Bồi dưỡng Toán 9, Hình học 9 - Tags: bài tập nâng cao
Bài tập Toán nâng cao lớp 9
Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9 bao gồm các bài tập Toán lớp 9 nâng cao có đáp án. Đây là tài liệu hữu ích dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9, ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Mời thầy cô và các bạn cùng tham khảo.
- Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9
- Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.
Câu 2.
a] Chứng minh: [ac + bd]2 + [ad – bc]2 = [a2 + b2][c2 + d2]
b] Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: [ac + bd]2 ≤ [a2 + b2][c2 + d2]
Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.
Câu 4.
a] Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:
b] Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
c] Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab[a + b + c]
Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|
Câu 9.
a] Chứng minh bất đẳng thức [a + 1]2 ≥ 4a
b] Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: [a + 1][b + 1][c + 1] ≥ 8
Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:
a] [a + b]2 ≤ 2[a2 + b2]
b] [a + b + c]2 ≤ 3[a2 + b2 + c2]
Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:
a] |2x – 3| = |1 – x|
b] x2 – 4x ≤ 5
c] 2x[2x – 1] ≤ 2x – 1.
Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a[b + c + d]
Câu 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3[x + y] + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 17. So sánh các số thực sau [không dùng máy tính]:
Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3
Câu 19. Giải phương trình:
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
Câu 21. Cho
Hãy so sánh S và
Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.
Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:
Câu 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:
Câu 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?
Câu 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:
Câu 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng:
Câu 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:
a] [a + b]2 ≤ 2[a2 + b2]
b] [a + b + c]2 ≤ 3[a2 + b2 + c2]
c] [a1 + a2 + ….. + an]2 ≤ n[a12 + a22 + ….. + an2].
Câu 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
Câu 31. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].
Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Câu 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.
Câu 35. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz[x + y][y + z][z + x] với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.
Câu 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:
a] ab và a/b là số vô tỉ.
b] a + b và a/b là số hữu tỉ [a + b ≠ 0]
c] a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ [a + b ≠ 0]
Câu 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab[a + b + c]
Câu 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:
Câu 39. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1
Câu 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
Câu 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
Câu 42.
a] Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B |. Dấu “ = ” xảy ra khi nào?
b] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
c] Giải phương trình:
Câu 43. Giải phương trình:
Câu 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Để học tốt Toán lớp 9, phần dưới là chuyên đề tổng hợp Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm [có đáp án] Toán lớp 9 Chương 1: Căn bậc hai, Căn bậc ba. Bạn vào tên dạng để xem các chuyên đề Đại số 9 tương ứng.
- Lý thuyết Bài 1: Căn bậc hai [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 1: Căn bậc hai
- Lý thuyết Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
- Lý thuyết Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
- Lý thuyết Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
- Lý thuyết Bài 5: Bảng căn bậc hai [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 5: Bảng căn bậc hai
- Lý thuyết Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Lý thuyết Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai [tiếp theo] [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai [tiếp theo]
- Lý thuyết Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Lý thuyết Bài 9: Căn bậc ba [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 9: Căn bậc ba
- Tổng hợp Lý thuyết Chương 1 Đại Số 9 [hay, chi tiết]
- Tổng hợp Trắc nghiệm Chương 1 Đại Số 9
Cách So sánh căn bậc hai số học
Dựa vào tính chất: Nếu a, b ≥ 0 thì a < b ⇔ √a < √b
Ví dụ 1:So sánh các số sau:
a] 9 và √80
b] √15 - 1 và √10
Hướng dẫn:
a] Ta có: 9 = √81. Vì √81 > √80 nên 9 > √80
b] Ta có: √15 - 1 < √16 - 1 = 3
√10 > √9 = 3
Vậy √15-1 < √10
Ví dụ 2:So sánh các số sau
a]
b] √10 + √5 + 1 và √35
c]
Hướng dẫn:
a] [3√2]2 = 32.[√2]2 = 9.2 = 18
[2√3]2 = 22.[√3]2 = 4.3 = 12
⇒ [3√2]2 > [2√3]2 ⇒ 3√2 > 2√3
b] Ta có: √10 + √5 + 1 > √9 + √4 + 1 = 6
mà √35 < √36 = 6
⇒ √10 + √5 + 1 > √35
c] Ta có:
mà √3 < √4 = 2
Tìm điều kiện để căn A có nghĩa
√A có nghĩa ⇔ A ≥ 0
Ví dụ 1: Tìm x để căn thức
Hướng dẫn:
có nghĩa ⇔ 5 - 2x ≥ 0 ⇔ -2x ⇔ -5
Ví dụ 2: Tìm x để căn thức
Hướng dẫn:
có nghĩa
⇔ [x - 2]2 > 0 ⇔ x ≠ 2.
Cách Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Vận dụng hằng đẳng thức:
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a]
b]
c]
Hướng dẫn:
a]
Nếu x ≥ 1/2 thì A = x - 1/2
Nếu x < 1/2 thì A = 1/2 - x
b]
Nếu x ≥ 1 thì B = 3x - [x - 1] = 2x + 1
Nếu x < 1 thì B = 3x + [x - 1] = 4x - 1.
c]
= √2 - 1| - |2 - √2| = √2 - 1 - [2 - √2] = 2√2 - 3.
Ví dụ 2: Tìm x, biết:
Hướng dẫn:
⇔ |x - 2| + 3x = 10 [1]
Nếu x ≥ 2 thì |x - 2| = x - 2. Khi đó, phương trình [1] trở thành:
x - 2 + 3x = 10 ⇔ 4x = 12 ⇔ x = 3 [thuộc khoảng đang xét]
Nếu x < 2 thì |x - 2| = 2 - x. Khi đó, phương trình [1] trở thành:
2 - x + 3x = 10 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 [không thuộc khoảng đang xét]
Vậy giá trị x thỏa mãn là x = 3.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.