Cách chứng minh trung điểm trong đường tròn

Skip to content

⇒ M là trung điểm CD

2. Cách chứng minh trung điểm theo tính chất của tam giác

Phương pháp : Để chứng minh theo cách này thì trước hết tất cả chúng ta cần nắm vững các đặc thù tương quan đến trung điểm trong tam giác .

Cho tam giác ABC với M, N, P. lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó :

• AM, BN, CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC, CA, AB .
• 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
• 3 đoạn thẳng MN, NP, PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.

Tính chất trọng tâm : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì AG, BG, CG lần lượt đi qua trung điểm của BC, CA, AB. Suy ra :

Đường trung bình tam giác : Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng 50% cạnh đáy tương ứng .
Ví dụ : Cho tam giác ABC có AB > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G, K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm đoạn BC .

Lời giải Xét Δ BCK có : BF ⊥ CK [ gt ] BE là phân giác góc B ⇒ BF cũng là phân giác góc B ⇒ BF vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác tam giác BCK ⇒ Δ BCK cân tại B ⇒ BC = BK Với BF là đường trung tuyến CF = FK Xét ΔCKA có :

CF = FK [ cmt ]

CD = DA [đường trung bình ABC]

Xem thêm: Cách xoay bảng trong Word [Xoay bảng 90 độ trong Word]

⇒ FD / / BA MD / / BA

Mà CD = DA nên

⇒ M là trung điểm của BC

3. Chứng minh trung điểm theo tính chất tứ giác đặc biệt

Phương pháp: Để chứng minh trung điểm trong tứ giác ta phải nắm được một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt:

• Đường trung bình trong hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
• Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lưu ý: Đối với các hình như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất tương tự như hình bình hành.

Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC, BD. Lấy M là điểm bất kỳ nằm trên CD. MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN .

Lời giải : Vì ABCD là hình bình hành mà I là giao điểm của hai đường chéo nên ta có : DI = MI

Xét ΔDIM và ΔBIN có :

DI = BI [ chứng minh trên ]

⇒ ΔDIM = ΔBIN [ g. c. g ]
Vậy IN = IM hay I là trung điểm của MN

4. Chứng minh trung điểm theo tính chất của đường tròn

Phương pháp: Để chứng minh trung điểm ta dựa vào quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kể của đường tròn. Khi đó, nếu AB cắt MN, AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại, nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB cắt MN .
Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC và nội tiếp đường tròn O. Tiếp tuyến tại A và B của [ O ] cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của [ O ]. P. nằm giữa M và Q. song song với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng E là trung điểm PQ

Lời giải Vì MA, MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn [ O ] ⇒ MA = MB Xét ΔMAO và ΔMBO có MA = MB [ chứng minh trên ] MO là cạnh chung OA = OB [ nửa đường kính [ O ] ]

⇒ ΔMAO = ΔMBO [ c. c. c ]

⇒ EO vuông góc với dây cung PQ
⇒ E là trung điểm PQ

5. Cách chứng minh trung điểm theo tính chất đối xứng trục

Phương pháp: Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB. Khi đó AB cắt d và d đi qua trung điểm của AB.

Xem thêm: Cách xoay bảng trong Word [Xoay bảng 90 độ trong Word]

6. Chứng minh trung điểm theo tính chất đối xứng tâm

Phương pháp: Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB.

Hy vọng với những kỹ năng và kiến thức định nghĩa về trung điểm là gì và cách chứng minh trung điểm hoàn toàn có thể giúp bạn vận dụng vào làm bài tập đơn thuần hơn nhé

Source: //tmsquynhon.com.vn
Category: CÔNG NGHỆ

Nội dung 7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Nội dung 7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Để chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB [trong mặt phẳng] các em có thể sử dụng một trong 7 cách dưới đây.

1. Chứng minh M nằm giữa A, B và \[MA=MB\] hay \[MA=\frac{1}{2}AB\]

2. Sử dạng tính chất đường trung tuyến trong tam giác.

3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, hình thang.

4. Sử dụng tính chất đối xứng trục và đối xứng tâm.

5. Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành.

6. Sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung trong đường tròn.

7. Sử dụng tính chất đường kính đi qua điểm chính giữa cung trong đường tròn.

Bài viết gợi ý:

Chứng minh trung điểm là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán Trung học Cơ sở. Vậy cụ thể trung điểm là gì? Cách chứng minh trung điểm lớp 8 lớp 9 có gì giống và khác nhau? Cách giải bài toán chứng minh o là trung điểm ef?… Trong bài viết dưới đây, bachgiamedia.com.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Mục lục

2 Những cách chứng minh trung điểm phổ biến và điển hình2.5 Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng

Trung điểm là gì?

