Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 - Toán lớp 11
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11
Với Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
+ Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 [ với a 0] có nghiệm nếu:
- 1 sinx[ hoặc cosx] 1.
+Xét phương trình a.sin2 x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos2 x+ b. cosx+ c= 0 [ với a 0] :
Đặt sinx= t [ hoặc cosx = t] phương trình đã cho trở thành:
at2 + bt + c= 0 [*]
để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình [*] có nghiệm t0 và -1 t0 1
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx+ cos900 = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. - 2 m 2
B. - 1 m 1
C. - 4 m 4
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: 2sinx+ cos900= m
2sinx + 0= m
sinx= m/2 [*]
Với mọi x ta luôn có: - 1 sinx 1
để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
- 1 m/2 1 - 2 m 2
Chọn A.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:
A. 2
B.4
C. 3
D.1
Lơì giải
Ta có:
sinx - 2sinx = m
- sinx = m sinx= - m
Với mọi x ta luôn có: - 1 sinx 1
để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
- 1 -m 1 - 1 m 1
m{ -1;0;1}
Chọn C.
Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2[m-1]sinxcosx-[m-1]cos2x=m có nghiệm?
A.0m1
B.m > 1
C.0 < m < 1
D.m0
Lời giải
Ta có: sin2 x- 2[m -1] sinx. cosx [ m 1] cos2 x= m
Ta có:
1- cos2x -2 [m- 1] .sin2x- [ m- 1] . [ 1 + cos2x] = 2m
1- cos2x -2[m-1]sin2x m+ 1 [m-1].cos2x 2m= 0
-2[m -1] sin2x mcos2x= 3m - 2
Phương trình có nghiệm
Ta có:
Chọn A.
Ví dụ 4. Để phương trình: sin2 x+2[m+1].sinx 3m[m-2]= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
A.
B.
C. .
D. .
Lời giải
Đặt t = sinx.
Điều kiện .
Phương trình trở thành: t2 + 2[m+1].t 3m[m- 2]= 0 [1].
Đặt f[t] = t2 + 2[m+1]t 3m[m- 2].
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1;1] khi phương trình [1] có một nghiệm thuộc [-1;1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1;1]
Chọn B.
Ví dụ 5: Để phương trình
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Phương trình [1] trở thành 3t2+ 4at 4= 0 [2].
Để phương trình [1] có nghiệm thì phương trình [2] phải có nghiệm trong đoạn .
Xét phương trình [2], ta có:
nên [2] luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho phương trình cos6 x + sin6 x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 1/4 m 1
B. 1/2 m 1
C. 1/2 m 2
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: cos6 x + sin6 x= m
[cos2 x+ sin2 x] . [cos4 x cos2x. sin2 x+ sin4 x] =m
1.[ [cos2x+ sin2 x]2 3.cos2 x. sin2 x= m
Với mõi ta a luôn có: - 1 sin2x 1 nên 0 sin2 2x 1
Do đó; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình [*] có nghiệm
Chọn B.
Ví dụ 7. Cho phương trình: 4[sin4 x + cos4 x ] -8[sin6 x + cos6 x] -4sin2 4x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
A. .
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có:
+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.
[1] có nghiệm thì [2] phải có nghiệm thoả t0 thuộc [-1;1] .
Chọn D.
Ví dụ 8. Cho phương trình cos[x-300] + sin[ x+ 600]= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A.0 m 1
B. -1 m 2
C. - 1 m 1
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: cos[x- 300] - sin[x+ 600] + sinx = m
cosx . cos300+ sinx. sin300 - sinx. cos600 - cosx. sin600 + sinx= m
sinx= m [*]
Với mọi x ta luôn có: - 1 sinx 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình [*] có nghiệm
- 1 m 1
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho phương trình: cosx. sinx 2m 2sinx+ m.cosx= 0.Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.
A.0 m 1
B. -1 m 2
C. - 2 m 1
D. -1 m 1
Lời giải:
Ta có: cosx.sinx 2m -2sinx + m. cosx = 0
[cosx. sinx -2sinx] + [ m. cosx 2m] = 0
sinx[ cosx- 2] + m[ cosx- 2] = 0
[ sinx + m] . [cosx- 2] = 0
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình sinx= - m có nghiệm
- 1 m 1
Chọn D.
