1.Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[BC = a,AC = b,AB = c.\] Ta có :
\[b = a.\sin B = a.\cos C\]; \[c = a.\sin C = a.\cos B;\]
\[b = c.\tan B = c.\cot C\]; \[c = b.\tan C = b.\cot B.\]
Trong một tam giác vuông
+] Cạnh góc vuông $=$ [cạnh huyền ] $\times $ [sin góc đối]
$=$ [cạnh huyền ] $\times $ [cosin góc kề]
+] Cạnh góc vuông $=$ [cạnh góc vuông còn lại ] $\times $ [tan góc đối]
$=$ [cạnh góc vuông còn lại ] $\times $ [cot góc kề].
Chú ý
Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố [trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông] thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải tam giác vuông
Phương pháp:
+ Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán.
+ Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán.
+ Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm :
Bài toán 1: Giải tam giác vuông khi biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn.
Bài toán 2: Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.
Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác
Phương pháp:
Bằng cách kẻ thêm đường cao ta làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức giữa cạnh và góc thích hợp.
3.753 lượt xem
Chứng minh tam giác vuông Toán 9
Bài tập về tam giác vuông lớp 9 là tài liệu ôn tập với các bài tập Toán lớp 9, giúp các em học sinh luyện tập các dạng Toán 9 đạt kết quả tốt nhất, góp phần củng cố thêm kiến thức của các em.
A. Tam giác vuông là gì?
- Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 900
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại B, ta có hình vẽ minh họa như sau:
Tính chất 1: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Định lý Pitago
Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Định lý Pitago đảo
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
Tính chất 3: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
C. Các cách chứng minh tam giác vuông
Cách 1: Chứng minh tam giác đó có 2 góc nhọn phụ nhau. [tức tổng hai góc nhọn phụ nhau bằng 900]
Ví dụ: Tam giác ABC có Góc A + B = 90°
=> Tam giác ABC vuông tại C
Cách 2: Chứng minh tam giác đó có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh còn lại của tam giác. [Sử dụng định lý Py - ta - go đảo]
Ví dụ: Tam giác ABC có AC2 + CB2 = AB2
=> Tam giác ABC vuông tại C
Ví dụ: Bộ số nguyên nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?
| A. [3; 5; 7] | B. [4; 6; 8] |
| C. [8; 12; 15] | D. [12; 16; 20] |
Hướng dẫn giải
72 = 49 ≠ 34 = 32 + 52 => [3; 5; 7] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
82 = 64 ≠ 52 = 42 + 62 => [4; 6; 8] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
152 = 225 ≠ 208 = 122 + 82 => [8; 12; 15] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Ta có 202 = 400, 122 + 162 = 400 => 202 = 122 + 162
Vậy bộ ba số [12; 16; 18] là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Cách 3: Chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy.
Ví dụ: Tam giác OAB có M là trung điểm AB, biết MO = MA = MB = ½ AB
=> Tam giác OAB vuông tại O
Cách 4: Chứng minh tam giác đó nội tiếp đường tròn và có 1 cạnh là đường kính.
Ví dụ: Tam giác OAB nội tiếp đường tròn đường kính AB
=> Tam giác OAB vuông tại O
D. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Trường hợp 1: Nếu hai cạnh của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. [Trường hợp Cạnh - Góc - Cạnh]
Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. [Trường hợp Góc - Cạnh - Góc]
Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. [Trường hợp Cạnh huyền - Góc nhọn]
Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. [Trường hợp Cạnh huyền - Cạnh góc vuông]
Ta có sơ đồ như sau:
E. Bài tập chứng minh tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm.
a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
b. Vẽ phân giác BE của góc B [E thuộc AC], từ E kẻ EP vuông góc với BC [P thuộc BC]. Chứng minh EA = EP.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến các đỉnh của tam giác.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC cắt AC tại N.
a. Tính độ dài cạnh BC
b. Chứng minh góc CBN bằng góc NCB.
c. Trên tia đối của tia NB lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng tam giác BEC vuông.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, BC = 13cm
a. Tính độ dài AC
b. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính AH, BH, CH.
c. Gọi M là trung điểm BC. Tính AM
d. Trên tia đối tia MA lấy E sao cho ME = MA. Chứng minh BE = AC và BE // AC
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A.
a. Tính AC biết AB = 5cm và BC = 13cm
b. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E cắt AC tại I sao cho IE vuông góc với BC tại E. So sánh góc ABI và góc CBI
c. Nếu tam giác ABC có góc A = 30O và EC = 6cm. Tính chu vi của tam giác ABC
----------------------------------------------------
Chuyên đề về tam giác, tam giác vuông, tam giác vuông cân là một nội dung được học trong chương trình Toán 9. Đây cũng là phần kiến thức thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Hy vọng tài liệu trên sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ lý thuyết về tam giác từ đó vận dụng giải các bài toán về tam giác một cách dễ dàng hơn. Chúc các em học tốt.
