JavaScript isn't enabled in your browser, so this file can't be opened. Enable and reload.
Thuật toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài toán, ta nhận được Output cần tìm.
1. Khái niệm bài toán
- Bài toán là một việc nào đó mà con người muốn máy tính thực hiện.
- Các yếu tố của một bài toán:
+ Input: Thông tin đã biết, thông tin đưa vào máy tính.
+ Output: Thông tin cần tìm, thông tin lấy ra từ máy tính.
- Ví dụ: Bài toán tìm ước chung lớn nhất của 2 số nguyên dương, khi đó:
+ Input: hai số nguyên dương A, B.
+ Output: ước chung lớn nhất của A và B
2. Khái niệm thuật toán
a] Khái niệm
Thuật toán là 1 dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo 1 trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài toán, ta nhận được Output cần tìm.
b] Biểu diễn thuật toán
- Sử dụng cách liệt kê: nêu ra tuần tự các thao tác cần tiến hành.
- Sử dụng sơ đồ khối để mô tả thuật toán.
c] Các tính chất của thuật toán
- Tính dừng: thuật toán phải kết thúc sau 1 số hữu hạn lần thực hiện các thao tác.
- Tính xác định: sau khi thực hiện 1 thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng 1 thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo.
- Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc, ta phải nhận được Output cần tìm.
3. Một số ví dụ về thuật toán
Ví dụ 1: Kiểm tra tính nguyên tố của 1 số nguyên dương
• Xác định bài toán
- Input: N là một số nguyên dương;
- Output: ″N là số nguyên tố″ hoặc ″N không là số nguyên tố″.
• Ý tưởng:
- Định nghĩa: ″Một số nguyên dương N là số nguyên tố nếu nó chỉ có đúng hai ước là 1 và N″
- Nếu N = 1 thì N không là số nguyên tố.
- Nếu 1 < N < 4 thì N là số nguyên tố.
- N ≥ 4: Tìm ước i đầu tiên > 1 của N.
+ Nếu i < N thì N không là số nguyên tố [vì N có ít nhất 3 ước 1, i, N].
+ Nếu i = N thì N là số nguyên tố.
• Xây dựng thuật toán
a] Cách liệt kê
- Bước 1: Nhập số nguyên dương N;
- Bước 2: Nếu N=1 thì thông báo ″N không là số nguyên tố″, kết thúc;
- Bước 3: Nếu N= 4 và không có ước trong phạm vi từ 2 đến phần nguyên căn bậc 2 của N thì N là số nguyên tố.
Ví dụ 2: Sắp xếp bằng cách tráo đổi
• Xác định bài toán
- Input: Dãy A gồm N số nguyên a1, a2,…, an
- Output: Dãy A được sắp xếp thành dãy không giảm.
• Ý tưởng
- Với mỗi cặp số hạng đứng liền kề trong dãy, nếu số trước lớn hơn số sau ta đổi chỗ chúng cho nhau. [Các số lớn sẽ được đẩy dần về vị trí xác định cuối dãy].
- Việc này lặp lại nhiều lượt, mỗi lượt tiến hành nhiều lần so sánh cho đến khi không có sự đổi chỗ nào xảy ra nữa.
• Xây dựng thuật toán
a] Cách liệt kê
- Bước 1: Nhập N, các số hạng a1, a2,…, an;
- Bước 2: M ← N;
- Bước 3: Nếu M < 2 thì đưa ra dãy A đã được sắp xếp, rồi kết thúc;
- Bước 4: M ← M – 1, i ← 0;
- Bước 5: i ← i + 1;
- Bước 6: Nếu i > M thì quay lại bước 3;
- Bước 7: Nếu ai > ai+1 thì tráo đổi ai và ai+1 cho nhau;
- Bước 8: Quay lại bước 5;
b] Sơ đồ khối
Ví dụ 3: Bài toán tìm kiếm
• Xác định bài toán
- Input : Dãy A gồm N số nguyên khác nhau a1, a2,…, an và một số nguyên k [khóa]
Ví dụ : A gồm các số nguyên ″ 5 7 1 4 2 9 8 11 25 51″ và k = 2 [k = 6].
- Output: Vị trí i mà ai = k hoặc thông báo không tìm thấy k trong dãy. Vị trí của 2 trong dãy là 5 [không tìm thấy 6]
• Ý tưởng
Tìm kiếm tuần tự được thực hiện một cách tự nhiên: Lần lượt đi từ số hạng thứ nhất, ta so sánh giá trị số hạng đang xét với khóa cho đến khi gặp một số hạng bằng khóa hoặc dãy đã được xét hết mà không tìm thấy giá trị của khóa trên dãy.
• Xây dựng thuật toán
a] Cách liệt kê
- Bước 1: Nhập N, các số hạng a1, a2,…, aN và giá trị khoá k;
- Bước 2: i ← 1;
- Bước 3: Nếu ai = k thì thông báo chỉ số i, rồi kết thúc;
- Bước 4: i ←i+1;
- Bước 5: Nếu i > N thì thông báo dãy A không có số hạng nào có giá trị bằng k, rồi kết thúc;
- Bước 6: Quay lại bước 3;
b] Sơ đồ khối
Ví dụ 4: Tìm kiếm nhị phân
• Xác định bài toán
- Input: Dãy A là dãy tăng gồm N số nguyên khác nhau a1, a2,…, an và một số nguyên k.
