Sự tồn tại và vận động của các đối tượng, quá trình kinh tế - xã hội là hết sức phức tạp và đa dạng. Người ta có thể sử dụng nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau để nghiên cứu, phân tích lý giải sự tồn tại và vận động này, từ đó tìm cách tác động đến các đối tượng và quá trình kinh tế nhằm mang lại lợi ích ngày càng lớn cho chính bản thân xã hội loài người. Mỗi cách tiếp cận trong những điều kiện cụ thể có những ưu, nhược điểm riêng. Phương pháp mô hình là một trong những phương pháp được xem là hiệu quả nhất trong nghiên cứu kinh tế - xã hội hiện nay. Phương pháp này kết hợp được nhiều ưu điểm của các cách tiếp cận hiện đại, đặc biệt là cách tiếp cận của lý thuyết hệ thống, nhờ vậy mà nó có thể kế thừa được thành quả của nhiều cách tiếp cận khác [các quan điểm kinh tế - xã hội, các tính qui luật của quá trình kinh tế - xã hội,...]. Đây cũng là phương pháp khai thác được những công cụ mạnh của toán học, kỹ thuật tỉnh toán. Nhờ đó mà phương pháp mô hình cho phép giải quyết các bài toán với kích cỡ hầu như không hạn chế với độ phức tạp mong muốn. Trong khuôn khô môn học "Mô hình toán kinh tế dành cho các chuyên ngành kinh tế và quản trị kinh doanh bậc đại học với thời lượng 60 tiết giảng, giáo trình này sẽ trang bị một số kỹ năng cơ bản về mô hình hoa toán kinh tế, ứng dụng phân tích và dự báo kinh tế. Giáo trình này được biên soạn dựa trên cơ sở chương trình và giáo trình "Mô hình toán kinh tế" đã được hội đồng thẩm định giáo trình Trường Đại học Kinh tế Quốc dân thông qua tháng 11/2001. Lần biên soạn này chúng tôi đã tham khảo và rút kinh nghiệm 3 năm thực hiện giáo trình cùng tên của Nhà xuất bản Giáo dục năm 2002, tại các trường đại học trong cả nước. Một số nội dung được sửa chữa và bổ sung thuộc chương II, chương IV và phần bài tập cuối mỗi chương. Do hạn chế về thời lượng giảng dạy, giáo trình này không thể đề cập sâu và chi tiết, cũng như không đề cập đến nhiều nội dung khác thuộc lĩnh vực mô hình Toán kinh tế. Các nội dung này người đọc có thể tìm ở các tài liệu tham khảo chúng tôi đã liệt kê.
Cùng với giáo trình này, chúng tôi tổ chức biên soạn và lựa chọn một số phần mềm phù hợp cho lớp các bài toán tương ứng, do điều kiện xuất bản và bản quyền chúng tôi không cung cấp các phần mềm này kèm theo giáo trình. Người đọc có thể liên hệ với các tác giả hoặc qua trang Web www.neu.edu.vn [mục Khoa toán kinh tê] để nhận được trợ giúp.
Giáo trình gồm 5 chương: Chương I, III do PGS.TS. Hoàng Đình Tuấn biên soạn Chương II do PGS. TS. Nguyễn Quang Dong biên soạn Chương IV, do GV. Ngô Văn Thứ biên soạn GV. Ngô Văn Thứ chịu trách nhiệm sửa đổi và bổ sung trong lần xuất bản này.
