Cách đếm số đoạn thẳng, hình tam giác nhanh nhất
Ở bài viết này Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em cáchđếm số đoạn thẳng, đếm số hình tam giác làm sao đúng vànhanh nhất.
Hướng dẫn: Học sinh đọc hiểu bản chất trước khi áp dụng công thức ghi nhớ cách đếm tổng quát.
1. Đếm đoạn thẳng dựa vào số điểm
– Nhìn hình trên ta nhận xét
+ Với 1 điểm, có hai đoạn thẳng nối từ điểm đó tới hai điểm còn lại: AB; AC
+ Với 3 điểm, ta có 6 đoạn thẳng [2×3 = 6], nhưng như vậy mỗi đoạn thắng đã đếm hai lần, nên thực tế chi có: 6 : 2 = 3 [đoạn thẳng]
Tổng quát: với n điểm ta có số đoạn thẳng = n x [n -1]: 2 [đoạn thẳng]
Ví dụ: Trong 1 cuộc họp có 20 người, ai cũng bắt tay với người khác. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
Bài giải
Vận dụng: Coi mỗi điểm là “một người”, mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm như là “1 cái bắt tay” giữa hai người.
Số cái bắt tay là:
20 x 19:2 = 190 [Cái]
Đáp số: 190 cái bắt tay
2. Đếm tam giác
Nhận xét: số tam giác bằng số đáy, số đáy chính là số các đoạn thẳng
Bài giải
Nhận xét: Các tam giác trên đều có chung 1 đỉnh M, số tam giác chính bằng số đáy mà số đáy chính là số đoạn thẳng được nối bởi 6 điểm: A; B; C; D; E; G
Số đoạn thẳng ở đáy là:
6 x 5 : 2 = 15 [đoạn thẳng]
Vậy có 15 tam giác
Đáp sổ: 15 tam giác
Ngoài ra các em nên đọc thêm bài viết về cách đếm hình này://truongquochoc.com/phuong-phap-dem-hinh-tam-giac-hinh-vuong-hinh-chu-nhat/
Tin tức - Tags: đoạn thẳng, tam giácBảng 29 chữ cái tiếng Việt chuẩn nhất
5 sai lầm khi dạy trẻ bướng bỉnh
5 nguyên tắc khi dạy trẻ tập viết
Cách ước lượng thương của phép chia cho số có 2 chữ số, 3 chữ số – Toán lớp 4
Tra cứu điểm thi THPT quốc gia 2018 nhanh, chính xác nhất
Những bài văn mẫu lớp 5 hay nhất
Những bài văn mẫu lớp 4 hay nhất
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Định nghĩa : Cho tập hợp X có n phần tử [n≥1] và số nguyên k với 1≤k≤n. Mỗi tập con gồm k phần tử của X gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho [gọi tắt là một tổ hợp chập k của X].
Công thức : Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là
+ Một đường thẳng được xác định nếu biết hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó.
+ Ba điểm không thẳng hàng tạo thành một tam giác.
+ Trong một đường tròn; dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.
+ Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật .
+ Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có các cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.
Ví dụ 1: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác lồi 16 cạnh.
A.560 B.420 C.240 D.280
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Đa giác lồi đã cho có 16 cạnh nên đa giác này có 16 đỉnh.
Một tam giác được xác định nếu biết ba đỉnh của nó.
Do đó số tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác lồi đã cho là:
Ví dụ 2: Cho một đa giác có 12 cạnh. Hỏi đa giác này có bao nhiêu đường chéo.
A.48 B.51 C.54 D.62
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Đa giác đã cho có 12 cạnh nên có 12 đỉnh.
Số đoạn thẳng được tạo ra từ 12 đỉnh này là:
Mà đa giác này có 12 cạnh nên đa giác này có số đường chéo là: 66- 12= 54 đường chéo.
Chú ý: Số cạnh+ số đường chéo =số đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kì.
Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho đa giác lồi n đỉnh [n≥4] . Hỏi đa giác đã cho có bao nhiêu đường chéo?
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Do đa giác này có n đỉnh nên đa giác này có n cạnh.
Từ n đỉnh của đa giác ta có số đoạn thẳng có đầu mút; cuối mút là n đỉnh này là:
⇒ Số đường chéo của đa giác là:
Ví dụ 4: Cho một đa giác có n đỉnh. Biết rằng đa giác này có 20 đường chéo. Tìm n?
A.7 B.8 C.10 D.12
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
+ Do đa giác này có n đỉnh nên đa giác này có n cạnh .