Ví dụ: Dãy A gồm các số nguyên 2 4 5 6 9 21 22 30 31 33 và k = 21 [k = 25]
- Output : Vị trí i mà ai = k hoặc thông báo không tìm thấy k trong dãy. Vị trí của 21 trong dãy là 6 [không tìm thấy 25]
• Ý tưởng
Sử dụng tính chất dãy A đã sắp xếp tăng, ta tìm cách thu hẹp nhanh vùng tìm kiếm bằng cách so sánh k với số hạng ở giữa phạm vi tìm kiếm [agiữa], khi đó chỉ xảy ra một trong ba trường hợp:
- Nếu agiữa= k thì tìm được chỉ số, kết thúc;
- Nếu agiữa > k thì việc tìm kiếm thu hẹp chỉ xét từ adầu [phạm vi] → agiữa - 1;
- Nếu agiữa < k việc tìm kiếm thu hẹp chỉ xét từ agiữa + 1→acuối [phạm vi].
Quá trình trên được lặp lại cho đến khi tìm thấy khóa k trên dãy A hoặc phạm vi tìm kiếm bằng rỗng.
• Xây dựng thuật toán
a] Cách liệt kê
- Bước 1: Nhập N, các số hạng a1, a2,…, aN và giá trị khoá k;
- Bước 2: Đầu ←1; Cuối ←N;
- Bước 3: Giữa←[[Đầu+Cuối]/2];
- Bước 4: Nếu agiữa = k thì thông báo chỉ số Giữa, rồi kết thúc;
- Bước 5: Nếu agiữa > k thì đặt Cuối = Giữa - 1 rồi chuyển sang bước 7;
- Bước 6: Đầu ←Giữa + 1;
- Bước 7: Nếu Đầu > Cuối thì thông báo không tìm thấy khóa k trên dãy, rồi kết thúc;
- Bước 8: Quay lại bước 3.
b] Sơ đồ khối
Loigiaihay.com
Chắc hẳn, ai trong chúng ta cũng đã quá quen thuộc với bài toán đếm số ước nguyên dương của nnn. Giải thuật thông thường nhất mà mọi người thường sử dụng là giải thuật O[n],O[\sqrt{n}],O[n], dựa trên một nhận định rằng nếu như số nnn có một ước là i [1≤i≤n]i \ [1 \le i \le \sqrt{n}]i [1≤i≤n] thì nó cũng sẽ có một ước nữa là ni [n≤ni≤n]\frac{n}{i} \ \left[\sqrt{n} \le \frac{n}{i} \le n \right]in [n≤in≤n]. Bằng phương pháp này, chúng ta có thể giải quyết mọi bài toán với giới hạn nnn khoảng 101510^{15}1015 trở xuống [Các bạn xem lại trong chuyên đề Tìm các ước của một số nguyên].
Một phương pháp hay khác mà chúng ta cũng sử dụng là phân tích thừa số nguyên tố và đếm ước của nnn dựa trên phân tích nguyên tố của nó. Cách làm này có thể khiến thao tác đếm ước của số nnn giảm xuống độ phức tạp O[log[n]]O[\log[n]]O[log[n]] khi kết hợp với sàng lọc số nguyên tố, và thường được áp dụng trong các bài toán multi-testcase [các bạn xem lại trong chuyên đề Số nguyên tố]. Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp này là bạn buộc phải tạo ra được một mảng có độ dài nnn để đánh dấu các số nguyên tố, đồng nghĩa với việc nếu n≤109,n \le 10^9,n≤109, các bạn không thể sử dụng được nó.
Điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta cần đếm ước của một số nguyên dương n≤1018?n \le 10^{18}?n≤1018? Phân tích thừa số nguyên tố? Không thể, vì ta không thể sàng lọc được số nguyên tố ở giới hạn này. Vậy phân tích theo phương pháp O[n]O[\sqrt{n}]O[n] truyền thống thì sao? Cũng không thể, vì O[n]≈O[109],O[\sqrt{n}] \approx O[10^9],O[n]≈O[109], độ phức tạp này không đủ tốt. Khi đó, người ta sử dụng phương pháp đếm ước trong O[n13],O[n^{\frac{1}{3}}],O[n31], một phương pháp rất hiệu quả nhưng lại được ít người biết đến, có lẽ vì chúng ta không thường xuyên gặp phải những bài toán như vậy. Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng nghiên cứu ý tưởng và cách cài đặt của phương pháp này bằng C++. Trước khi đọc bài viết, các bạn cần có kiến thức đầy đủ về sàng lọc số nguyên tố, đếm ước theo phương pháp thông thường cũng như kĩ năng code ở mức khá. Nếu chưa nắm được những kiến thức này, các bạn hãy quay lại nghiên cứu những chuyên đề cũ mà mình đã để link ở trên nhé!
II. Phương pháp đếm số ước của một số trong O[n13]O[n^{\frac{1}{3}}]O[n31]
Để sử dụng được giải thuật đếm ước trong O[n13],O[n^{\frac{1}{3}}],O[n31], trước tiên ta cần tìm hiểu về phương pháp của Fermat dùng để kiểm tra tính nguyên tố của một số. Đây là một phương pháp kiểm tra nguyên tố có tính xác suất, nghĩa là nó có thể xảy ra trường hợp sai, tuy nhiên, trong giải thuật này sự sai khác đó có thể chấp nhận được.
Ý tưởng: Phương pháp kiểm tra tính nguyên tố của Fermat được xây dựng dựa trên định lý Fermat nhỏ: Nếu nnn là một số nguyên tố, thì với mọi giá trị aaa sao cho 1≤a