Trung điểm \[ M \] của đoạn thẳng \[ AB \] là điểm nằm giữa \[ A,B \] và cách đều \[ A,B \] hay \[ MA =MB \]. Trung điểm của đoạn thẳng \[ AB \] còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng \[ AB \]

***Chú ý: Điểm \[ M \] nằm giữa hai điểm \[ A,B \] \[\Leftrightarrow MA+MB=AB\]

Những cách chứng minh trung điểm phổ biến và điển hình

Để chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng thì chúng ta cần sử dụng các tính chất hình học có liên quan đến trung điểm. Dưới đây là một số cách CM trung điểm cơ bản.

Bạn đang xem: Cách chứng minh trung điểm

Cách chứng minh trung điểm lớp 6 – chứng minh theo định nghĩa

Để chứng minh điểm \[ M \] là trung điểm của đoạn thẳng \[ AB \] thì ta cần chứng minh đồng thời \[ M \] nằm giữa \[ A,B \] và \[ MA+MB \]

Ví dụ:

Cho đoạn thẳng \[ AB =8cm \] có \[ M \] là trung điểm \[ AB \]. Trên \[ AB \] lấy hai điểm \[ C,D \] sao cho \[ AC=BD=3cm \]. Chứng minh \[ M \] là trung điểm \[ CD \]

Cách giải:

Vì \[ M \] là trung điểm \[ AB \] nên \[ MA =MB =4cm \]

Vì \[ M,C \] cùng phía với \[ A \] mà \[ AM > AC \] nên \[ C \] nằm giữa \[ AM \]

\[\Rightarrow MC =MA-CA = 1cm\]

Tương tự ta có \[ MD =1cm \]

Mặt khác : \[CD= AB-AC-BD =2cm\]

Như vậy ta có :

\[\left\{\begin{matrix} MC =MD =1cm\\ MC + MD =CD \end{matrix}\right.\]

\[\Rightarrow M\] là trung điểm \[ CD \]

Cách chứng minh trung điểm lớp 7 – dựa vào các tính chất của tam giác

Để chứng minh theo cách này thì trước hết chúng ta cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.

Cho tam giác \[ ABC \] với \[ M,N,P \] lần lượt là trung điểm của \[ BC, CA, AB \]

Khi đó:

\[ AM,BN,CP \] lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh \[ BC,CA,AB \] . 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm \[ G \] được gọi là trọng tâm của tam giác \[ ABC \] . 3 đoạn thẳng \[ MN,NP,PM \] được gọi là các đường trung bình của tam giác \[ ABC \]

Tính chất trọng tâm: Nếu \[ G \] là trọng tâm tam giác \[ ABC \] thì \[ AG,BG,CG \] lần lượt đi qua trung điểm của \[ BC,CA,AB \] . Đồng thời : \[\frac{AG}{AM}=\frac{BG}{BN}=\frac{CG}{CP}=\frac{2}{3}\]Tính chất đường trung bình: Nếu \[ MN \] là đường trung bình của tam giác \[ ABC \] thì \[ MN \] song song và bằng \[\frac{1}{2}\] cạnh đáy tương ứng.

Xem thêm: 2 Cách Chuyển Số Điện Thoại 11 Số Về 10 Số

Ví dụ:

Cho tam giác \[ ABC \] có \[ AB >BC \] . \[ BE \] là phân giác và \[ BD \] là trung tuyến. Đường thẳng qua \[ C \] vuông góc với \[ BE \] cắt \[ BE, BD, BA \] lần lượt tại \[ F, G , K \] \[ DF \] cắt \[ BC \] tại \[ M \]. Chứng minh rằng: \[ M \] là trung điểm đoạn \[ BC \]

Cách giải:

Xét \[\Delta BCK\] có

\[BF\] vừa là đường cao, vừa là phân giác nên \[\Delta BCK\] cân tại \[ B \]

\[\Rightarrow BC=BK\] và \[ BF\] là trung tuyến

\[\Rightarrow CF=FK\].

Xét \[\Delta CKA\] có

\[CF=FK ;CD=DA\] \[\Rightarrow FD\] là đường trung bình

\[\Rightarrow FD//AB\Leftrightarrow MD//AB\]

Mà \[CD=DA\] nên \[\Rightarrow \frac{CM}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow M \] là trung điểm \[ BC \].