Mặc dù giáo trình đã kế thừa nhiều tại liệu, cũng như đã được thử nghiệm trên nhiều đối tượng, ngành học, chúng tôi cho rằng giáo trình vẫn không thể tránh được những hạn chế nhất định. Chúng tôi mong nhận được sự quan tâm của các đồng nghiệp cũng như tất cả các bạn đọc, nhằm tạo điều kiện cho giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn.
Chương I: GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Bài 1: Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa lần lượt là Chứng tỏ luôn tồn tại giá cân bằng nằm trong khoảng [3,5]
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài tập Mô hình toán kinh tế, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN KHOA CƠ BẢN ------ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Mathematical Economic Models Giảng viên: Th.s Nguyễn Trung Đông E-Mail: nguyentrungdong144@yahoo.com Bài tập nhóm: Nhóm 7 _ Buổi sáng thứ 7 Mã lớp học phần : 1311101003401 Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 23/11/2013 DANH SÁCH NHÓM 7 Họ và tên MSSV Lớp 1. Phan Châu Thông 1212150051 12DQH 2. Bùi Thị Kim Loan 1212150029 12DQH 3. Nguyễn Thị Thanh Thương 1212150057 12DQH 4. Võ Thị Ngọc Thu 1212150050 12DQH 5. Nguyễn Thị Kim Ngọc 1212020135 12DMA2 1 Chương I: GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Bài 1: Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa lần lượt là S[P] = 0,1P2 + 5P -10 D[P] = Chứng tỏ luôn tồn tại giá cân bằng nằm trong khoảng [3,5] Giải: Giá cân bằng khi: S[p] = D[p] Đặt f [p] = S[p] - D[p] = 0,1p2 + 5p -10 - f [3] = 0,1.32 + 5.3 -10 - = -44,1 f [5] = 0,1.52 + 5.5 -10 - = 0,83 f [3]. f [5] < 0 ∃ p0 ∈[3,5] sao cho f [p0] = 0 S[p0] = D[p0 ]. Bài 2: Cho hàm doanh thu TR[Q] = 1200Q – Q2; Q ≥ 0 a] Tìm hàm doanh thu cận biên: Hàm doanh thu cận biên: MR[Q] = [TR[Q]]' = -2Q + 1200 2 b] Tại Q0 = 590, khi Q tăng lên 1 đvị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đvị Q0 = 590 MR[Q0 ] = MR[590] = -2.590+1200 = 20 Vậy khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị thì doanh thu tăng thêm 20 đơn vị. c] Tính giá trị doanh thu biên tại Q0 = 610 và giải thích ý nghĩa Q0 = 610 MR[Q0 ] = MR[610] = -2.610 +1200 = -20 Vậy khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị thì doanh thu giảm bớt 20 đơn vị. Bài 3: Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q = 30√ ; L 0 a] Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động MPL = QL' = 30. .L -1/2 = 15L-1/2 b] Tại L0 = 144, nếu L tăng lên 1 đvị, sảnlượng sẽ thay đổi bao nhiêu đvị L0 = 144 MPL[L0 ] = MPL[144] = 15.144 -1/2 = 1,25 Vậy nếu lao động tăng thêm 1 đơn vị thì sản lượng sẽ tăng thêm 1,25 đơn vị. Bài 4: Cho hàm chi tiêu C[Y ] = aY + b; [0 0]; Y 0 a] Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên: MCP[Y ] =C’[Y ] = a b] Ý nghĩa kinh tế của hệ số a là: khi Y tăng thêm 1 đơn vị thì chi tiêu C tăng thêm a đơn vị. Bài 5 : Cho hàm tổng chi phí TC[Q] = 0,1Q2 + 0,3Q + 100, [Q 0] 3 a] Tìm hàm chi phí biên: MC[Q] = TC'[Q] = 0,2Q + 0,3 b] Tính chi phí biên tại mức sản lượng Q0 = 120 và giải thích ý nghĩa Q0 = 120 MC[Q0 ] = MC[120] = 0,2.120 + 0,3 = 24,3 Vậy tại mức Q0 = 120 , khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị thì chi phí tăng 24,3 đơn vị. Bài 6 : Xét hàm cầu của một loại hàng hóa D = D[P] a] Lập công thức tính hệ số co dãn tại cầu tại mức giá P0 D = D'[P0]. [] b] Áp dụng với D[P] = 6P - P2 , tại P0=5 và giải thích ý nghĩa kết quả = 6 − 2 D = D'[P0]. [] = [6 - 2P0]. = Tại P0 = 5 D= −4 Ý nghĩa : Khi P tăng lên 1% thì sản lượng D giảm xuống 4%. Bài 7: Cho hàm sản xuất Q = aLα , [a > 0, 0 < α < 1] Q’ = αaLα-1 a] Hệ số co dãn của sản lượng theo lao động εQ/L = Q’. = αaLα-1. = α b] Áp dụng cho Q = 40L0,4, tại L0 = 20 Q = 40L0,4, tại L0 = 20 ứng với α = 0,4 4 Dựa vào công thức từ câu a => Hệ số co dãn của sản lượng theo lao động tại L0 = 20 : εQ/L = 0,4 Bài 8: Cho hàm sản xuất Q = 120L2 – L3, L > 0 Xác định mức sử dụng lao động để sản lượng tối đa Q’ = 240L – 3L2 Q’= 0 → [ạ] Q" = -6L + 240 → Q"[80] = -6.80 + 240 = -240 < 0 => Mức sử dụng lao động để tối đa sản lượng là: L = 80 Bài 9 : Cho hàm sản xuất Q = 30 ; L >0 Tại mức sử dụng lao động bất kì, nếu lao động tăng 10% thì sản lượng thay đổi bao nhiêu % εQ/L = [30 ]’. = Kết luận: Tại mức sử dụng lao động bất kì, nếu lao động tăng 10% thì sản lượng tăng 20/3 %. Bài 10 : Cho hàm sản xuất biên của lao động MPL = 40L0,5 . Tìm hàm sản xuất ngắn hạn Q = f[L] biết Q[100] = 4000 MPL = 40L0,5 => Q = f [L] = ∫ M PLdL = ∫ 40, dL = L1,5 + c Ta có : Q[100] = ., + c = 4000 => c = - Vậy Q = ., 5 Bài 11: Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MC = 8e 0,2Q và chi phí cố định FC = 50. Tìm hàm tổng chi phí Ta có: TC = ∫ MCdQ = ∫ 8e 0,2QdQ = 40e 0,2Q + c FC = TC[Q = 0] = 40.e 0,2.0 + c = 50 c = 10 Vậy TC = 40e 0,2Q +10 Bài 12 : Cho hàm doanh thu biên ở mỗi mức sản lượng Q là MR[Q] = 50 – 2Q – 3Q2 Hãy xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm Ta có : MR[Q] = 50 – 2Q – 3Q2 TR = ∫ = ∫[50 – 2Q – 3 ]dQ = 50Q – Q 2 – Q3 + C TR = P.Q => P = = -Q2 – Q + 50 + Bài 13: Chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MC = 32 + 18Q – 12Q2 và FC = 43. Tìm hàm tổng chi phí và chi phí khả biến MC = 32 + 18Q – 12Q2 => TC = ∫ = ∫[32 + 18 − 12 ] = 32Q + 9Q 2 – 4Q3 + C Mà TC[Q=0] = FC => C = 43 => TC = -4Q3 + 9Q2 + 32Q + 43 VC = TC – FC = -4Q3 + 9Q2 + 32Q Bài 14 : Chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MC = 12e0,5Q và FC = 36. Tìm hàm tổng chi phí TC = ∫ = ∫ 12, dQ = 12. , ., + C = 24e0,5Q + C 6 TC[Q=0] = FC => 24e0,5.0 + C = 36 => C = 12 Vậy TC[Q] = 24e0,5Q + 12 Bài 15 : Doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MR = 40Q – 16e0,4Q Tìm hàm tổng doanh thu Ta có hàm doanh thu cận biên MR = 40Q – 16e0,4Q Mà TR = ∫ MR => TR = ∫[40 − 16, ] = 20Q 2 – 40e0,4Q + C Q = 0 => TR = 0 => C = -40 Vậy hàm tổng doanh thu TR = 20Q2 – 40e0,4Q – 40 Bài 16: Doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MR = 84 – 4Q – Q2 Hãy tìm hàm tổng doanh thu và hàm cầu Ta có hàm doanh thu cận biên MR = 84 – 4Q – Q2 Mà TR = ∫ MR => TR = ∫[84 – 4Q – Q2]dQ = 84Q – 2Q2 − Q3 + C => P = TR/Q = 84 – 2Q − Q2 + Vậy hàm tổng doanh thu TR[Q] = 84Q – 2Q2 − Q3 + C Hàm cầu P = 84 – 2Q − Q2 + Bài 17 : Cho hàm tiêu dùng C[Y] = 0,8Y + 0,2√ + 300 ; Y ≥ 0 a] Tại mức thu nhập Y0 = 169 nếu thu nhập tăng thêm 1 thì mức tiêu dùng thay đổi như thế nào ? = = 0,8 + , √ [1] Thế Y0 = 169 vào [1] ta được ≈ 0,81 Vậy nếu thu nhập tăng thêm 1 thì mức tiêu dùng tăng 0,81 đơn vị 7 b] Tính MPC[Y] tại Y0 = 144 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận đc Tương tự câu a, thế Y0 = 144 vào [1] ta được ≈ 0,81 Ý nghĩa: Nếu thu nhập tăng thêm 1 thì mức tiêu dung tăng 0,81 đơn vị Bài 18 : Cho các hàm cầu Q1 = 40 - P1 ; Q2 = 30 - 0.5 P2 Hãy lập hàm doanh thu Q1 = 40 - P1 => P1= 40 - Q1 Q2 = 30 - 0.5 P2 => P2= 60 - 2Q2 TR[Q] = P1Q1 + P2Q2 = [40 - Q1]Q1 + [60 - 2Q2]Q2 = - - 2 + 40Q1 + 60Q2 Bài 19 : Cho hàm sản xuất Q = 10K0.3L0.4 . Giá thuê một đơn vị K bằng 3$, giá thuê 1 đơn vị L bằng 2$ và giá sản phẩm là P = 4. Hãy lập hàm lợi nhuận π[K,L] Tổng chi phí: TC= 3K + 2L Doanh thu: TR= PQ = 40K0.3L0.4 Lợi nhuận: π = TR – TC = 40K0.3L0.4 – 3K - 2L Bài 20 : Cho hàm sản xuất Q = 20K1/4L3/4 . Hãy tìm sản lượng cận biên tại K = 16, L = 81. Giải thích ý nghĩa = 5K-0.75L3/4 = 15K1/4L-1/4 Với K = 16, L = 81 => = 5K-0.75L3/4 = 16.875 8 = 15K1/4L-1/4 = 10 Ý nghĩa: + Khi vốn tăng 1 đơn vị thì sản lượng tăng 16.875 đơn vị + Khi lao động tăng 1 đơn vị thì sản lượng tăng 10 đơn vị Bài 21 : Cho hàm hữu dụng TU[x1;x2] = 2.√ .√ Hãy tính lợi ích cận biên của hàng hóa 1, 2 tại mức tiêu dùng tương ứng 64 và 25. Giải thích ý nghĩa Ta có : [x1;x2] = ’[x1;x2] = [x1;x2] = . => [64;25] = ’[64;25] = [64;25] = Ý nghĩa : Tại x1 = 64, x2 = 25 nếu tăng thêm 1 đơn vị x và y không đổi, thì lợi ích sẽ tăng đơn vị. [x1;x2] = ’[x1;x2] = [x1;x2] = . => [64;25] = ’[64;25] = [64;25] = Ý nghĩa : Tại x1 = 64, x2 = 25 nếu tăng thêm 1 đơn vị x và y không đổi, thì lợi ích sẽ tăng đơn vị. Bài 22 : Cho hàm cầu : D = 0,4.Y0,2.P-0,3. Hãy tính εD/Y và εD/P 9 a] εD/Y = D’Y. = 0,4.0,2.Y-0,8.P-0,3. ,.,. , = 0,2 b] εD/P = D’Y. = -0,4.0,3.Y0,2.P-1,3. ,.,. , = - 0,3 Bài 23 : Tính hệ số co dãn của các hàm sau tại điểm cho trước a] Q[P1;P2] = 6300 - 2 - tại [20;30] ε /= . = -4P1. = ε /= . = -4P2. = ε = ε / + ε /= + = = -1,15 b] Q[K;L] = 120K1/3L2/3 