Bài toán 4: Tính nhanh 1. 2 1001 6. 2 2 37 2.37 13 2. 29,9,1 7. 51,7 2,7,7 31,7 2 3. 2 201 8. 20,1, 4. 37 9. 31,8 2 2,8,8 21,8 2 5. 2 199 10. 2 2 33,3 2,3,3 3, Bài toán 5: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
####### 1.
2 x 10 x x 80 với x 0,98 5. 2 9x 42x 49 với x 1
####### 2.
2 2x 9 x 4x 31 với x 16,2 6. 25x 2 2xy 1 y 2 25 với 1 x , 5 y 5 3. 2
4x 28x 49 với x 4 7.
2 27 x 3 x 3x 9 với x 3 4. 3 2 x 9x 27x 27 với x 5 8. 3 2 x 3x 3x 1 với x 99 Bài toán 6: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu hai bình phương 1. 2 2 x 10x 26 y 2y 6. 2 2 4x 2z 4zx 2z 1 2. 2 2
####### z 6z 13 t 4t 7. x y 4 x y 4
- 2 2
####### x 2xy 2y 2y 1 8. x y 6 x y 6
- 2 2
####### 4x 2z 4xz 2z 1 9. y 2z 3 y 2z 3
- 2 2
####### 4x 12x y 2y 8 10. x 2y 3z 2y 3z x
Bài toán 7: Tìm x, biết: 1. 2
####### 25x 9 0 6.
2 3 x 1 3x x 5 1
####### 2.
2
####### x 3 4 0 7.
2 2 6x 2 5x 2 4 3x 1 5x 2 0 3. 2
####### x 2x 24 8.
3 x 2 x x 6 4
####### 4.
2
x 4 x 1 x 1 16 9.
2 x 1 x x 1 x x 2 x 2 5
Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1. 2 x 5x 7 2. 2 x 20x 101 3. 2 4a 4a 2 4. 2 2 x 4xy 5y 10x 22y 28 5. 2 x 3x 7 Bài toán 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1. 2 6x x 5 2. 2 4x x 3 3. 2 x x 4. 2 11 10x x
5. x 4 2 x 4 Bài toán 10: Cho x y 5. Tính giá trị của các biểu thức a] 2 2 P 3x 2x 3y 2y 6xy 100
####### b]
3 3 2 2 Q x y 2x 2y 3xy x y 4xy 3 x y 10 Bài toán 11: a] Cho x y 3 và 2 2 x y 5ính 3 3 x y. b] Cho x y 5 và 2 2 x y 15ính 3 3 x y. Bài toán 12: Cho x y 7ính giá trị của các biểu thức:
####### a]
3 3 2 2 M x 3xy x y y x 2xy y
####### b]
2 2 N x x 1 y y 1 xy 3xy x y 1 95
####### 5.
2 2
2x 1 x 3 5 x 7 x 7 0 10.
3 2 x 1 x 3 x 3x 9 3 x 4 2
2 2 2 a]M 4x x 3 b]N x - x c]P 2x 2x - 5 Bài 21 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng 2 2 2 2 1 . ; 2 1 2 . 2 3 ; 0, a x x b x y xy ; 2 2 2 2 1 . ; 2 1 ; 2 . 2 3 ; 0, c x x d x y xy . 1 1 ; . 2 2 ; 56. e x x f x y x y .. ; .. g x y z x y z h x y z x y z Bài 22 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
2 2 2 2 2 2 . . 1 2 3 a m n b x x x x 2 2 . 16 3 .64 16 c x d y y Bài 23 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng 2 2 . 5 2 . 3 2 a x y b x 2 2 2 1 . 3 3 5 . 2 2 c x y d x y 2 2 2 2 4 . 3 5 . 2 3 e x y f x y Bài 24 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng 3 3 3 3 1 . ; 2 1 ; 2 . 2 3 ; 0, a x x b x y xy 3 3 3 3 1 . ; 2 1 ; 2 . 2 3 ; 0, c x x d x y xy
2 2 2 . 1 1 ; . 2 2 4 e x x x f x y x xy y 2 2 2 . ; ; . g x y z x y z h x y z Bài 25 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng
2 2 2 2 2 2 . 3 ; 2 10 ; . a xy m n b a b a b
2 2 2 2 . 2 3 2 3 ; . 2 3 2 3 c a a a a d a a a a
2 2 2 2 . 2 3 2 3 ; . 2 3 2 3 e a a a a f a a a a
2 2 2 2 . 2 3 2 3 ; . 2 2 g a a a a h a a a a Bài 26 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích 2 2 3 .1, 24 0, 24 1 . 8 8 a b x 2 2
- 4 1. 4 c x x d x x Bài 27 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích a. x 4 4 x 2 4;9 a 4 24 a b 2 2 16 b 4 b. 4 a b 2 2 c d 2 2 ; a 3 27;x 16 y 16 c. 3 1 3 125; 64 ; 8 x x d. 3 2 2 3 8 x 60 x y 150 xy 125 y Bài 28: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích a. 2 4 2 4 9 30 25; 16 9 x x x x b. 2 2 4 4 12 4 9 5 25 x y x y c. a y 2 2 b x 2 2 2 axby d. 2 2 64 x 8 a b e. 2 100 3 x y g. 3 3 3 27 x a b Bài 29 : Viết biểu thức sau dưới dạng tích a. 3 2 27 x 27 x 3 x 1 b. 3 2 x 3 x 3 x 1 c. 13 27 x d. 0,001 1000 x 3 Bài 30 : Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh a. 25 2 - 15 2 b. 205 5 - 95 2 c. 36 2 - 14 2 d. 950 2 - 850 2 e. 1, 24 2 2, 48, 24 0, 24 2 Bài 31 : viết biểu thức 2 4 n 3 25 thành tích chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức 2 4 n 3 25 chia hết cho 8 Bài 32 : chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức 2 2 n 3 9 chia hết cho 4
C: Bài tập nâng cao cho các hằng đẳng thức I. Bài tập có đáp án kèm theo Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3. Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x
- 1. Lời Giải Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1. A = 2x² – 5x + 3 = 2[y – 1]² – 5[y – 1] + 3 = 2[y² – 2y + 1] – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10 Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau: a] 127² + 146 + 73² b] 9 8 .2 8 – [18 4 – 1][18 4 + 1] c] 100² – 99² + 98² – 97² + ...+ 2² – 1² d] [20² + 18² + 16² +...+ 4² + 2²] – [ 19² + 17² + 15² +...+ 3² + 1²] Lời Giải a] A = 127² + 146 + 73² = 127² + 2.73 + 73² = [127 + 73]² = 200² = 40000. b] B = 9 8 .2 8 – [18 4 – 1][18 4 + 1] = 18 8 – [18 8 – 1] = 1 c] C = 100² – 99² + 98² – 97² + ...+ 2² – 1² = [100 + 99][100 – 99] + [98 + 97][98 – 97] +...+ [2 + 1][2 – 1] = 100 + 99 + 98 + 97 +...+ 2 + 1 = 5050. d] D = [20² + 18² + 16² +...+ 4² + 2²] – [ 19² + 17² + 15² +...+ 3² + 1²] = [20² – 19²] + [18² – 17²] + [16² – 15²]+ ...+ [4² – 3²] + [2² – 1²] = [20 + 19][20 – 19] + [18 + 17][18 – 17] + [ 16 +15][16 – 15]+ ...+ [4 + 3][4 – 3] + [2 + 1][2 – 1] = 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + ...+ 4 + 3 + 2 + 1 = 210 Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn? a] A = [2 + 1][2 2 + 1][2 4 + 1][2 8 + 1][2 16 + 1] và B = 2 32 b] A = 1989 và B = 1990 2 Lời Giải
- Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được: A = [2 – 1][2 + 1][2 2 + 1][2 4 + 1][2 8 + 1][2 16 + 1] Ta áp dụng đẳng thức [ a- b][a + b] = a² – b² nhiều lần, ta được: A = 2 32 – 1. => Vậy A < B. b] Ta đặt 1990 = x => B = x² Vậy A = [x – 1][x + 1] = x² – 1 => B > A là 1. Bài 4. Chứng minh rằng: a] a[a – 6] + 10 > 0. b] [x – 3][x – 5] + 4 > 0. c] a² + a + 1 > 0. Lời Giải a] VT = a² – 6a + 10 = [a – 3]² + 1 ≥ 1 => VT > 0 b] VT = x² – 8x + 19 = [x – 4]² + 3 ≥ 3 => VT > 0 c] a² + a + 1 = a² + 2.½ + ¼ + ¾ = [a + ½ ]² + ¾ ≥ ¾ >0. Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a] A = x² – 4x + 1 b] B = 4x² + 4x + 11 c] C = 3x² – 6x – 1 Lời Giải a] Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = [ x- 2]² – 3 Do [ x- 2]² > 0 nên => [ x- 2]² – 3 ≥ - Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A[Amin] = -3 khi và chỉ khi x = 2. b] B = 4x² + 4x + 11 = [2x + 1]² + 10 Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a] 5 – 8x – x² b] 4x – x² + 1 Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức: a] x² – 10x + 26 với x = 105 b] x² + 0,2x + 0,01 với x = 0, Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy. Đ/S: 9 và 11. Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca. Đ/S: ab + bc + ca = 14.