Các đường cong lãng mãn trong toán học

Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật[1], hoặc hình vuông [được gọi là ma trận vuông - số dòng bằng số cột] – các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột[2][3] – mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng giá trị trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột.

Đối với các định nghĩa khác, xem Ma trận.

Khi các ma trận có cùng kích thước [chúng có cùng số hàng và cùng số cột] thì có thể thực hiện phép cộng hoặc trừ hai ma trận trên các phần tử tương ứng của chúng. Tuy vậy, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ứng dụng chính của ma trận đó là phép biểu diễn các biến đổi tuyến tính, tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến tính như f[x] = 4x. Ví dụ, phép quay các vectơ trong không gian ba chiều là một phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một ma trận quay R: nếu v là vectơ cột [ma trận chỉ có một cột] miêu tả vị trí của một điểm trong không gian, tích của Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận biến đổi là một ma trận biểu diễn hợp của hai phép biến đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác không. Quan niệm hình học của một phép biến đổi tuyến tính là nhận được [cùng với những thông tin khác] từ trị riêng và vec tơ riêng của ma trận.

Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong mỗi nhánh của vật lý học, bao gồm cơ học cổ điển, quang học, điện từ học, cơ học lượng tử, và điện động lực học lượng tử, chúng được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động của vật rắn. Trong đồ họa máy tính, ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều. Trong lý thuyết xác suất và thống kê, các ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để miêu tả tập hợp các xác suất; ví dụ, chúng dùng trong thuật toán PageRank để xếp hạng các trang trong lệnh tìm kiếm của Google.[4] Phép tính ma trận tổng quát hóa các khái niệm trong giải tích như đạo hàm và hàm mũ đối với số chiều lớn hơn.

Một nhánh chính của giải tích số dành để phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, một chủ đề đã hàng trăm năm tuổi và là một lĩnh vực nghiên cứu rộng ngày nay. Phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các ma trận đặc biệt, như ma trận thưa [sparse] và ma trận gần chéo, giúp giải quyết những tính toán trong phương pháp phần tử hữu hạn và những tính toán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong cơ học thiên thể và lý thuyết nguyên tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn các toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

Ma trận là một mảng chữ nhật hoặc hình vuông [ma trận vuông] chứa các số hoặc những đối tượng toán học khác, mà có thể định nghĩa một số phép toán như cộng hoặc nhân trên các ma trận.[5] Hay gặp nhất đó là ma trận trên một trường F là một mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô hướng của F.[6][7] Bài viết này đề cập đến các ma trận thực và phức, tức là các ma trận mà các phần tử của nó là những số thực hoặc số phức. Những loại ma trận tổng quát hơn được thảo luận ở bên dưới. Ví dụ, ma trận thực:

Các số, ký hiệu hay biểu thức trong ma trận được gọi là các phần tử của nó. Các đường theo phương ngang hoặc phương dọc chứa các phần tử trong ma trận được gọi tương ứng là hàng và cột.

Độ lớn

Độ lớn hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột. Một ma trận m hàng và n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m và n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng, ma trận chỉ có một cột gọi là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột [hoặc cả hai] được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Ma trận có một lịch sử dài về ứng dụng trong giải các phương trình tuyến tính nhưng chúng được biết đến là các mảng cho tới tận những năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN đưa ra phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến tính,[8] bao gồm khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học người Ý Girolamo Cardano giới thiệu phương pháp giải này vào châu Âu khi ông công bố quyển Ars Magna.[9] Nhà toán học Nhật Bản Seki đã sử dụng phương pháp mảng này để giải hệ phương trình vào năm 1683.[10] Nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần đầu tiên biểu diễn các biến đổi dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves [1659].[11] Giữa các năm 1700 và 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz công bố phương pháp sử dụng các mảng để ghi lại thông tin hay tìm nghiệm và nghiên cứu trên 50 loại ma trận khác nhau.[9] Cramer đưa ra quy tắc của ông vào năm 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh "matrix" [tiếng Latin là "womb", dẫn xuất từ mater—mẹ[12]] do James Joseph Sylvester nêu ra vào năm 1850,[13] khi ông nhận ra rằng ma trận là một đối tượng làm xuất hiện một số định thức mà ngày nay gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ hơn thu được từ ma trận ban đầu bằng cách xóa đi các hàng và các cột. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Arthur Cayley đăng một chuyên luận về các phép biến đổi hình học sử dụng ma trận ngoài những phép biến đổi quay đã được khảo sát trước đó. Thay vào đó, ông định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia những ma trận này và chứng tỏ các quy tắc kết hợp và phân phối vẫn được thỏa mãn. Cayley đã nghiên cứu và minh chứng tính chất không giao hoán của phép nhân ma trận cũng như tính giao hoán của phép cộng ma trận.[9] Lý thuyết ma trận sơ khai bị giới hạn ở cách sử dụng các mảng và tính định thức và các phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã làm nên cuộc cách mạng cho lý thuyết này. Ông áp dụng khái niệm ma trận cho hệ phương trình tuyến tính độc lập. Năm 1858 Cayley công bố Hồi ký về lý thuyết ma trận[15][16] trong đó ông nêu ra và chứng minh định lý Cayley-Hamilton.[9]

Nhà toán học người Anh Cullis là người đầu tiên sử dụng ký hiệu ngoặc hiện đại cho ma trận vào năm 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng A = [ai,j] để biểu diễn một ma trận với ai,j là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j.[9]

Quá trình nghiên cứu định thức xuất phát từ một số nguồn khác nhau.[17] Các bài toán số học dẫn Gauss đi tới liên hệ các hệ số của dạng toàn phương, những đa thức có dạng x2 + xy − 2y2, và ánh xạ tuyến tính trong không gian ba chiều với ma trận. Eisenstein đã phát triển xa hơn các khái niệm này, với nhận xét theo cách phát biểu hiện đại rằng tích ma trận là không giao hoán. Cauchy là người đầu tiên chứng minh những mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông sử dụng định nghĩa như sau về định thức của ma trận A = [ai,j]: thay thế lũy thừa ajk bằng ajk trong đa thức

1. ^ hoặc tương đương là bảng
2. ^ Anton [1987, tr. 23]
3. ^ Beauregard & Fraleigh [1973, tr. 56]
4. ^ K. Bryan and T. Leise. The $25,000,000,000 eigenvector: The linear algebra behind Google. SIAM Review, 48[3]:569–581, 2006.
5. ^ Lang 2002
6. ^ Fraleigh [1976, tr. 209]
7. ^ Nering [1970, tr. 37]
8. ^ Shen, Crossley & Lun 1999 cited by Bretscher [[#CITEREFBretscher|]], p. 1, 2005
9. ^ a b c d e Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, ngày 10 tháng 10 năm 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564-565
10. ^ Needham, Joseph; Wang Ling [1959]. Science and Civilisation in China. III. Cambridge: Cambridge University Press. tr. 117. ISBN 9780521058018.
11. ^ Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, ngày 10 tháng 10 năm 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564
12. ^ Merriam–Webster dictionary, Merriam–Webster, truy cập ngày 20 tháng 4 năm 2009
13. ^ Mặc dù nhiều nguồn cho rằng J. J. Sylvester đưa ra thuật ngữ "matrix" vào năm 1848, nhưng Sylvester không công bố tài liệu nào vào năm 1848. [Về dẫn chứng cho Sylvester không công bố gì vào năm 1848, xem: J. J. Sylvester và H. F. Baker, ed., The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1904], vol. 1.] Năm đầu tiên mà ông sử dụng "matrix" xuất hiện vào năm 1850: J. J. Sylvester [1850] "Additions to the articles in the September number of this journal, "On a new class of theorems," and on Pascal's theorem," The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 37: 363-370. From page 369: "For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants … "
14. ^ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, Paper 37, p. 247
15. ^ Phil.Trans. 1858, vol.148, pp.17-37 Math. Papers II 475-496
16. ^ Dieudonné, ed. 1978, Vol. 1, Ch. III, p. 96
17. ^ Knobloch 1994
18. ^ Hawkins 1975
19. ^ Kronecker 1897
20. ^ Weierstrass 1915, pp. 271–286
21. ^ Bôcher 2004
22. ^ Mehra & Rechenberg 1987
23. ^ Tarski, Alfred; [1946] Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc, New York NY, ISBN 0-486-28462-X.
24. ^ Oualline 2003, Ch. 5
25. ^ “How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito”. TED ED. Truy cập ngày 3 tháng 5 năm 2015.
26. ^ Brown 1991, Definition I.2.1 [addition], Definition I.2.4 [scalar multiplication], and Definition I.2.33 [transpose]
27. ^ a b Brown 1991, Theorem I.2.6
28. ^ Brown 1991, Definition I.2.20
29. ^ Brown 1991, Theorem I.2.24
30. ^ Horn & Johnson 1985, Ch. 4 and 5
31. ^ Bronson [1970, tr. 16]
32. ^ Kreyszig [1972, tr. 220]
33. ^ a b Protter & Morrey [1970, tr. 869]Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFProtterMorrey1970 [trợ giúp]
34. ^ Kreyszig [1972, tr. 241,244]
35. ^ Schneider, Hans; Barker, George Phillip [2012], Matrices and Linear Algebra, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Corporation, tr. 251, ISBN 9780486139302.
36. ^ Perlis, Sam [1991], Theory of Matrices, Dover books on advanced mathematics, Courier Dover Corporation, tr. 103, ISBN 9780486668109.