εQ/K = . = 120. .K-2/3L2/3. // = εQ/L = . = 120. .K1/3L-1/3. // = ε = εQ/K + εQ/L = + = 1 Bài 24 : Cho hàm sản xuất Y[t] = 0,2K0,4L0,8 Trong đó K = 120 + 0,1t ; L = 300 + 0,3t a. Tính hệ số co dãn của Y theo K, L Ta có : Y = 0,2K0,4L0,8 10 [ |] = . = ,.,. ,, ,. ,, = 0,4 [|] = . = ,.,. , , ,. ,, = 0,8 b. Tính hệ số tăng trưởng của K, L và Y Hệ số tăng trưởng của vốn K = . = , , Hệ số tăng trưởng của vốn L = . = , , = , , Hệ số tăng trưởng của Y : = . = , [, .,[ ,] , , .,[ ,] , ,[ ,],[ ,], = ,[ ,] , ,[ ,] , [ ,],[ ,], = , , + , , = , , + , , c. Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này Ta có : = / + / = 0,4 + 0,8 = 1,2 Nếu trong điều kiện các yếu tố khác không đổi, nếu K và L tăng lên 1% thì Y tăng lên 1,2% Bài 25 : Cho hàm sản xuất Y[t] = 5K0,6L0,3 a. Tính Hệ số thay thế của K cho L Ta có : Y = 5K0,6L0,3 11 Hệ số thay thế của K cho L là : = - = - ., , , ., ,, = − b. Cho biết chi phí đơn vị vốn wK = 5, chi phí đơn vị lao động wL = 3 . Tính mức sử dụng tối ưu vốn và lao động để đạt mức sản lượng cho trước Y0 = 30000 Doanh nghiệp sử dụng tối đa vốn và lao động khi : TC[K, L] = wKK + wLL → min Û TC = 5K + 3L min Ta có : Y[t]= Y0 Û 5K 0,6L0,3 = 30000 Lập hàm Lagrange : f[K, L, l]= TC[K, L] + l[Y0 – Y[t]]= 5K + 3L + l[30000-5K 0,6L0,3] = 5 − 3l ,, ; = 1,2l ,, = 3 − 1,5l ,, ; = l ,, = 30000 − 5 ,,; = − 0,9 ,, Tìm điểm dừng: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = 5 − 3l ,, = 0 = 3 − 1,5l ,, = 0 = 30000 − 5 ,, = 0 Û = l ,, ,l , , 30000 = 5 ,, Û = 6000 = ,, Û = 16762 = 13968 l=23 tọa độ điểm dừng của f là: [K,L,l]=[16762, 13968, 23] Xét vi phân toàn phần cấp 2: = K + L + 2 = 1,2l ,,K + l ,,L -2. 0,9 ,, Đặt g[K;L]= 5K0,6L0,3, ta có hàm vi phân toàn phần cấp 1 là : 12 + = 0 [1] = 3 ,,; = 1,5l ,,; Thay vào [1] ta được : 3 ,,dK +1,5l ,,dL = 0 ó dL= ,, ,l , , = − = 0 Thay = 0 à , đượ = 1,2l ,,K + l ,,L + 2. 0,9 ,,. d2f 0 Vậy TCmin khi K=16762, L=13968. Bài 26: Thu nhập quốc dân [Y] của một quốc gia có dạng: Y= 0.48 K0.4L0.3NX0.01 Trong đó : K là vốn, L là lao động và NX là xuất khẩu ròng. a] Khi tăng 1% lao động sẽ ảnh hưởng như thế nào đến thu nhập? Có ý kiến cho rằng giảm mức lao động xuống 2% thì có thể tăng xuất khẩu ròng 15% mà cho biết thu nhập vẫn không đổi , cho biết điều này đúng hay sai? b] Cho nhịp tăng trưởng của NX là 4% của K là 3%, của L là 5%. Xác định nhịp tăng trưởng của Y. Giải: a]* Ta có: LY = . = 0,3 Vậy khi tăng lao động 1% thì thu nhập tăng 0,3% khi giảm mức lao động xuống 2% thì thu nhập giảm : 0,3.2 = 0,6% NXY = . = 0,01 khi tăng xuất khẩu ròng lên 15% thì thu nhập tăng: 0,01.15 = 0.15% Vậy khi ta đồng thời giảm lao động xuống 2% và tăng xuất khẩu ròng lên 15% thì thu nhập thay đổi: -0,6% + 0,15% = -0,45 13 Khẳng định trên là sai. b] Ta