Nếu biết đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [P], để tình khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng ta có 2 cách:
- Cách 1: Sử dụng kiến thức hình học lớp 11 [bài này mình sẽ cập nhập ở bài sau]
- Cách 2: Sử dụng công thức
Công thức tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
Vì đường thẳng Δ // [P] nên khoảng cách từ 1 điểm bất kì tới [P] chính là khoảng cách từ Δ tới [P].
Giả thiết rằng điểm M[x0; y0; z0] và mặt phẳng [P] có phương trình ax + by + cz + d = 0. Khi này, khoảng cách từ Δ tới [P] được áp dụng theo công thức:
$d\left[ {\Delta ,\left[ P \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$
Một công thức khá đơn giản đúng không nào? Giờ chúng ta vào phần bài tập minh họa để áp dụng nhé
Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t\\ y = 1 + t\\ z = 3 – t \end{array} \right.$ và mặt phẳng [P]: x – 2y + 2z + 11 = 0
Lời giải
Ta thấy:
- Đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t\\ y = 1 + t\\ z = 3 – t \end{array} \right.$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = [4; 1; – 1]
- Mặt phẳng [P]: x – 2y + 2z + 11 = 0 có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $ = [ 1; -2; 2]
- Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 4.1 + 1.[-2] + [-1].2 = 0 => Δ // [P]
- Điểm M[1; 1; 3] ∈ Δ
Áp dụng công thức: $d\left[ {\Delta ,\left[ P \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {2.1 + [ – 2].1 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}$
Khoảng cách từ đường thẳng Δ tới mặt phẳng [P] là $\frac{{6\sqrt 5 }}{5}$
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho trước đường thẳng Δ và mặt phẳng [P]. Hãy tìm khoảng cách từ Δ tới [P] khi biết phương trình của chúng lần lượt là
a] phương trình chính tắc đường thẳng Δ: $\frac{x}{4} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 6}}{3}$ và phương trình mặt phẳng [P]: x – 2y + 1 = 0
b] phương trình tham số đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = 3 – t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.$ và phương trình mặt phẳng [P]: 2x – 3y + 5z – 1 = 0
Lời giải
a]
- Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = [ 4; 2; 3]
- Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow n $ = [1 ; – 2; 0]
Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 4.1 + 2.[ – 2] + 3.0 = 0 => Δ // [P]
Mặt khác, ta thấy M[0; 1; -6] ∈ Δ nên khoảng cách từ M tới [P]
$d\left[ {\Delta ,\left[ P \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {1.0 + \left[ { – 2} \right].1 + 0.\left[ { – 6} \right]} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$
Khoảng cách từ đường thẳng Δ tới mặt phẳng [P] là $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
b]
- Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = [ 3; – 1; 4]
- Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow n $ = [ 2; -3; 5]
Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 3.2 + [-1].[-3] + 4.5 = 29 ≠ 0
=> Δ cắt [P]
Bài viết chia sẻ công thức tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng tới đây tạm dừng. Hy vọng đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. PHƯƠNG PHÁP: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng [d] song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng [d]. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 7% một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kết luận: Việc tính khoảng cách giữa đường song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đều quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đã đề cập ở dạng toán 2 phía trên. Do đó, việc cần làm là chọn điểm trên đường hoặc trên mặt sao cho việc xác định khoảng cách là đơn giản nhất.
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA. Bài toán 1: Cho hình lăng trụ ABC có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hình chiếu vuông góc của A trên với trung điểm của B’C’. Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt bên BCC’B’. b] Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a và SAI[ABCD]. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng [SAD] bằng. Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a3. Khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng [SAB] bằng.
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
45
00:18:23 Bài 7: Ứng dụng tích có hướng tính diện tích
46
00:22:03 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
48
00:32:07 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
58
00:15:13 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao