỹ tích điểm K khi E di động trên đoạn AB. Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SC = 3SM. Giả sử [P] là mặt phẳng qua A, M và luôn cắt cạnh SB, SD lần lượt tại N, P sao cho N khác B, P khác D. a] Nêu cách xây dựng điểm N, P và tính gía trị m. b] Xác định vị trí [P] sao cho ASNP có diện tích nhỏ nhất.