Giải bài tập toán 12 bài 1 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số được giải và biên tập từ đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn quốc. Đảm bảo chính xác, dễ hiểu giúp các em hoàn thành bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số nhanh chóng, dễ dàng.
Giải bài tập toán 12 bài 1 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số thuộc: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Hướng dẫn trả lời câu hỏi SGK toán 12 bài 1: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 4: Từ đồ thị [H.1, H.2] hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn [[-π]/2; 3π/2] và các hàm số y = |x| trên khoảng [-∞; +∞].
Lời giải:
- Hàm số y = cosx trên đoạn [[-π]/2; 3π/2]:
Các khoảng tăng: [[-π]/2,0], [π, 3π/2].
Các khoảng giảm: [0, π ],.
- Hàm số y = |x| trên khoảng [-∞; +∞]
Khoảng tăng: [0, +∞]
Khoảng giảm [-∞, 0].
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 5: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:
a] y = -x2/2 [H.4a] b] y = 1/x [H.4b]
Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng.
Lời giải:
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 7: Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến [nghịch biến] trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương [âm] trên đó hay không ?
Lời giải:
Xét hàm số y = x3 có đạo hàm y’ = 3x2 ≥ 0 với mọi số thực x và hàm số đồng biến trên toàn bộ R. Vậy khẳng định ngược lại với định lý trên chưa chắc đúng hay nếu hàm số đồng biến [nghịch biến] trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương [âm] trên đó.
Hướng giải bài tập SGK toán 12 bài 1: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Bài 1 [trang 9 SGK Giải tích 12]: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a] y = 4 + 3x – x2
b]
c] y = x4 - 2x2 + 3
d] y = -x3 + x2 – 5
Lời giải:
a] Tập xác định : D = R
y' = 3 – 2x
y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x =
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng [-∞; 3/2] và nghịch biến trong khoảng [3/2 ; + ∞].
b] Tập xác định : D = R
y' = x2 + 6x - 7
y' = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng [-∞ ; -7] và [1 ; +∞]; nghịch biến trong khoảng [-7; 1].
c] Tập xác định: D = R
y'= 4x3 – 4x.
y' = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x.[x – 1][x + 1] = 0 ⇔
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng [-∞ ; -1] và [0 ; 1]; đồng biến trong các khoảng [-1 ; 0] và [1; +∞].
d] Tập xác định: D = R
y'= -3x2 + 2x
y' = 0 ⇔ -3x2 + 2x = 0 ⇔ x.[-3x + 2] = 0 ⇔
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng [-∞ ; 0] và [2/3 ; + ∞], đồng biến trong khoảng [0 ; 2/3].
Kiến thức áp dụng
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f[x].
Bước 1: Tìm tập xác định .
Bước 2: Tính đạo hàm y’. Tìm các giá trị của x để f’[x] = 0 hoặc f’[x] không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Lưu ý: Dấu của f’[x] trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’[x] tại một điểm x0 bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x0 bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’[x0] dương hay âm.
Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Bài 2 [trang 10 SGK Giải tích 12]: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
Lời giải:
a] Tập xác định: D = R \ {1}
y' không xác định tại x = 1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-∞; 1] và [1; +∞].
b] Tập xác định: D = R \ {1}
y’ < 0 với ∀ x ∈ D [vì –x2 + 2x – 2 < 0].
y' không xác định tại x = 1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng [-∞ ;1] và [1 ; +∞]
c] Tập xác định: D = [-∞ ; -4] ∪ [5; +∞]
y' không xác định tại x = -4 và x = 5
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng [-∞; -4]; đồng biến trong khoảng [5; +∞].
d] Tập xác định: D = R \ {±3}
y’ < 0 với ∀ x ∈ D.
y' không xác định tại x = ±3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng [-∞ ; -3]; [ -3; 3] và [3; +∞ ].
Kiến thức áp dụng
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f[x].
Bước 1: Tìm tập xác định .
Bước 2: Tính đạo hàm y’. Tìm các giá trị của x để f’[x] = 0 hoặc f’[x] không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Lưu ý: Dấu của f’[x] trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’[x] tại một điểm x0 bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x0 bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’[x0] dương hay âm.
Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Bài 3 [trang 10 SGK Giải tích 12]: Chứng minh rằng hàm số
Lời giải:
TXĐ: D = R
+ Hàm số nghịch biến
⇔ y’ < 0
⇔ 1 – x2 < 0
⇔ x2 > 1
⇔ x ∈ [-∞ ; -1] ∪ [1; +∞].
+ Hàm số đồng biến
⇔ y’ > 0
⇔ 1 – x2 > 0
⇔ x2 < 1
⇔ x ∈ [-1; 1].
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [-1; 1] và nghịch biến trên các khoảng [-∞; -1] và [1; +∞].
Kiến thức áp dụng
Hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng K xác định:
+ Nếu f’[x] < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
+ Nếu f’[x] > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
Bài 4 [trang 10 SGK Giải tích 12]: Chứng minh rằng hàm số
Lời giải:
TXĐ: D = [0; 2]
+ Hàm số đồng biến
⇔ y’ > 0
⇔ 0 < x < 1.
+ Hàm số nghịch biến
⇔ y’ < 0
⇔ 1 < x < 2.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [0; 1], nghịch biến trên khoảng [1; 2].
Kiến thức áp dụng
Hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng K xác định:
+ Nếu f’[x] < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
+ Nếu f’[x] > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
Bài 5 [trang 10 SGK Giải tích 12]: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Lời giải:
a] Xét hàm số y = f[x] = tanx – x trên khoảng [0; π/2]
Ta có: y’ =
⇒ hàm số đồng biến trên khoảng [0; π/2]
⇒ f[x] > f[0] = 0 với ∀ x > 0
hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ [0; π/2]
⇔ tan x > x với ∀ x ∈ [0; π/2] [đpcm].
b] Xét hàm số y = g[x] = tanx - x -
Theo kết quả câu a]: tanx > x ∀ x ∈
⇒ g'[x] > 0 ∀ x ∈
⇒ y = g'[x] đồng biến trên
⇒ g[x] > g[0] = 0 với ∀ x ∈
Kiến thức áp dụng
+ Hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng K xác định:
Nếu f’[x] < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
Nếu f’[x] > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
+
Giải bài tập toán 12 bài 1 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số được đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn bám sát theo chương trình SGK toán học lớp 12 mới của Bộ GD&ĐT. Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ các bài giải toán 12 và cách Giải Sách bài tập toán học lớp 12 hay nhất giúp các em chinh phục môn toán 12. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.