Ở thời đại của chúng ta, khoa học và kĩ thuật phát triển như vũ bão. Chúng đòi hỏi ngành giáo dục phải luôn luôn đổi mới kịp thời để đáp ứng mọi nhu cầu về tri thức khoa học của thanh thiếu niên, giúp họ có khả năng lao động và sáng tạo trong cuộc sống sôi động. Hiện nay chương trình và sách giáo khoa bậc phổ thông ở nước ta đã bắt đầu và đang thay đổi để phù hợp với đòi hỏi ấy. Trường Cao đẳng Sư phạm, cái nôi đào tạo giáo viên THCS, cần phải có những đổi mới tương ứng về chương trình và sách giáo khoa. Vì mục đích đó, bộ sách giáo khoa mới ra đời, thay thế cho bộ sách giáo khoa cũ.
Năm 1996 Nhà xuất bản Giáo dục đã xuất bản quyền Toán học cao cấp tập 1. Đại số và Hình học giải tích. từ nay sẽ viết tắt là Thcc/l- Quyển Bài tập Toán học cao cấp lập 1 này, viết tắt là BTThcc/1 là tiếp nối quyển Thcc/1, nhằm trình bày phần bài giải và hướng dẫn cách giải các bài tập đã ra ở quyển Thcc/l. Riêng chương IV chỉ là ổn tập các kiến thức đã học ở trường phổ thông. nên không trình bày ở quyển này, độc giả có thể xem các đáp số ở quyển Thạc/1.
Chúng tôi muốn lưu ý độc giả về cách đánh số các tiêu để để tiện việc tra cứu.
quyển Thạc/1 chương đánh số bằng một số, thí dụ chương II là chương thứ hai. tiết đánh số bằng hai số, thí dụ tiết 3.2 là tiết 2 ở chương 3, độc giả tìm nó ở chương 3 tiết thứ 2, mục đánh số bằng 3 số, thí dụ mục 3.2! là mục 1 ở tiết 2 của chương 3. độc giả tìm nó ở chương 3 tiết 2 mục 1. Các định nghĩa, định lí, thí dụ và chú ý cũng đánh số bằng ba số như vậy. Riêng các hình vẽ chỉ có một số,
Ở quyền BTThcc/1 cách đánh số làm tương tự. Chương có một số tiết có hai số. Riêng bài tập có hai số sổ đầu chỉ chương. số thứ hai chỉ số thứ tự của bài lập trong chương, chẳng hạn bài tập 4.3 là bài tập thứ 3 ở chương IV. độc giả tìm nó ở chương 4 bài tập thứ 3. Hình vẽ đánh số bằng một số
Vị tài liệu này viết lần đầu nên không tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi mong nhận được các ý kiến của độc giả, chúng tôi rất cảm ơn.
Hà Nội, tháng 5/1997
Tác giả
TẠ VĂN ĐĨNH
Giáo trình khác
Gợi ý cho bạn
17 Tháng 05
Lợi ích của thực phẩm sạch đối với sức khỏe con người
Thực phẩm sạch là một khái niệm ngày càng được quan tâm và ưa chuộng trong xã hội hiện đại. Đối với sức khỏe con người, việc tiêu thụ thực phẩm sạch mang lại nhiều lợi ích to lớn. Bài viết này sẽ trình bày về những lợi ích đó trong một phạm vi 5000 từ, từ vai trò của thực phẩm sạch trong việc cung cấp chất dinh dưỡng quan trọng cho cơ thể đến khả năng giảm nguy cơ mắc các bệnh mãn tính.
03 Tháng 06
Đạo đức và Trí tuệ Nhân tạo: Hướng dẫn đảm bảo sự phát triển đúng đắn và đạo đức của AI
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá tương quan giữa Đạo đức và Trí tuệ Nhân tạo [AI]. Bài viết trình bày về ý nghĩa và vai trò quan trọng của đạo đức trong việc phát triển AI và đảm bảo sự sử dụng đúng đắn của công nghệ này. Cùng nhau, chúng ta sẽ tìm hiểu về những thách thức đạo đức mà AI mang lại và các phương pháp để xây dựng một hệ thống AI đạo đức. Minh họa ảnh sẽ đem lại một cái nhìn trực quan về quan hệ giữa Đạo đức và Trí tuệ Nhân tạo.