Câu 2:Cho phương trình cos2x+ 4cosx+ m= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. -7 m 1
B. -5 m 2
C. 6 m 2
D. - 4 m 2
Lời giải:
Ta có: cos2x + 4cosx + m=0
2cos2 x 1+ 4cosx+ m= 0
2cos2 x+ 4cosx + 2 + m-3= 0
2[cosx+ 1]2 + m- 1= 0
2[cosx+1]2 = 1- m
[cosx+ 1]2 = [1-m]/2 [*]
Với mọi x ta luôn có: - 1 cosx 1 0 cosx+1 2
0 [cosx+1]2 4
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình [*] có nghiệm
0 [1-m]/2 4 0 1-m 8
- 7 m 1
Chọn A.
Câu 3:Cho phương trình cos[ x+ y] cos[ x-y] = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. -3 m 1
B. -2 m 2
C. 3 m 1
D. - 4 m 2
Lời giải:
Ta có: cos[x+ y] cos [x- y] = m
cosx . cosy sinx. siny [ cosx. cosy + sinx. sin y]= m
-2sinx. sin y = m [*]
Với mọi x; y ta có; - 1 sin〖x 1 và-1 siny 1
- 1 sin〖x.siny 1 - 2 -2.sinx.siny 2
Do đó; để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình [ *]có nghiệm
- 2 m 2
Chọn B.
Câu 4:Cho phương trình sin6 x- cos6 x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a+ b
A. 2
B. -1
C. 0
D. 1
Lời giải:
Ta có:sin6 x- cos6 x + cos2x= m
[sin2 x- cossin2 x] . [ sinsin4 x+ sin2 x. cos2 x+ cossin4x]+ cos2x = m
- cos2x. [ [sinsin2 x+ cossin2 x]sin2 sinsin2 x.cossin2 x] + cos2x= m
Chon C.
Câu 5:Cho phương trình:
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Điều kiện: cos2x #0
Ta có: sin6 x+ cos6 x= [sin2 x+ cos2x]. [sin4 x- sin2x.cos2x + cos4 x]
= 1. [ [sin2 x+ cos2 x]2 3sin2 x.cos2 x] = 1- 3/4 sin2 2x
Khi đó phưởng trình đã cho trở thành:
Chọn C
Câu 6:Cho phương trình cos[ 900- x]+ sin[ 1800- x] + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm
A. 3
B. 4
C. 2
D .5
Lời giải:
Ta có: cos[ 900- x] + sin[ 1800 x] + sinx= 3m
sinx + sin x + sinx = 3m
3sinx= 3m sin x= m [*]
Với mọi x ta luôn có: - 1 sinx 1 nên tử [*] suy ra phương trình đã cho có nghiệm
- 1 m 1
Có ba giá nguyên của m là 1; 0; 1 để phương trình đã cho có nghiệm.
Chọn A.
Câu 7:Cho phương trình: sin2 x+ [m-1] sinx m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.
A.m > 2
B. m < 1
C. 1 < m < 10
D.Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Lời giải:
Ta có; sin2 x+ [m-1]sinx m= 0
sin2 x sinx + m.sinx- m= 0
sinx[sinx -1] + m.[sinx -1] = 0
[sinx 1].[sinx+ m]= 0
Vì phương trình sinx= 1 có nghiệm là x= π/2+k2π
Phương trình đã cho luôn nhận x= π/2+k2π làm nghiệm
Với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm
Chọn D.
Câu 8:Cho phương trình sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. -32 m 32
B. 3- 2 m 2+3
C. 2- 2 m 2+2
D. -22 m 22
Lời giải:
Ta có: sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x= m
sin2x + 2[ sin2 x+ cos2 x] + 2cos2 x = m
sin2x+ 2.1+ cos2x+ 1 = m
sin2x + cos2x + 3 = m
sin2x+ cos2x = m 3
2 sin[ 2x+ π/4]=m-3
Với mọi x ta luôn có - 1 sin[ 2x+ π/4] 1
- 2 2 sin[2x+ π/4] 2
- 2 m-3 2
3- 2 m 2+3
Chọn B.
Câu 9:Để phương trình
A. -1 m < -1/4
B. -2 m -1
C.0 m 2
D.[- 1]/4 m 0
Lời giải:
Chọn A.
Câu 10:Để phương trình:
A.- 1 a 0 .
B. - 2 a 2.
C. - 1/2 m 1/4.
D. - 2 m 0
Lời giải:
Chọn B.