Cách chứng minh trung điểm lớp 8 – dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt như sau

Đường trung bình hình thang

Cho hình thang \[ ABCD \] hai đáy là \[ AB,CD \]. Khi đó \[ MN \] được gọi là đường trung bình của hình thang \[ ABCD \] \[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} MN \parallel AB \\ MN =\frac{AB+CD}{2} \end{matrix}\right.\] và \[ M,N \] là trung điểm của \[ AB, BC \]

Đường chéo hình bình hành

Cho hình bình hành \[ ABCD \] với hai đường chéo \[ AC,BD \] . Khi đó \[ AC \] cắt \[ BD \] tại trung điểm của mỗi đoạn.

***Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật , hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất nêu trên

Ví dụ:

Cho hình bình hành \[ ABCD \] với \[ I \] là giao điểm của \[ AC,BD \]. Lấy \[ M \] là điểm bất kì nằm trên \[ CD \] . \[ MI \] cắt \[ AB \] tại \[ N \]. Chứng minh rằng \[ I \] là trung điểm MN

Cách giải:

Vì \[ ABCD \] là hình bình hành mà \[ I \] là giao điểm của hai đường chéo nên ta có : \[ DI = MI \]

Xét \[\Delta DIM\] và \[\Delta BIN\] có :

\[\widehat{DIM}= \widehat{BIN}\] [ hai góc đối đỉnh ]

\[ DI = BI \] [ chứng minh trên ]

\[\widehat{MDI}= \widehat{NBI}\] [ hai góc so le trong ]

Vậy \[\Rightarrow \Delta DIM = \Delta BIN\] [ góc – cạnh – góc ]

Vậy \[\Rightarrow IN=IM\] hay \[ I \] là trung điểm \[ MN \]

Cách chứng minh trung điểm lớp 9 – dựa vào các tính chất của đường tròn

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn:

Cho đường tròn tâm \[ O \] đường kính \[ AB \]. \[ MN \] là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu \[AB \bot MN \Rightarrow\] \[ AB \] đi qua trung điểm của \[ MN \] và ngược lại , nếu \[ AB \] đi qua trung điểm của \[ MN \] thì \[AB \bot MN\]

Ví dụ:

Cho tam giác \[ ABC \] nhọn \[ [AB

Cách giải:

Vì \[ MA , MB \] là các tiếp tuyến kẻ từ \[ M \] của đường tròn \[ [O] \] nên \[\Rightarrow MA =MB\]

Xét \[\Delta MAO\] và \[\Delta MBO\] có

\[ MA =MB \] [ chứng minh trên ]

\[ MO \] chung

\[ OA =OB \] [ bán kính \[ [O] \] ]

Vậy \[\Rightarrow \Delta MAO = \Delta MBO\] [ cạnh – cạnh – cạnh ]

\[\Rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{MOB}\]

\[\Rightarrow \widehat{MOA}=\frac{\widehat{AOB}}{2} \hspace {1cm} [1]\]

Vì \[PQ \parallel BC \Rightarrow \widehat{MEA}=\widehat{BCA}\] [ đồng vị ]

Mà \[\widehat{BCA}=\frac{\widehat{AOB}}{2}\Rightarrow \widehat{MEA}=\frac{\widehat{AOB}}{2} \hspace{1cm} [2]\]

Từ \[[1][2]\Rightarrow \widehat{MEA}=\widehat{MOA}\]

\[\Rightarrow\] tứ giác \[ MOEA \] nội tiếp

\[\Rightarrow \widehat{MEO}=\widehat{MAO}=90^{\circ}\] [ do \[ MA \] là tiếp tuyến ]

\[\Rightarrow EO\] vuông góc với dây cung \[ PQ \]

\[\Rightarrow E\] là trung điểm \[ PQ \]

Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng

Đối xứng trục

Hai điểm \[ A,B \] đối xứng với nhau qua đường thẳng \[ d \] nếu \[ d \] là đường trung trực của \[ AB \] . Khi đó \[AB \bot d\] và \[ d \] đi qua trung điểm của \[ AB \]

Đối xứng tâm

Hai điểm \[ A,B \] đối xứng với nhau qua điểm \[ O \] nếu như \[ O \] là trung điểm của \[ AB \]

Bài viết trên đây của bachgiamedia.com.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về chuyên đề CM trung điểm cũng như cách chứng minh trung điểm phù hợp với từng đối tượng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề chứng minh trung điểm. Chúc bạn luôn học tốt!