Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f[x^{2}-2mx+11-m]$ có đúng 3 điểm cực trị ?
Đồ thị của $f'[x]$ chưa rõ ràng : nó cắt tia $Ox$ tại $2$ điểm có hoành độ $x=1$ và $x=\alpha$ [ở đây $\alpha$ bằng bao nhiêu chưa biết, mình giả sử $\alpha=2$]
Đặt $u=x^2-2mx+11-m$. Dễ thấy GTNN của $u$ là $-\Delta '=-m^2-m+11$, tức là miền giá trị của $u$ là $\left [ -m^2-m+11;+\infty \right ]$
Đồ thị hàm $f[x^2-2mx+11-m]$ có đúng $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi $1\leqslant -m^2-m+11< \alpha =2$
Vì dựa vào đồ thị ta thấy nếu $1\leqslant -m^2-m+11< \alpha =2$, thì :
- khi $u$ giảm từ $+\infty$ đến $2$ thì $f[u]$ giảm [lưu ý rằng $f[a]> f[2]$ nếu $a> 2$]
- khi $u$ giảm từ $2$ đến $-m^2-m+11$ thì $f[u]$ tăng [vì $f[2]< f[-m^2-m+11]$ do trong khoảng này $f'[x]$ âm
Chọn B
Ta có: y'=−4x3+12x+m. Xét phương trình y'=0⇔−4x3+12x+m=0 1.
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình [1] phải có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có: 1⇔m=4x3−12x.
Xét hàm số gx=4x3−12x có g'x=12x2−12. Cho g'x=0⇔12x2−12=0⇔x=±1.
Bảng biến thiên của gx
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt khi −8