I. Các bước khảo sát sự biến thiên của hàm số
Bước 1:Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp phạm vi khảo sát.
Bước 2:Khảo sát và lập bảngbiến thiên :
+ Xét sự biến thiên của hàm số :
- Tìm đạo hàm bậc nhất y' ;
- Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định ;
- Xét dấu y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số .
+ Tìm cực trị .
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận [nếu có].
+ Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị.
II. Cách vẽ đồ thị hàm số
Các dạng đồ thị hàm số: Chủ yếu là đồ thị hàm số mũ
1. Đồ thị hàm số bậc nhất
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
+ Lập bảng xét dấu y
+ Hàm số đồng biến [nghịch biến] trên các khoảng và
- Tìm cực trị:Hàm số đã cho không có cực trị
- Tiệm cận:
Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
- Đồ thị hàm số y= ax+b
-Giao của đồ thị với trục Oy: x = 0 => y = [0; ]
- Giao của đồ thị với trục Ox: Giải phương trình y = 0
- Lấy thêm một số điểm [nếu cần]- [điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.]
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
2. Cách vẽ đồthị hàm số bậc 2
Vẽ đồ thị hàm bậc 2: Đồ thị hàm số y=ax2.
Vẽ đồ thị hàm số bậc 2là hàm số có dạngy = ax2 + bx+c,trong đó a, b, c là các hằng số và a 0.
Đồ thị hàm số bậc hai: đồ thị của hàm số là một Parabol [P] có các dạng:
- Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0.
- Hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số ta thực hiện như sau:
- Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S.
- Nối ASB để được một góc rồi thực hiện vẽ đường cong parabol lựon theo đường góc này.
3. Đồ thị hàm số logarit
Hàm số đồng biến trên R khi a > 1 và nghịch biến trên R khi 0 < a 1.
Đồ thị qua điểm [1 ; 0], nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
4. Hàm số mũ
y = ax [a>0vàa1]
Tập xác địnhD=R, y = ax >0,xR.
Hàm số đồngbiến trên R khi a > 0, nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.
Đồthị qua điểm [0 ; 1], nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Đạo hàm :
- y = axcóy = axlna
- y = excóy = ex
- Với u[x] là hàm sốtheo X có đạo hàm là u[x] thì:y = aucóy = au.u.lnavày = eucóy=eu . u.
5. Đồ thị hàm số bậc 3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3:y = ax3 + bx2 + cx + d [a0]
6. Đồ thị hàm số bậc 4
Phần này ta sẽ tìm hiểu cách vẽ đồ thị hàm số bậc 4 dưới dạng hàm số trùng phương nhưsau:
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:y = ax4 + bx2 + c
Để vẽ được đồ thị dạng này ta đặtx2 = t. Phương trình cũ trở thành phương trình bậc hai có dạng:at2 + bt + c = 0. áp dụng tương tự cách vẽ đồ thị hàm bậc hai như trên.
7. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f[x] nhận điểm I[a, b] làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1:Với phép biến đổi toạ độ:
- Bước 2:Nhận xét rằng hàm số [1] là hàm số lẻ.
- Bước 3:Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I[a, b] làm tâm đối xứng.