37. ^ Anton, Howard [414], Elementary Linear Algebra [ấn bản 10], John Wiley & Sons, ISBN 9780470458211.
38. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. [2012], Matrix Analysis [ấn bản 2], Cambridge University Press, tr. 17, ISBN 9780521839402.
39. ^ Brown 1991, I.2.21 and 22
40. ^ Greub 1975, Section III.2
41. ^ Brown 1991, Definition II.3.3
42. ^ Greub 1975, Section III.1
43. ^ Brown 1991, Theorem II.3.22
44. ^ Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.6
45. ^ Brown 1991, Definition I.2.28
46. ^ Brown 1991, Definition I.5.13
47. ^ Horn & Johnson 1985, Chapter 7
48. ^ Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1
49. ^ Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169
50. ^ Brown 1991, Definition III.2.1
51. ^ Brown 1991, Theorem III.2.12
52. ^ Brown 1991, Corollary III.2.16
53. ^ Mirsky 1990, Theorem 1.4.1
54. ^ Brown 1991, Theorem III.3.18
55. ^ Brown 1991, Definition III.4.1
56. ^ Brown 1991, Definition III.4.9
57. ^ Brown 1991, Corollary III.4.10
58. ^ Householder 1975, Ch. 7
59. ^ Bau III & Trefethen 1997
60. ^ Golub & Van Loan 1996, Algorithm 1.3.1
61. ^ Golub & Van Loan 1996, Chapters 9 and 10, esp. section 10.2
62. ^ Golub & Van Loan 1996, Chapter 2.3
63. ^ Grcar, Joseph F. [ngày 1 tháng 1 năm 2011]. “John von Neumann's Analysis of Gaussian Elimination and the Origins of Modern Numerical Analysis”. SIAM Review. 53 [4]: 607–682. doi:10.1137/080734716. ISSN 0036-1445.
64. ^ For example, Mathematica, see Wolfram 2003, Ch. 3.7
65. ^ Press, Flannery & Teukolsky 1992
66. ^ Stoer & Bulirsch 2002, Section 4.1
67. ^ Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.4
68. ^ Horn & Johnson 1985, Ch. 3.1, 3.2
69. ^ Arnold & Cooke 1992, Sections 14.5, 7, 8
70. ^ Bronson 1989, Ch. 15
71. ^ Coburn 1955, Ch. V
72. ^ Lang 2002, Chapter XIII
73. ^ Lang 2002, XVII.1, p. 643
74. ^ Lang 2002, Proposition XIII.4.16
75. ^ Reichl 2004, Section L.2
76. ^ Greub 1975, Section III.3
77. ^ Greub 1975, Section III.3.13
78. ^ Xem các giáo trình cơ sở về lý thuyết nhóm.
79. ^ Baker 2003, Def. 1.30
80. ^ Baker 2003, Theorem 1.2
81. ^ Artin 1991, Chapter 4.5
82. ^ Rowen 2008, Example 19.2, p. 198
83. ^ Xem các giáo trình về lý thuyết biểu diễn hoặc biểu diễn nhóm.
84. ^ Xem phần "Ma trận" trong Itõ, ed. 1987
85. ^ "Không có nhiều lý thuyết ma trận chuyển sang không gian vô hạn chiều và những gì không hữu ích, nhưng đôi khi lại hữu ích." Halmos 1982, p. 23, Chapter 5
86. ^ "Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero", Glossary Lưu trữ 2009-04-29 tại Wayback Machine, O-Matrix v6 User Guide
87. ^ "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", MATLAB Data Structures Lưu trữ 2009-12-28 tại Wayback Machine
88. ^ Fudenberg & Tirole 1983, Section 1.1.1
89. ^ Manning 1999, Section 15.3.4
90. ^ Ward 1997, Ch. 2.8
91. ^ Stinson 2005, Ch. 1.1.5 and 1.2.4
92. ^ Association for Computing Machinery 1979, Ch. 7
93. ^ Godsil & Royle 2004, Ch. 8.1
94. ^ Punnen 2002
95. ^ Lang 1987a, Ch. XVI.6
96. ^ Nocedal 2006, Ch. 16
97. ^ Lang 1987a, Ch. XVI.1
98. ^ Lang 1987a, Ch. XVI.5. Xem bài viết chi tiết, và những phát biểu tổng quát xem Lang 1969, Ch. VI.2
99. ^ Gilbarg & Trudinger 2001
100. ^ Šolin 2005, Ch. 2.5.
101. ^ Latouche & Ramaswami 1999
102. ^ Mehata & Srinivasan 1978, Ch. 2.8
103. ^ Healy, Michael [1986], Matrices for Statistics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850702-4
104. ^ Krzanowski 1988, Ch. 2.2., p. 60
105. ^ Krzanowski 1988, Ch. 4.1
106. ^ Conrey 2007
107. ^ Zabrodin, Brezin & Kazakov và đồng nghiệp. 2006
108. ^ Itzykson & Zuber 1980, Ch. 2
109. ^ see Burgess & Moore 2007, section 1.6.3. [SU[3]], section 2.4.3.2. [Kobayashi–Maskawa matrix]
110. ^ Schiff 1968, Ch. 6
111. ^ Bohm 2001, sections II.4 and II.8
112. ^ Weinberg 1995, Ch. 3
113. ^ Wherrett 1987, part II
114. ^ Riley, Hobson & Bence 1997, 7.17
115. ^ Guenther 1990, Ch. 5