có: KY = 0,4; rk=3 LY = 0,3; rL=5 NXY = 0,01; rNX=4 Vậy nhịp tăng trưởng của Y là: Yr = KY .rK+ LY . Lr + NXY . NXr = 0,4.3 + 0,3.5 + 0,01.4 = 2,74% Bài 27: Giả sử dân số tăng theo mô hình P[t] = P[0]2bt và tiêu dùng của dân cư tăng theo mô hình C[t]= C[0]eat. a] Tính hệ số tăng trưởng của dân số và tiêu dùng của dân cư. b] Với điều kiện nào thì hệ số tăng trưởng của tiêu dùng cao hơn hệ số tăng trưởng của dân số. Nêu ý nghĩa của quan hệ đó. c] Giả thiết lượng lao động được sử dụng tỉ lệ với dân số và có dạng L[t]= kP[t] [k bln2. Ý nghĩa: khi dân số tăng trưởng với tốc độ là bln2% thì tiêu dùng của dân cư tăng trưởng nhanh hơn với tốc độ a%. 14 c] Hàm sản lượng Y[t] theo vốn K[t] và lao động L[t] có dạng: [ ] [ , ] à L[t]=kP[t]=k2 [ ] [ , ] 2 bt bt Y t f K L aK L M Y t f K L aK k Với hàm tiêu dùng C[t] là một hàm tuyến tính của Y[t], ta có: C[t]=b+cY 2at bte b cak K Û Bài 28: Cho hàm tổng chi phí : TC= Q3- 5Q + 14Q+ 144 a] Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q= 2. b] Cho giá sản phẩm là P= 70, với mức thuế doanh thu 20%, tính lợi nhuận khi Q=3. Giải : a] Hệ số co giãn của TC theo Q: 2 2 / 3 2 3 2 [3 10 14] 5 28 432 '. 3 5 14 144 5 14 144 TC Q Q Q Q Q Q Q TC TC Q Q Q Q Q Q Hệ số co giãn của TC theo Q với Q=2: 2 / [2] 3 2 5.2 28.2 432 3 0,075 2 5.2 14.2 144 TC Q b] Khi Q=3, 3 23 5.3 14.3 144 168TC Doanh thu của doanh nghiệp: TR=P.Q=70.3=210 Thuế doanh thu: T=20%.TR=0,2.210=42 Lợi nhuận của công ty: 210 168 42 0TR T TCp Bài 29: Cho nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc vào giá như sau: Q1= 40-2P1-P2 ; Q2= 35-P1-P2 Hàm tổng chi phí là TC= Q1 2+2Q2 2+ 12. Trong đó Qi,, , Pi là sản lượng và giá của hàng hóa, a] Xác định Q1, Q2 sao cho tổng lợi nhuận là lớn nhất. b] Xác định chi phí biên cho từng mặt hàng tối ưu tìm được câu a. c] Hai mặt hàng này có thay thế cho nhau được không. 15 Giải: a] = 40 − 2 − = 35 − − ↔ = 5 − + = 30 + − 2 TR[,] = . + . = [5 − + ] + [30 + − 2] = − − 2 + 5 + 30 + 2. [,] = − = − − 2 + 5 + 30 + 2. − − 2 − 12 = − 2 − 4 + 5 + 30 + 2. − 12 Tìm , để lợi nhuận cực đại Đạo hàm riêng của [,]: [] = − 4 + 5 + 2 []= − 8 + 30 + 2 = − 4 = − 8 [,]= 2 Tìm điểm dừng [] = − 4 + 5 + 2 = 0 [] = − 8 + 30 + 2 = 0 ↔ = = Điểm dừng là : = = Tại điểm dừng, ta có: A = = − 4< 0 16 B = [,]= 2 C = = − 8 Xét AC – B2 = 28 > 0 Vậy tại điểm dừng = và = thì lợi nhuận cực đại. b] MC[] = [] = 2 MC[]= [] = 4 Với = và = , ta có: MC[] = 2. = MC[]= 4. = c] Ta có: Hệ số thay thế của Q1, Q2 là = − / / = − = − 2 < 0 [Vì , ≥ 0] Vậy hai mặt hàng này có thể thay thế cho nhau. Khi Q2 tăng 1 đơn vị để mức lợi nhuận không đổi thì Q1 giảm 2 đơn vị. Bài 30: Cho hàm tổng chi phí TC= 5000 + a] Tìm hàm chi phí biên MC b] Tính chi phí trung bình AC tại Q=100 c] Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q=17 Giải : Ta có hàm tổng chi phí là : TC= 500 + a] Hàm chi phí biên là : MC=TC’ = [ 500 + ]’ = [ ] b] Hàm chi phí trung bình AC là : AC= TC Q = 5000 Q + 5Q Q+3 , tại Q= 100 ta được AC[Q=100]= . 