Sâm Ngọc Linh là một trong những cây dược liệu quý hiếm và đặc hữu ở Việt Nam. Nhờ chứa thành phần tự nhiên quý saponin, sâm Ngọc Linh có tác dụng dược lý rất quan trọng, giúp tăng cường hệ miễn dịch và ngăn ngừa ung thư. Vì vậy, loài cây này đã trở thành đối tượng bị sử dụng và khai thác tràn lan, dẫn đến số lượng cá thể tự nhiên giảm sút nghiêm trọng, ảnh hưởng đến nguồn gen quý, đồng thời tạo áp lực cho ngành dược liệu nước ta hiện nay. Đứng trước thực trạng đó, các nhà khoa học trong nước và quốc tế đã sử dụng phương pháp truyền thống kết hợp với kỹ thuật hiện đại nhằm thu thập, bảo tồn và phát triển sâm Ngọc Linh. Trên cơ sở các thành tựu chính đã đạt được trong nghiên cứu về sâm Ngọc Linh hiện nay, các tác giả đã đề xuất một số giải pháp phát triển và nâng cao giá trị thương hiệu quốc gia của loài sâm quý hiếm này.
14:41 27/12/21 1.904 lượt xem
1.904 lượt xem bình luận
Các bạn đang có trong tay cuốn “ Giáo trình Toán cao cấp” dành cho sinh viên hệ đại trà, trường đại học Tài chính – Maketing. Đây là giáo trình dành cho sinh viên khối ngành kinh tế và quản trị kinh doanh với thời lượng 4 tín chỉ [60 tiết giảng], được biên soạn dựa trên cuốn sách cùng tên dành cho chương trình CLC; chính vì vậy chúng tôi cố gắng lựa chọn các nội dung căn bản, trọng yếu và có nhiều ứng dụng trong kinh tế và quản trị kinh doanh; nội dung giảng dạy không trùng lặp với nội dung sinh viên đã được trang bị ở chương trình phổ thông; chú trọng ý nghĩa và khả năng áp dụng của kiến thức; giáo trình được biên tập trên cơ sở tham khảo nhiều giáo trình quốc tế cũng như trong nước [xem phần tài liệu tham khảo], cũng như kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của các tác giả;
Nội dung giáo trình, được thiết kế phù hợp với chương trình đào tạo đại học đại trà, và trình độ của sinh viên khối ngành kinh tế và quản trị kinh doanh. Giáo trình bao gồm 7 chương, một số đề tự luyện và một số phụ lục cần thiết.
Chương 1. Trình bày về ma trận, phép toán trên ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, áp dụng vào giải mô hình cân đối liên ngành [Input – Output]. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.
Chương 2. Trình bày về hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng giải mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện
Chương 3. Trình bày về không gian vectơ; Một số ví dụ và bài tập rèn luyện. Chương 4. Trình bày về phép tính vi phân hàm một biến : Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân, ứng dụng trong toán học và kinh tế. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.
Chương 5. Trình bày về nguyên hàm, tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và ứng dụng trong phân tích kinh tế. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.
Chương 6. Trình bày về phép tính vi phân hàm nhiều biến : Hàm số nhiều biến; đạo hàm riêng, vi phân toàn phần và ứng dụng trong phân tích kinh tế. Bài toán cực trị tự do
Một số ký hiệu...................................................................................................................
- : Tập số tự nhiên.
- : Tập số nguyên.
- : Tập số hữu tỉ.
- : Tập số thực.
- : Tập số phức.
- M :m n Tập hợp các ma trận có kích thước cấp [cỡ] m n.
- M :n Tập hợp các ma trận vuông cấp n.
- [i] : Dòng i [hàng i].
- cj : Cột j.
- : Phép gán [phép thay thế].
- : Đổi chỗ [hoán vị].