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9
Cập nhật: 19/03/2022
$4. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Tóm tắt kiến thức Các hệ thức Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng : Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề ; Cạnh góc \TJông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = asinC = acosB c = btgC = bcotgB Giải tam giác vuông Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai yếu tố [trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông] thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại. B. Ví dụ giải toán A Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A biết B = 57° và AC = 3,5. Nhận xét. ơ trên ta đã tính BC bằng cách lấy AC [đã cho] chia cho sin B [góc B đã cho]. Kết quả sẽ chính xác hơn là tính BC qua các kết quả trung gian. Ví dụ nếu tính BC theo định lí Py-ta-go, BC2 = AB2 + AC2 thì phải dùng số đo của AB « 2,3, đó là một số gần đúng, kết quả có thể kém chính xác hơn. Ví dụ 2. Tam giác ABC có AB = 4 ; AC = 3. Tính diện tích tam giác này trong hai trường hợp : a] Â = 60° ; b] Â = 120°. Giải. Vẽ CH ± AB. Trong cả hai trường hợp ta đều có CAH = 60°. Bài 26 Bài 27 Hình a Hình c Ta có CH = AC.sin 60° = 3.sin 60° ~ 2,6. Diện tích AABC là : s = ị AB.CH « ị .4.2,6 = 5,2 [đvdt]. 2 2 Nhận xét. Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được rằng : Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. ’ABC = — AB.AC.sin A [nếu góc A nhọn]. = — AB.AC. sin[l 80° - A] [nếu góc A tù]. c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa HD. Chiều cao của tháp là 86.tg 34° -58 [m] [h.a] B = 90° - 30° = 60°. AB = AC.tg c = lO.tg 30° « 5,774 [cm] ; AC 1 [ì BC = « 11,547 [cm]. cosC cos30° [h.b] B = 90° - 45° = 45°. => AC = AB = 10 [cm]; AB 10 BC = --- = ————- ~ 14,142 [cm]. sinC sin 45° [h.c] C = 90° - 35° = 55°. AB = BC.cos B = 20.COS 35° « 16,383 [cm]; AC = BC.sin B = 20.sin 35° « 11,472 [cm]. AC 18 tgB = -9^ = 77 « 0,8571 AB 21 BC = B «41°; C «49°. AC 18 27,437 [cm]. sinB sin41° Nếu tính theo định lí Py-ta-go thì Bài 28. Bài 29. Bài 30. Bài 31. BC — V2Ĩ +18 « 27,659 [cm]. Hình d Kết quả này chính xác hơn vì khi tính toán, ta dùng ngay các số liệu đã cho mà không dùng kết quả trung gian. HD. tga=7 => a « 60° 15'. 4 HD. cos a = 250 320 a «38 37'. Vẽ BK 1 AC, ta được KBC = 60° và KBA = 60° - 38° = 22°. Xét AKBC vuông tại K có : BK = BC.sin c = 1 l.sin 30° = 5,5 [cm]. Xét AKBA vuông tại K có : .-"'C 11 BK 5,5 AB = 5,932 [cm]. cos 22° cos 22° Xét AABN vuông tại N có AN = AB.sin38° « 5,932.sin38° « 3,652 [cm]. Xét AANC vuông tại N có AC = AN _ ~ 75304 [cm]. sinC sin 30° Xét AABC vuông tại B có : AB = AC.sin c = 8.sin 54° « 6,472 [cm]. Vẽ AH ± CD. Xét AACH có : B AH = AC.sin c = 8.sin 74° « 7,690 [cm]. Xét AAHD vuông tại H có : AH 7,690 sin D = AD ~ 9,6 0,8010 =>D«53C Nhận xét. Để tính được số đo của góc D, ta đã vẽ AH -L CD. Mục đích của việc vẽ đường phụ này là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài hai cạnh và có góc D là một góc nhọn của nó. Từ đó tính được một tỉ số lượng giác của góc D rồi suy ra số đo của góc D. Bài 32. Gọi AB là đoạn đường mà con thuyền đi được trong 5 phút, BH là chiều rộng của khúc sông, -ỉ- h là 12 Xét AABH vuông tại H, biết cạnh huyền AB và một góc nhọn thì có thể tính được BH. Quãng đường thuyền đi trong 5 phút AB = 2.-^- = ị [km]. 12 6 157 m. Chiều rộng khúc sông là : BH = AB.sin A - — sin 70° « 0,1566 [km] 6 D. Bài tập luyện thêm Giải tam giác ABC vuông tại A biết: BC = 6,3 ; C = 40° ; AB = 4,5 ; AC = 5,3. Tam giác ABC có B = 70° ; C = 50°, đường cao AH = 3,0. Tính diện tích tam giác ABC. Cho hình bình hành ABCD có AB = 5,2 ; BC = 3,5 và B = 75°. ' Tính diện tích hình bình hành. Tam giác ABC có BC = 8,4 ; B = 65° ; C = 40°. Tính chu vi tam giác ABC. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô' a] B =50°; AB « 4,0 ; AC « 4,8. b]tgc= ±1 «tg40° => C « 40° ; B « 50° ; BC « 7,0. BH « 1,1 ; CH « 2,5, do đó BC « 3,6 3. 4. => s « 5,4 [đvdt]. [Xem hình bên] Vẽ đường cao CH, ta có CH = BC.sin B = 3,5.sin 75° « 3,4. Diện tích hình bình hành là : s« 5,23,4 = 17,7 [đvdt]. Â = 180°-[65°+ 40°] = 75°. Vẽ các đứờng cao AH và BK. Ta có BK = BC.sin c = 8,4.sin 40° « 5,4. AB=-^-^L,5.6. sin A sin 75° AH = AB.sin B « 5,6.sin 65° « 5,1. AC = ’1 S3 7,9. sinC sin 40° Chu vi tam giác ABC là : 8,4 + 5,6 + 7,9 = 21,9. Nhận xét : Việc vẽ thêm các đường cao AH và BK tạo điều kiện vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các cạnh của tam giác.