A. $x = - \frac{\pi }{{18}};{\rm{ }}x = \frac{\pi }{2}$.
B. $x = - \frac{\pi }{{18}};{\rm{ }}x = \frac{{2\pi }}{9}$.
C. $x = - \frac{\pi }{{18}};{\rm{ }}x = \frac{\pi }{6}$.
D. $x = - \frac{\pi }{{18}};{\rm{ }}x = \frac{\pi }{3}$.
Chọn C.
$\sin 4x + \cos 5x = 0 \Leftrightarrow \cos 5x = - \sin \,4x$
$ \Leftrightarrow \cos 5x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} + 4x} \right]$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + 4x + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} - 4x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]$
Với nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là $ - \frac{{3\pi }}{2}$ và $\frac{\pi }{2}$
Với nghiệm $x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{9}$ ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là $ - \frac{\pi }{{18}}$ và $\frac{\pi }{6}$
Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là $ - \frac{\pi }{{18}}$ và $\frac{\pi }{6}$
$\sin 4x + \cos 5x = 0 \Leftrightarrow \cos 5x = - \sin \,4x$
$ \Leftrightarrow \cos 5x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} + 4x} \right]$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + 4x + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} - 4x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]$
Với nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là $ - \frac{{3\pi }}{2}$ và $\frac{\pi }{2}$
Với nghiệm $x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{9}$ ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là $ - \frac{\pi }{{18}}$ và $\frac{\pi }{6}$
Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là $ - \frac{\pi }{{18}}$ và $\frac{\pi }{6}$