- Det[A] A : Định thức của ma trận A.
- I hoặc E : Ma trận đơn vị.
- r[A] rank[A] : Hạng của ma trận A.
- Dim: Số chiều.
- lim : Giới hạn.
- x/i i
f f x
: Đạo hàm riêng của hàm f theo biến xi.
- L : Sử dụng quy tắc L’hospital.
- KGVT : Không gian vectơ.
- Max : Giá trị lớn nhất.
- Min : Giá trị nhỏ nhất.
- Q : Sản lượng.
- D : Demand [Cầu].
- S : Supply [Cung].
- QD: Lượng cầu.
- QS : Lượng cung.
- P : Giá bán.
- L : Lao động [nhân công].
- MPL: Hàm sản phẩm cận biên của lao động.
- K : Vốn.
- MPK : Hàm sản phẩm cận biên của vốn.
- : Lợi nhuận.
- TR : Tổng doanh thu.
- MR: Doanh thu biên [doanh thu cận biên].
- TC : Tổng chi phí.
- FC : Chi phí cố định.
- VC : Chi phí biến đổi [chi phí khả biến].
- MC: Chi phí biên [chi phí cận biên].
- AC : Chi phí trung bình.
- TU : Tổng hữu dụng [Hàm lợi ích].
- MU: Hàm hữu dụng biên [hàm lợi ích biên].
- EY X: Hệ số co dãn của Y theo X.
Ví dụ 2. Cho hai ma trận: A 13 24 ; B 1 a b 4
. Tìm a, b để hai ma trận A, B bằng
nhau. Giải
Ta có hai ma trận A và B đều có cấp là 2 2. Do đó A B a 3b 2.
1.1. Các ma trận đặc biệt 1.1.3. Ma trận không Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều là số không. Ví dụ 3. Cho các ma trận không
0 2 3 0 0 00 0 0
là ma trân không cấp 2 3 .
3 2
0 0
0 0 0
0 0
là ma trận không cấp 3 2 .
1.1.3. Ma trận vuông Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận vuông cấp n n được gọi tắt là ma trận vuông cấp n. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là M .n Với ma trận vuông A M , n các phần tử a , a ,...,a 11 22 nn được gọi là thuộc
đường chéo [ chính ] của ma trận A. Các phần tử a , an1 n 1,2 ,..., a1n được gọi là thuộc đường
chéo phụ của ma trận A.
Ví dụ 4. Cho ma trận vuông cấp 3:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
có các phần tử a 11 1, a 22 5, a 33 9
thuộc đường chéo chính còn các phần tử a 31 7, a 22 5, a 13 3 thuộc đường chéo phụ.
1.1.3. Ma trận chéo Ma trận chéo là ma trận vuông mà mọi phần tử không thuộc đường chéo chính đều là bằng 0.
Ví dụ 5. Cho ma trận chéo cấp 3 :
1 0 0
0 5 0.
0 0 9
1.1.3. Ma trận đơn vị cấp Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà mọi phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng
- Ký hiệu In là ma trận đơn vị cấp n.
Ví dụ 6. Cho các ma trận đơn vị
2 3 n
1 0 0 1 0 ... 0
I 1 0 ; I 0 1 0 ;...; I 0 1 ... 0
0 1 0 0 1 ... ... ... ...
0 0 ... 1
.
1.1.3. Ma trận tam giác trên [dưới] Ma trận tam giác trên [dưới] là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới [hoặc ở phía trên] đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 7. Cho các ma trận cấp 3
1 3 4 0 2 5 0 0 3
là ma trận tam giác trên.
1 0 0
3 2 0
5 4 3
là ma trận tam giác dưới.
1.1.3. Ma trận bậc thang [ma trận hình thang] Ma trận bậc thang là ma trận ứng với hai dòng bất kỳ số hạng khác không đầu tiên của hàng dưới phải nằm bên phải số hạng khác không đầu tiên của hàng trên.
11 12 1r 1n 22 2r 2n
rr rn
a a a a 0 a a a
0 0 a a
0 0 0 0
với r n và a , a ,...,a 11 22 rr gọi là các phần tử chéo.