+ Từ n đỉnh của đa giác ta có số đoạn thẳng có đầu mút; cuối mút là n đỉnh này là:
⇒ Số đường chéo của đa giác là:
+ Theo giả thiết ta có: [n[n-3]]/2=20
Vậy đa giác đã cho có 8 đỉnh.
Ví dụ 5: Số giao điểm tối đa của 12 đường thẳng phân biệt là:
A.66 B.132 C.120 D.45
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm.
⇒ số giao điểm tối đa của 12 đường thẳng là: điểm
Ví dụ 6: Cho một đường tròn và 5 đường thẳng phân biệt. Hỏi có tối đa bao nhiêu giao điểm?
A.10 B.15 C. 20 D. 25
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Ta tính số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng:
Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm
⇒ số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng là:
+ Ta tính số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng với đường tròn.
Một đường thẳng cắt đường tròn tối đa tại hai điểm
⇒ 5 đường thẳng cắt đường tròn tối đa: 2.5= 10 điểm
⇒ Số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng và đường tròn là:10 + 10= 20 điểm
Quảng cáo
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a cho 6 điểm phân biệt, trên đường thẳng b cho 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm đã cho trên hai đường a và b.
A.364 B.231 C.288 D.210
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
- Trường hợp 1. Tam giác có 2 đỉnh nằm trên a và 1 đỉnh thuộc b
+ Có
+ Có
+ Theo quy tắc nhân có : 15.7= 105 tam giác.
- Trường hợp 2. Tam giác có 1 đỉnh nằm trên a và 2 đỉnh thuộc b
+ Có
+ Có
+ Theo quy tắc nhân có : 6.21= 126 tam giác.
Kết hợp hai trường hợp ta có : 105 + 126= 231 tam giác
Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt [ n>1]. Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên.Tìm n?
A.20 B.21 C.30 D.32
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
- Trường hợp 1. Tam giác có 2 đỉnh nằm trên d1 và 1 đỉnh thuộc d2
+ Có
+ Có
+ Theo quy tắc nhân có : 45.n tam giác.
- Trường hợp 2. Tam giác có 1 đỉnh nằm trên d1 và 2 đỉnh thuộc d2
+ Có
+ Có
+ Theo quy tắc nhân có :
Do đó số tam giác được tạo ra là : 45n+5n[ n-1]
Theo đề bài ta có : 45n + 5n[ n-1]= 2800
Ví dụ 9: Cho đa giác đều A1A2....A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n. Tìm n?
A.3 B.6 C.8 D.12
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Số tam giác có đỉnh là 3 trong số 2n điểm đã cho là:
+ Do đa giác đều A1A2....A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O nên các đoạn thẳng A1An+1; A2An+ 2;...; AnA2n là n đường kính .
+ Số các hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n là
[ Cứ hai đường kính cho ta một hình chữ nhật nên số các hình chữ nhật thỏa mãn chính bằng số cách chọn 2 đường kính trong n đường kính].
+ Theo đầu bài ta có phương trình :
Vậy n= 8.
Ví dụ 10: Cho 10 đường thẳng song song lần lượt cắt 8 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành từ các đường thẳng trên.
A.45 B.28 C.73 D.1260
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Ta chia các đường thẳng đã cho thành 2 nhóm:
+ Nhóm 1: là 10 đường thẳng song song với nhau
+ Nhóm 2: Là 8 đường thẳng song song với nhau
Tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau là hình bình hành.
+ Bước 1: Chọn 2 đường thẳng nhóm 1 có:
+ Bước 2: Chọn 2 đường thẳng nhóm 2 có:
Số hình bình hành được tạo ra là; 45.28= 1260 hình
Ví dụ 11: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác [H]: A1A2...A10. Hỏi từ các đỉnh của đa giác [H] ta lập được bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh của [H]?
A.54 B.64 C.60 D.72
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Đa giác A1A2..A10 là đa giác có 10 đỉnh và có 10 cạnh .
Giả sử tam giác AiAjAk [ 1≤i,j,k≤10] có đúng 1 cạnh của [ H].
Giả sử AiAj là một cạnh của [ H]. Khi đó số cách chọn cạnh này là: 10[ vì đa giác [H] có 10 cạnh].
Số cách chọn đỉnh còn lại Ak là 6 cách [ đỉnh này khác Ai; Aj và khác hai đỉnh liền kề với Ai,Aj ]
Theo quy tắc nhân; số tam giác thỏa mãn là 10.6= 60 tam giác.
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng cho đa giác đều [H] có 20 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của [H] nhưng không có cạnh nào là cạnh của [H] ?
A.4760 B.3720 C.3600 D.2400
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Do đa giác đã cho có 20 cạnh nên đa giác này có 20 đỉnh là A1; A2; ..; A20.
+ Bước 1. Chọn đỉnh thứ nhất Ai: có 20 cách.
+ Bước 2. Chọn đỉnh thứ hai Aj: đỉnh thứ 2 khác đỉnh thứ nhất và khác với đỉnh liền kề với Ai [ chú ý tam giác cần lập không có cạnh nào của [ H]] nên có 17 cách chọn đỉnh Aj
+ Bước 3. Chọn đỉnh thứ ba Ak: khác đỉnh thứ nhất - thứ hai; khác 2 đỉnh liền kề Ai; khác 2 đỉnh liền kề Aj nên có 14 cách chọn Ak.
Theo quy tắc nhân có: 20.17.14= 4760 tam giác thỏa mãn.
Câu 1: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác lồi có 13 đỉnh.
A.128 B.143 C.286 D.426
Đáp án : C
Một tam giác được xác định nếu biết ba đỉnh của nó.
Do đó; số tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác lồi đã cho là:
Câu 2: Một đa giác [H] có n cạnh. Biết rằng từ n đỉnh của đa giác ta lập được 816 tam giác. Tìm n?
A.18 B.17 C.16 D.14
Đáp án : A
Do đa giác [H] có n cạnh nên đa giác này có n đỉnh .
Một tam giác được xác định nếu biết ba đỉnh của tam giác đó.
Do đó; từ n đỉnh của đa giác ta lập được số tam giác là:
Theo giả thiết ta có:
Câu 3: Cho một đa giác có 14 cạnh. Hỏi đa giác này có bao nhiêu đường chéo.
A.72 B.68 C.54 D.77
Đáp án : D
Đa giác đã cho có 14 cạnh nên có 14 đỉnh.
Số đoạn thẳng được tạo ra từ 14 đỉnh này là:
Mà đa giác này có 14 cạnh nên đa giác này có số đường chéo là:
91- 14= 77 đường chéo
Chú ý: Số cạnh+ số đường chéo =số đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kì.
Câu 4: Cho một đa giác có n đỉnh. Biết rằng đa giác này có 35 đường chéo. Tìm n?
A.7 B.8 C.10 D.12
Đáp án : C
Do đa giác này có n đỉnh nên đa giác này có n cạnh.
Từ n đỉnh của đa giác ta có số đoạn thẳng có đầu mút; cuối mút là n đỉnh này là:
⇒ Số đường chéo của đa giác là:
Theo giả thiết ta có:
Vậy đa giác đã cho có 10 đỉnh
Câu 5: Số giao điểm tối đa của 18 đường thẳng phân biệt là:
A.306 B.324 C.153 D.174
Đáp án :
Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm.
⇒ Số giao điểm tối đa của 18 đường thẳng là:
Câu 6: Cho một đường tròn và 7 đường thẳng phân biệt. Hỏi có tối đa bao nhiêu giao điểm ?
A.28 B.14 C.21 D.35
Đáp án : D
+ Ta tính số giao điểm tối đa của 7 đường thẳng với nhau:
Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm
⇒ số giao điểm tối đa của 7 đường thẳng là:
+ Ta tính số giao điểm tối đa của 7 đường thẳng với đường tròn.
Một đường thẳng cắt đường tròn tối đa tại hai điểm
⇒ 7 đường thẳng cắt đường tròn tối đa: 2.7= 14 điểm
⇒ Số giao điểm tối đa của 5 đường thẳng và đường tròn là: 21+ 14= 35 điểm
Câu 7: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a cho 8 điểm phân biệt, trên đường thẳng b cho 6 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm đã cho trên hai đường a và b.
A.364 B.231 C.288 D.210
Đáp án : C
- Trường hợp 1. Tam giác có 2 đỉnh nằm trên a và 1 đỉnh thuộc b
+ Có
+ Có
Theo quy tắc nhân có : 28. 6= 168 tam giác.
- Trường hợp 2. Tam giác có 1 đỉnh nằm trên a và 2 đỉnh thuộc b
+ Có
+ Có
Theo quy tắc nhân có : 8. 15= 120 tam giác.
Kết hợp hai trường hợp ta có : 168 + 120= 288 tam giác.
Câu 8: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 9 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt [ n>1]. Biết có 540 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên.Tìm n?
Đáp án : C
- Trường hợp 1. Tam giác có 2 đỉnh nằm trên d1 và 1 đỉnh thuộc d2
+ Có
+ Có
Theo quy tắc nhân có : 36.n tam giác.
- Trường hợp 2. Tam giác có 1 đỉnh nằm trên d1 và 2 đỉnh thuộc d2
+ Có
+ Có
Theo quy tắc nhân có :
Do đó ; số tam giác được tạo ra là :
Theo đề bài ta có : = 540
Câu 9: Cho đa giác đều A1A2....A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n gấp 76/3 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n. Tìm n?
A.10 B.9 C.8 D.15
Đáp án :
+ Số tam giác có đỉnh là 3 trong số 2n điểm đã cho là:
+ Do đa giác đều A1A2....A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O nên các đoạn thẳng A1An+1; A2An+ 2;...; AnA2n là n đường kính .
+ Số các hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 ;A2 ;.... ; A2n là
[ Cứ hai đường kính cho ta một hình chữ nhật nên số các hình chữ nhật thỏa mãn chính bằng số cách chọn 2 đường kính trong n đường kính].
+ Theo đầu bài ta có phương trình :
Câu 10: Cho15 đường thẳng song song lần lượt cắt 12 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành từ các đường thẳng trên.
A.6290 B.6930 C.1440 D.5260
Đáp án : B
Ta chia các đường thẳng đã cho thành 2 nhóm:
+ Nhóm 1: là 15 đường thẳng song song với nhau
+ Nhóm 2: là 10 đường thẳng song song với nhau
Tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau là hình bình hành.
+ Bước 1. Chọn 2 đường thẳng nhóm 1 có:
+ Bước 2. Chọn 2 đường thẳng nhóm 2 có:
Số hình bình hành được tạo ra là : 105. 66 = 6930 hình
Câu 11: Cho 5 đường tròn phân biệt và 4 đường thẳng phân biệt.Hỏi có tối đa bao nhiêu giao điểm giữa các đường tròn và đường thẳng?
A.66 B.34 C.60 D.Đáp án khác
Đáp án : A
+ Bước 1. Ta tính số giao điểm tối đa của 5 đường tròn:
Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 điểm chung. Nên số giao điểm tối đa của 5 đường tròn là :
+ Bước 2. Ta tính số giao điểm tối đa của 4 đường thẳng:
Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 điểm chung nên số giao điểm tối đa của 4 đường thẳng này là :
+ Bước 3. Số giao điểm tối đa của các đường tròn với các đường thẳng :
Một đường thẳng cắt đưởng tròn tối đa tại hai điểm.
⇒ 4 đường thẳng cắt 1 đường tròn tối đa tại: 4.2= 8 điểm
⇒ 4 đường thẳng cắt 5 đường tròn tối đa tại: 8.5= 40 điểm
Do đó; số giao điểm tối đa giữa các đường thẳng và đường tròn là : 20 + 6 + 40= 66 điểm
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác [H]: A1A2...A16. Hỏi từ các đỉnh của đa giác [H] ta lập được bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh của [H]?
Đáp án : B
Đa giác A1A2...A16 là đa giác có 16 đỉnh và có 16 cạnh .
Giả sử tam giác AiAjAk [ 1≤i,j,k≤16] có đúng 1 cạnh của [ H].
Giả sử AiAj là một cạnh của [ H]. Khi đó số cách chọn cạnh này là: 16 [ vì đa giác [H] có 16 cạnh].
Số cách chọn đỉnh còn lại Ak là 12 cách [ đỉnh này khác Ai; Aj và khác hai đỉnh liền kề với Ai,Aj ]
Theo quy tắc nhân; số tam giác thỏa mãn là 16.12 = 192 tam giác.
Câu 13: Trong mặt phẳng cho đa giác đều [H] có 15 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của [H] nhưng không có cạnh nào là cạnh của [H] ?
A.2760 B.1720 C.1600 D.1620
Đáp án : D
Do đa giác đã cho có 15 cạnh nên đa giác này có 15 đỉnh là A1; A2; ..; A15.
+ Bước 1. Chọn đỉnh thứ nhất Ai: có 15 cách.
+ Bước 2. Chọn đỉnh thứ hai Aj: đỉnh thứ 2 khác đỉnh thứ nhất và khác với đỉnh liền kề với Ai [ chú ý tam giác cần lập không có cạnh nào của [ H]] nên có 12 cách chọn đỉnh Aj
+ Bước 3. Chọn đỉnh thứ ba Ak: khác đỉnh thứ nhất - thứ hai; khác 2 đỉnh liền kề Ai; khác 2 đỉnh liền kề Aj nên có 9 cách chọn Ak.
Theo quy tắc nhân có: 15.12.9= 1620 tam giác thỏa mãn.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
to-hop-xac-suat.jsp