- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \[T\] thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \[Ox\]
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle y = x^3+ 3x^2+ 1\]
Tập xác định: \[\displaystyle D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
Ta có: \[\displaystyle y’= 3x^2+ 6x = 3x[x+ 2]\]
\[\displaystyle \begin{array}{l} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left[ {x + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x + 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right.. \end{array}\]
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[\displaystyle [-\infty;-2]\] và \[\displaystyle [0;+\infty]\], nghịch biến trên khoảng \[\displaystyle [-2;0]\]
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[\displaystyle x=-2\]; \[\displaystyle y_{CĐ}=5\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[\displaystyle x=0\]; \[\displaystyle y_{CT}=1\].
- Giới hạn: \[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty\], \[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\]
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao \[\displaystyle Oy\] tại \[\displaystyle [0;1]\]
Đồ thị hàm số nhận \[\displaystyle I[-1;3]\] làm tâm đối xứng.
Quảng cáo
LG b
- Dựa vào đồ thị \[[C]\], biện luận số nghiệm của phương trình sau theo \[m\]: \[{x^3} + 3{x^2} + 1 = \dfrac m 2.\]
Phương pháp giải:
Số nghiệm của phương trình \[f[x] = \dfrac{m}{2}\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=f[x]\] và đường thẳng \[y=\dfrac{m}{2}.\] Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình \[\displaystyle {x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\] chính là số giao điểm của \[\displaystyle [C]\] và đường thẳng \[\displaystyle [d]\]: \[\displaystyle y = {m \over 2}\]
Từ đồ thị ta thấy:
- Với \[\displaystyle {m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\] : \[[d]\] cắt \[[C]\] tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với \[\displaystyle {m \over 2} = 1 ⇔ m = 2\]: \[[d]\] tiếp xúc với \[[C]\] tại 1 điểm và cắt \[[C]\] tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \[\displaystyle 1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2 10\]: \[[d]\] cắt \[[C]\] tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.
Vậy, nếu \[m < 2\] hoặc \[m > 10\] thì phương trình có \[1\] nghiệm duy nhất.
+ Nếu \[m = 2\] hoặc \[m = 10\] thì phương trình có \[2\] nghiệm phân biệt.
+ Nếu \[2 < m < 10\] thì phương trình có \[3\] nghiệm phân biệt.
LG c
- Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \[[C].\]
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Viết pt đường thẳng \[AB\] đi qua 2 điểm \[A, B\] ta làm như sau:
+ Tìm tọa độ \[\overrightarrow {AB} \] suy ra tọa độ VTPT của đt.
+ Viết pt đường thẳng theo công thức \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\]
Lời giải chi tiết:
Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là \[\displaystyle A[-2, 5]\], điểm cực tiểu là \[\displaystyle B[0, 1]\].
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left[ {2; - 4} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left[ {4;2} \right]\] là VTPT của \[AB.\]
\[AB\] đi qua \[A[-2;5]\] và nhận \[\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left[ {4;2} \right]\] làm VTPT nên có pt:
\[4\left[ {x + 2} \right] + 2\left[ {y - 5} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\]