1. ^ Eigen có nghĩa là "riêng" trong tiếng Đức và tiếng Hà Lan.
2. ^ Ngoài ra, nhóm đòi hỏi tập hợp và phép toán phải đóng đối với nhóm tuyến tính tổng quát.

• Anton, Howard [1987], Elementary Linear Algebra [ấn bản 5], New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-84819-0
• Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger [1992], Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-54813-3
• Artin, Michael [1991], Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
• Association for Computing Machinery [1979], Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-059376-3
• Baker, Andrew J. [2003], Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. [1997], Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. [1973], A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Bretscher, Otto [2005], Linear Algebra with Applications [ấn bản 3], Prentice Hall
• Bronson, Richard [1970], Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Bronson, Richard [1989], Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-007978-6
• Brown, William C. [1991], Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Coburn, Nathaniel [1955], Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, OCLC 1029828
• Conrey, J. Brian [2007], Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69964-8
• Fraleigh, John B. [1976], A First Course In Abstract Algebra [ấn bản 2], Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Fudenberg, Drew; Tirole, Jean [1983], Game Theory, MIT Press
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. [2001], Elliptic partial differential equations of second order [ấn bản 2], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4
• Godsil, Chris; Royle, Gordon [2004], Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. [1996], Matrix Computations [ấn bản 3], Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Greub, Werner Hildbert [1975], Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7
• Halmos, Paul Richard [1982], A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 [ấn bản 2], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0, MR 0675952
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. [1985], Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Householder, Alston S. [1975], The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications, MR 0378371
• Kreyszig, Erwin [1972], Advanced Engineering Mathematics [ấn bản 3], New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50728-8.
• Krzanowski, Wojtek J. [1988], Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9, MR 0969370
• Itõ, Kiyosi biên tập [1987], Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV [ấn bản 2], MIT Press, ISBN 978-0-262-09026-1, MR 0901762
• Lang, Serge [1969], Analysis II, Addison-Wesley
• Lang, Serge [1987a], Calculus of several variables [ấn bản 3], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8
• Lang, Serge [1987b], Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
• * Lang, Serge [2002], Algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
• Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan [1999], Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling [ấn bản 1], Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8
• Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich [1999], Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9
• Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. [1978], Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-096612-3
• Mirsky, Leonid [1990], An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
• Nering, Evar D. [1970], Linear Algebra and Matrix Theory [ấn bản 2], New York: John Wiley & Sons, LCCN 76-91646
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. [2006], Numerical Optimization [ấn bản 2], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, tr. 449, ISBN 978-0-387-30303-1
• Oualline, Steve [2003], Practical C++ programming, O'Reilly Media, ISBN 978-0-596-00419-4
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. [1992], “LU Decomposition and Its Applications”, Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing [PDF] [ấn bản 2], Cambridge University Press, tr. 34–42
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. [1970], College Calculus with Analytic Geometry [ấn bản 2], Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042
• Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory [2002], The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7
• Reichl, Linda E. [2004], The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0
• Rowen, Louis Halle [2008], Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4153-2
• Šolin, Pavel [2005], Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-76409-0
• Stinson, Douglas R. [2005], Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-508-5
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland [2002], Introduction to Numerical Analysis [ấn bản 3], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3
• Ward, J. P. [1997], Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-4513-8, MR 1458894
• Wolfram, Stephen [2003], The Mathematica Book [ấn bản 5], Champaign, IL: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6

• Bohm, Arno [2001], Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2
• Burgess, Cliff; Moore, Guy [2007], The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9
• Guenther, Robert D. [1990], Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7
• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard [1980], Quantum Field Theory, McGraw–Hill, ISBN 0-07-032071-3
• Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. [1997], Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X
• Schiff, Leonard I. [1968], Quantum Mechanics [ấn bản 3], McGraw–Hill
• Weinberg, Steven [1995], The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
• Wherrett, Brian S. [1987], Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3
• Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul [2006], Applications of Random Matrices in Physics [NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1

• A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
• Bôcher, Maxime [2004], Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49570-5, reprint of the 1907 original edition
• Cayley, Arthur [1889], The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I [1841–1853], Cambridge University Press, tr. 123–126
• Dieudonné, Jean biên tập [1978], Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann
• Hawkins, Thomas [1975], “Cauchy and the spectral theory of matrices”, Historia Mathematica, 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860[75]90032-4, ISSN 0315-0860, MR 0469635
• Knobloch, Eberhard [1994], “From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations”, The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies, 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, tr. 51–66, MR 1308079
• Kronecker, Leopold [1897], Hensel, Kurt [biên tập], Leopold Kronecker's Werke, Teubner
• Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut [1987], The Historical Development of Quantum Theory [ấn bản 1], Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96284-9
• Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung [1999], Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary [ấn bản 2], Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853936-0
• Weierstrass, Karl [1915], Collected works, 3

• Matrix [mathematics] tại Encyclopædia Britannica [tiếng Anh]
• Hazewinkel, Michiel biên tập [2001], “Matrix”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., "Matrix" từ MathWorld.

• MacTutor: Matrices and determinants Lưu trữ 2015-03-08 tại Wayback Machine
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors

• Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, ISBN 978-0-615-25126-4
• The Matrix Cookbook [PDF], truy cập ngày 24 tháng 3 năm 2014
• Brookes, Mike [2005], The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008

• SimplyMath [Matrix Calculator]
• Matrix Calculator [DotNumerics]
• Xiao, Gang, Matrix calculator, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008
• Online matrix calculator, Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 12 năm 2008, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008
• Online matrix calculator [ZK framework], Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 5 năm 2013, truy cập ngày 26 tháng 11 năm 2009
• Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008, a freeware package for matrix algebra and statistics
• Online matrix calculator, truy cập ngày 14 tháng 12 năm 2009
• Operation with matrices in R [determinant, track, inverse, adjoint, transpose]