Sử dụng tính chất chia hết. \[M = \left[ {9a + 11b} \right]\left[ {5b + 11a} \right] \vdots 19\,\,\,\,\,\left[ {a,b \in {N^*}} \right]\] thì nó cũng chia hết cho \[361\] ta cần chỉ ra, một trong hai số chia hết cho \[19\] thì số còn lại cũng chia hết cho \[19.\]
Lưu ý: \[361 = 19 \times 19.\]
Xét: \[m\left[ {9a + 11b} \right] + n\left[ {5b + 11a} \right] \vdots 19\] với \[m,\, n\] nguyên tố cùng nhau.
Lời giải chi tiết:
Ta có: với \[a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 9a + 11b\] và \[5b + 11a\] cùng là các số tự nhiên khác \[0.\]
Khi đó \[M = \left[ {9a + 11b} \right]\left[ {5b + 11a} \right]\,\, \vdots \,\,19\] thì \[\left[ \begin{array}{l}9a + 11b\,\, \vdots \,\,19\\5b + 11a\,\, \vdots \,\,19\end{array} \right..\]
TH1: Xét \[9a + 11b\,\, \vdots \,\,19\]
\[ \Rightarrow \] Để chứng minh \[M\,\, \vdots \,\,361,\] ta cần chứng minh \[5b + 11a\,\, \vdots \,\,19.\]
Ta có: \[38\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 38\left[ {a + b} \right]\,\, \vdots \,\,19\]
\[\begin{array}{l}38\left[ {a + b} \right] = 38a + 38b = 11a + 27a + 5b + 33b\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {27a + 33b} \right] + 11a + 5b = 3\left[ {9a + 11b} \right] + \left[ {11a + 5b} \right].\end{array}\]
Vì \[9a + 11b\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 3\left[ {9a + 11b} \right]\,\, \vdots \,\,19\] và \[38\left[ {a + b} \right]\,\,\, \vdots \,\,19\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 11a + 5b\,\, \vdots \,\,19.\\ \Rightarrow M = \left[ {9a + 11b} \right]\left[ {5b + 11a} \right]\,\, \vdots \,\,361.\end{array}\]
TH2: Xét \[5b + 11a\,\, \vdots \,\,19\]
\[ \Rightarrow \] Để chứng minh \[M\,\, \vdots \,\,361,\] ta cần chứng minh \[9a + 11b\,\, \vdots \,\,19.\]
Ta có: \[38\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 38\left[ {a + b} \right]\,\, \vdots \,\,19\]
\[\begin{array}{l}38\left[ {a + b} \right] = 38a + 38b = 11a + 27a + 5b + 33b\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {27a + 33b} \right] + 11a + 5b = 3\left[ {9a + 11b} \right] + \left[ {11a + 5b} \right].\end{array}\]
Vì \[38\left[ {a + b} \right]\,\, \vdots \,\,19\] và \[11a + 5b\,\,\, \vdots \,\,19\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 3\left[ {9a + 11b} \right]\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 9a + 11b\,\, \vdots \,\,19.\\ \Rightarrow M = \left[ {9a + 11b} \right]\left[ {5b + 11a} \right]\,\, \vdots \,\,361.\end{array}\]
Vậy khi \[M = \left[ {9a + 11b} \right]\left[ {5b + 11a} \right]\,\, \vdots \,\,19\] thì \[M\,\, \vdots \,\,361.\]
Công ty TNHH Dịch vụ Giáo dục và Công Nghệ Việt Nam - MST 01068170636
TSC: Số 10D, Ngõ 325/69/14, phố Kim Ngưu, phường Thanh Lương, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội
VP: Số 23 ngõ 26 Nguyên hồng, Láng Hạ, Đống Đa, HN
SĐT: 0932.39.39.56
Phản hồi qua: hotro@vinastudy.vn
$a \,\, \vdots \,\, m, \,\, b \,\, \vdots \,\, m \, \text{và} \, c \,\, \vdots \,\, m \Rightarrow [a + b + c] \,\, \vdots \,\, m$
Ví dụ:
Không thực hiện phép tính, xét xem biểu thức sau có chia hết cho 3 không
Ta có, vì $240 \,\, \vdots \,\, 3, \,\, 18 \,\, \vdots \,\, 3, \,\, 120 \,\, \vdots \,\, 3$
Nên $[240 + 18 + 120 ] \,\, \vdots \,\, 3$
2.2 Tính chất 2
- Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
$a \,\, \not \vdots \,\, m, \,\, b \,\, \vdots \,\, m \, \text{và} \, c \,\, \vdots \,\, m \Rightarrow [a + b + c] \,\, \not \vdots \,\, m$
Ví dụ:
Không thực hiện phép tính, xét xem biểu thức sau có chia hết cho 5 không
165 + 40 + 37
Ta có, vì $165 \,\, \vdots \,\, 5, \,\, 40 \,\, \vdots \,\, 5, \,\, 37 \,\, \not \vdots \,\, 5, \,\, $
Nên $[165 + 40 + 37] \,\, \not \vdots \,\, 5$
2.3 Lưu ý
- Tính chất 1 và tính chất 2 cũng đúng với trường hợp có hai hay nhiều số hạng
- Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu [$a \geq b$]
$a \,\, \vdots \,\, m \, \text{và} \,\, b \,\, \vdots \,\, m \Rightarrow [a - b] \,\, \vdots \,\, m$
Ví dụ:
Ta có: $[246 - 126] \, \vdots \, 3$ vì $246 \,\, \vdots \,\, 3 \, \text{và} \,\, 120 \,\, \vdots \,\, 3$
- Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu [a > b]
$a \,\, \vdots \,\, m \,\, \text{và} \, b \,\, \not \vdots \,\, m \Rightarrow [a - b ] \,\, \not \vdots \,\, m$