Công thức 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\dfrac{a{{x}^{2}}+bx+c}{mx+n}$ là
$y=\dfrac{{{\left[ a{{x}^{2}}+bx+c \right]}^{\prime }}}{{{\left[ mx+n \right]}^{\prime }}}=\dfrac{2ax+b}{m}.$
Chứng minh:
Đặt $u[x]=a{{x}^{2}}+bx+c;v[x]=mx+n$ ta có $y=\dfrac{u[x]}{v[x]}\Rightarrow {y}'=\dfrac{{u}'[x].v[x]-{v}'[x].u[x]}{{{[v[x]]}^{2}}}.$
Toạ độ hai điểm cực trị là $A[{{x}_{1}};{{y}_{1}}],B[{{x}_{2}};{{y}_{2}}]$ thì ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow {u}'[x].v[x]-{v}'[x].u[x]=0\Leftrightarrow \dfrac{u[x]}{v[x]}=\dfrac{{u}'[x]}{{v}'[x]}.$
Do đó ${{y}_{1}}=\dfrac{u[{{x}_{1}}]}{v[{{x}_{1}}]}=\dfrac{{u}'[{{x}_{1}}]}{{v}'[{{x}_{1}}]}=\dfrac{2a{{x}_{1}}+b}{m};{{y}_{2}}=\dfrac{u[{{x}_{2}}]}{v[{{x}_{2}}]}=\dfrac{{u}'[{{x}_{2}}]}{{v}'[{{x}_{2}}]}=\dfrac{2a{{x}_{2}}+b}{m}.$
Điều đó chứng tỏ đường thẳng qua hai điểm cực trị này là $y=\dfrac{2ax+b}{m}.$
Note: Vậy để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất các em lấy đạo hàm tử chia cho đạo hàm mẫu.
Công thức 2: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc hai
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\dfrac{a{{x}^{2}}+bx+c}{m{{x}^{2}}+nx+p}$ là
$y=\dfrac{2[an-bm]x+bn-4cm}{{{n}^{2}}-4pm}.$
>>Xem thêmMột cách giải quyết với bài toán Hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba nằm phác phía với trục hoành - Thầy Đặng Thành Nam
>>Xem thêmĐiểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai/bậc nhất luôn thuộc một parabol cố định
>>Xem thêmĐường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất và hàm phân thức bậc hai trên bậc hai
>>Xem thêmPhương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba
Ví dụ 1:Biết rằng hàm số $f[x]=\dfrac{{{x}^{2}}-2x+m}{{{x}^{2}}+2}$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}.$ Khi đó $k=\dfrac{f[{{x}_{1}}]-f[{{x}_{2}}]}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}$ bằng
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng thuộc đường cong $y=\dfrac{{{\left[ {{x}^{2}}-2x+m \right]}^{\prime }}}{{{\left[ {{x}^{2}}+2 \right]}^{\prime }}}=\dfrac{2x-2}{2x}$ và ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${f}'[x]=0\Leftrightarrow \dfrac{[2x-2][{{x}^{2}}+2]-2x[{{x}^{2}}-2x+m]}{{{[{{x}^{2}}+2]}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+[2-m]x-2=0.$
Chọn k sao cho $2x-2+k[{{x}^{2}}+[2-m]x-2]=0$ có nghiệm $x=0\Leftrightarrow -2-2k=0\Leftrightarrow k=-1.$
Khi đó $y=\dfrac{2x-2-[{{x}^{2}}+[2-m]x-2]}{2x}=\dfrac{-x+m}{2}$ là đường thẳng qua hai điểm cực trị. Vì vậy $\dfrac{f[{{x}_{1}}]-f[{{x}_{2}}]}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}={{k}_{d}}=-\dfrac{1}{2}.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 2:Gọi$S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+mx+2m}{x+1}$ có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O.$ Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $9.$
B. $1.$
C. $4.$
D. $5.$
Có ${y}'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+2x-m}{{{[x+1]}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-m=0.$
Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne -1$ tức là$\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 1 + m > 0\\ {[ - 1]^2} + 2[ - 1] - m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > - 1\\ m \ne - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1.$ Vi ét có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m.$
Đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y=\frac{{{\left[ {{x}^{2}}+mx+2m \right]}^{\prime }}}{{{\left[ x+1 \right]}^{\prime }}}=2x+m\Rightarrow A[{{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m],B[{{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m].$
Vì vậy tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên
$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + [2{x_1} + m][2{x_2} + m] = 0\\ \Leftrightarrow 5{x_1}{x_2} + 2m[{x_1} + {x_2}] + {m^2} = 0 \Leftrightarrow - 5m - 4m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 9 \end{array} \right.. \end{array}$
Chọn đáp án A.
Gồm 5 khoá luyện thi THPT Quốc Gia Môn Toán duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:
Năm khoá học X trong góiCOMBO X 2022có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.
Luyện thi THPT Quốc Gia 2022 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và Toán 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12,Học sinh các khoá trước thi lạiđều có thể theo học khoá này. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8 đến 9 điểm.
Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc các chủ đề đã có trong khoá PRO X. Khoá PRO XMAX học hiệu quả nhất khi các em đã nắm chắc kiến thức cơ bản và tư duy tốt với nhóm câu hỏi mức độ 8+. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8,5 đếm 10 điểm.
Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2022 Môn Toán gồm 20 đề. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình Toán 12 và Toán 11 trong khoá PRO X. Khoá XPLUS tại Vted đã được khẳng định qua các năm gần đây khi đề thi được đông đảo giáo viên và học sinh cả nước đánh giá rarất sátso với đề thi chính thức của BGD. Khi học tại Vted nếu không tham gia XPLUS thì quả thực đáng tiếc.
Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2022 Môn Toán từ các trườngTHPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc. Khoá học thường được phát hành từ tháng 10 hàng năm khi các trường tổ chức đề thi khảo sát theo kiến thức đã học.
Khoá học bắt đầu phát hành 100 ngày trước kì thi 2022 giúp các em tổng ôn lại kiến thức chuyên đề đã học cùng chữa minh hoạ các đề dự đoán sát cấu trúc nhất giúp các em tự tin làm đề thi tổng hợp giai đoạn cuối đạt tối thiểu 8+ điểm. Khoá học live các em xem bài giảng LIVE tại nhóm kín Facebook và kết hợp xem lại bài giảng live được up lại ngay tại khoá học Live này trực tiếp tại Vted. Các chức năng làm bài thi, tải đề thi và xếp hạng tương tự như các khoá học khác tại Vted.
Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể muaCombogồm cả 5 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.
Xem thêm các câu hỏi biện luận mũ và logarit khác
//www.vted.vn/tin-tuc/bien-luan-nghiem-cua-phuong-trinh-chua-mu-va-logarit-5971.html
//www.vted.vn/tin-tuc/so-giao-diem-cua-do-thi-ham-da-thuc-bac-bon-va-do-thi-ham-so-mu-5967.html
//www.vted.vn/tin-tuc/cach-xac-dinh-tong-tat-ca-cac-nghiem-cua-hai-phuong-trinh-mu-va-logarit-wRaAJ-4934.html