Ví dụ 8. Cho ma trận bậc thang như sau:
1 2 3 4 5
0 2 4 3 7
0 0 3 5 4
0 0 0 5 8
A B aij bijm n [1]
Ví dụ 10. Cho hai ma trận:
A 1 2 3 4 5 6
,
B 1 1 1.
1 1 1
Tính 2A, 4B, A B, 2A 4B.
Giải Ta có
2A 2 8 10 12 46
, 4B 44 4444
và
A B 2 1 43 6 5
, 2A 4B 6 4 140 10 8 .
1.1.4. Các tính chất Cho ba ma trận A, B, C cùng cấp và , . a] A B B A b] [A B] C A [B C] c] A 0 A d] A [ A] 0 e] 1 A A f] [ ]A A A g] [A B] A B h] [ ]A [ A] [ A].
1.1.4. Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A aij Mm n , B bij Mn p. Ta định nghĩa ma trận tích của
hai ma trận A, B là ma trận cấp m p , ký hiệu AB cij Mm p , xác định bởi
n ij i1 1 j i 2 2 j in nj ik kj k 1
c a b a b a b a b , i 1, m , j 1, p
[1]
Tính chất [i] Tính kết hợp : Cho A M m n, B Mn p và C M p q , ta có
A BC AB C.
[ii] Tính phân phối : Với mọi ma trận A, B M m n và C M n p , ta có
A B C AC BC ,
và với mọi ma trận C M m n và A, B M n p , ta có
C A B CA CB_._
[iii] Với mọi ma trận A M m n, B Mn p và với mọi k, ta có
k AB kA B A kB_._
Hệ quả. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta có An A A A [nhân n lần]. Ví dụ 11. Cho hai ma trận:
3x 2 2x
122 3 4
A 1 1 M , B 3 5 0 M.
2 3
Tính AB và AB. 2
Giải Ta có
122 3 4 8 7 4 AB 1 1 3 5 0 1 8 4. 2 3 13 9 8
2
8 7 4 8 7 4
AB AB AB 1 8 4 1 8 4
13 9 8 13 9 8
123 148 36
36 35 60.
217 235 123
Ví dụ 12. Cho hai ma trận vuông cấp 4: 1 0 3 4 3 2 2 4 A 2 3 12 , B 2113. 3 2 4 3 1 0 3 0 1 1 2 1 3 4 3 5
Tính AB và BA.
1.1.5. Liên hệ giữa phép biến đổi sơ cấp trên hàng và phép nhân ma trận
Cho ma trận A aijm n và ma trận đơn vị cấp m: m
1 0 0
I 0 1
0
0 0 1
Định nghĩa: 1
0 1 i I[i, j] 1 0 j
1
doøng
doøng
1
I[i, ] i
1
doøng
1
1 i I[i, j, ] 0 1 j
1
doøng
doøng
Lưu ý: +] Phép hoán vị hai hàng của ma trận A được coi là thực hiện phép nhân ma trận I[i, j] A. +] Phép nhân một hàng của ma trận A với số thực 0 được coi là phép nhân ma trận I[i, ] A.
+] Phép cộng vào hàng i hàng j đã nhân với [i j ] được coi là phép nhân ma
trận I[i, j, ] A.
1. Định thức
Xét ma trận vuông cấp n:
11 12 1n 21 22 2n
n1 n 2 nn
a a a A a a a a a a
Với mỗi số hạng aij [số hạng nằm ở hàng i và cột j], ma trận nhận được từ A bằng
cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận bù của A đối với số hạng a ,ij ký
hiệu là A .ij Ví dụ 14. Cho ma trận vuông cấp 3 :
1 4 7 A 2 5 8 3 6 9
Ta có thể thành lập các ma trận bù cấp 2, chẳng hạn A 11 5 86 9 ; A 23 1 43 6 ; A 33 1 42 5. 1.2. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n Định thức của ma trận vuông A M , n ký hiệu det[A] hay A, là số thực được định