17 c] Hệ số co giãn của TC theo Q là : ƐTC/Q= ∂TC ∂Q ∙ = .[ ] / [ ] tại Q=17 ta được ƐTC/Q[17]= 0.0164 . Bài 31: Cho mô hình cung –cầu như sau: QD= 10 + 0,1Y -0,2P QS= -14 + 0,6P Trong đó QD, QS cung cấp và nhu cầu một loại hàng; Y là thu nhập trong dân cư [theo đầu người]; P là giá cả. a] Tìm biểu thức tính giá cân bằng nếu điều kiện cân bằng là: a.1. QD = QS a.2. QD =0,9QS b] Tính hệ số co dãn của giá cân bằng theo Y tại 80 trong cả hai trường hợp trên. Giải thích ý nghĩa kinh tế của kết quả tính được. Giải : a] tìm biểu thức tính giá cân bằng nếu điều kiện cân bằng là : a1. Biểu thức giá cân bằng: QD = QS ⟺ 10 + 0.1 − 0.2 = − 14 + 0.6 ⟺ 24 + 0.1 = 0.8 ⟺ = 30 + 1 8 a2. Biểu thức cân bằng : QD = 0,9 QS ↔ 10 + 0,1Y – 0,2P= 0,9 [−14 + 0,6P] ↔ = + b] Tính hệ số co giãn của giá cân bằng theo Y tại 80 trong cả hai trường hợp trên. 18 a1. [/ ] = ∙ = 1 8 ∙ 80 30+ 808 = 0,25 Ý nghĩa: Khi Y thay đổi 1% thì P thay đổi 0.25% a2. [/ ] = ∙ = ∙ . = Ý nghĩa : Khi Y thay đổi 1% thì P thay đổi %. Bài 32: Cho hàm lợi ích tiêu dùng của một chủ thể có dạng như sau : ln[TU[x,y]]= 0.7lnx + 0,3lny Cho biết x, y là khối lượng các hàng hóa. Cho p,q là giá các hàng hóa tương ứng, M là ngân sách tiêu dùng. a] Có ý kiến cho rằng , nếu chủ thể tăng tiêu dùng x lên 1% và giảm tiêu dùng y đi 3% thì lợi ích tiêu dùng không đổi. Điều đó đúng hay sai. b] Xác định phương án tiêu dùng có lợi nhất cho chủ thể đó. Giải: Ta có : ln[TU[x,y]]= 0,7lnx + 0,3lny Û eln[TU[x,y]] = e[0,7lnx + 0,3lny] Û TU= x0,7y0,3 a] Ta có: hệ số co giãn của TU theo x là : xTU = ∙ = 0,7,, ,, = 0,7 khi tăng tiêu dùng x lên 1% thì thu nhập tăng 0,7% yTU = ∙ = 0,3,, ,, = 0,3 khi giảm tiêu dùng y đi 3% thì thu nhập giảm: 0,3.3 = 0,9% Vậy khi ta đồng thời tăng tiêu dùng x lên 1% và giảm tiêu dùng y đi 3% thì thu nhập thay đổi: 0,7% + [-0,9%] = -0,2%, hay thu nhập giảm 0,2% Khẳng định trên là sai. c] Phương án tiêu dùng có lợi nhất cho chủ thể đó: 19 Ta có : M = px+qy Mặc khác : ln[TU[x,y]]= 0.7lnx + 0,3lny Û [ [,]] = . , Û TU = x0,7y0,3 Yêu cầu : xác định phương án tiêu dùng có lợi nhất cho chủ thể đó . Tìm x,y để TU tối ưu với điều kiện ràng buộc là g = M – px –qy Lập hàm Lagrange: L[x,y,λ]= TU +λg= x0,7y0,3 +λ[M− px−qy] Tìm các đạo hàm riêng : = 0,7,, − ; = − 0,21,, = 0,3,, − ; = − 0,21,, = M− px−qy ; = 0,21,, Tìm điểm dừng: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = 0,7,, − = 0 = 0,3,, − = 0 = M − px− qy = 0 ↔ = = Vậy điểm dừng = = Tại điểm dừng ta xét hàm vi phân toàn phần cấp hai : d2L[x,y]=