Xét đường tròn tâm I[a, b] có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là:
[x - a]² + [y - b]² = R²
Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I[a, b] có bán kính R là:
x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \[ R= \sqrt{a^2+b^2-c}\] [đk: a² + b² – c > 0]
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Xét đường tròn tâm I[a, b], cho điểm \[ M_o[x_o; y_o]\] thuộc đường tròn [I], gọi ∆ là tiếp tuyến với [I] tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆:
[∆]: \[ [x_o-a].[x-x_o]+[y_o-b].[y-y_o]=0\]
III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.
Cách 1:
Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: [C] [x - a]² + [y - b]² = m.
Bước 2: Xét m:
- Nếu m < 0 ⇒ [C] không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu m > 0 ⇒ [C] là phương trình đường tròn tâm I[a, b] có bán kính \[ R= \sqrt{m}\].
Cách 2:
Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: [C] x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Bước 2: Xét m = a² + b² - c:
- Nếu m ≤ 0 ⇒ [C] không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu m > 0 ⇒ [C] là phương trình đường tròn tâm I[a, b] có bán kính \[ R= \sqrt{a^2+b^2-c}\].
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước
Cách 1:
Bước 1: Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C] đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R².
Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn [C]: IA² = IB² = R².
Bước 3: Viết phương trình [C] có dạng: [x – a]² + [y – b]² = R².
Cách 2:
Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn [C] cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.
Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn [C]: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.
Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn:
- Đường tròn [C] tiếp xúc với đường thẳng [Δ] d[I,Δ] = R.
- Đường tròn [C] tiếp xúc với đường thẳng [Δ] tại điểm A ⇔ d [I,Δ] = IA = R.
- Đường tròn [C] tiếp xúc với 2 đường thẳng [Δ1] và [Δ2] ⇔ d [I,Δ1] = d [I,Δ2] = R.
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn tại điểm \[ M_o[x_o; y_o]\] thuộc đường tròn [C] cho trước:
Bước 1: Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C] cho trước.
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với [C] tại \[ M_o[x_o; y_o]\] có dạng: \[ [x_o-a].[x-x_o]+[y_o-b].[y-y_o]=0\]
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm:
Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn [C] tâm I, bán kính R ⇔ d [I, ∆] = R.
Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
Ví dụ: Phương trình đường tròn [C] đi qua 3 điểm A[4;-1], B[0;3], C[4;7]. Lập phương trình tiếp tuyến [∆] tại điểm A.
Lời giải tham khảo:
Ta có phương trình tổng quát đường tròn [C] có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Vì [C] đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn [C] ta có hệ sau:
\[\left\{\begin{matrix} 4^2 + [-1]^2 – 2a.4 – 2b.[-1] + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=3\\ c=-9 \end{matrix}\right.\]
⇒ Đường tròn [C] có tâm I[4;3].
Phương trình đường tròn [C] là: [x - 4]² + [y - 3]² = 16.
Đường tròn [C] có tâm I[4;3] có tiếp tuyến [∆] tại điểm A[4;-1]:
⇒ = [4 - 4].[x - 4] + [-1 - 3].[y +1] = 0 ⇔ y = -1
Phương trình tiếp tuyến [∆] tại điểm A: y = -1
Viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính là bài toán ngược của bài toán tìm tâm và bán kính của đường tròn khi biết trước phương trình của nó. Đối với dạng này thì có thể bài toán cho trước tâm và bán kính, cũng có thể cho gián tiếp tâm và bán kính, tức là chúng ta có thể tìm được tâm và bán kính qua một số dữ kiện nào đó của đề bài.
Phương trình đường tròn như các bạn đã biết có hai dạng phương trình đường tròn trong chương trình học, tuy nhiên ở trong bài giảng này vì chúng ta đã biết tâm và bán kính nên sẽ sử dụng dạng: $[x-a]^2+[y-b]^2=R^2$. Nếu bạn nào không biết cách nhận dạng của phương trình đường tròn thì xem bài giảng này nhé. Giờ chúng ta cùng tìm hiểu một số bài tập viết phương trình đường tròn.
Xem thêm bài giảng:
Bài tập viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính
Bài tập 1: Viết phương trình đường tròn [C] trong mỗi trường hợp sau đây:
a. [C] có tâm là $I[-2;3]$ và bán kính $R=2$
b. [C] có tâm là $I[-2;3]$ và đi qua điểm $M[2;-3]$.
c. [C] có đường kính là $AB$ với $A[1;1]$ và $B[7;5]$
Hướng dẫn giải:
a. Với ý [a] này các bạn thấy quá đơn giản rồi, chỉ việc lắp vào phương trình đường tròn là có ngay thôi.
Ta có phương trình đường tròn có tâm là $I[-2;3]$ và bán kính $R=2$ là:
$[x+2]^2+[y-3]^2=4$
b. Ý [b] này ta đã biết tâm của đường tròn, chúng ta phải đi tìm bán kính. Vì đường tròn đi qua điểm $M$ nên độ dài đoạn $IM = R$ .
Ta có: $\vec{IM}=[4;-6]\Rightarrow R=IM=\sqrt{4^2+[-6]^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
Phương trình đường tròn có tâm $I$ và đi qua điểm $M$ là: $[x+2]^2+[y-3]^2=52$
c. [C] có đường kính là $AB$ với $A[1;1]$ và $B[7;5]$
Đường tròn [C] có đường kính là đoạn $AB$ nên trung điểm của $AB$ chính là tâm của đường tròn đường kính $AB$.
Gọi $I[a;b]$ là trung điểm của $AB$ thì tọa độ của $I$ là:
$\left\{\begin{array}{ll}a=\frac{x_A+x_B}{2}\\b=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}a=\frac{1+7}{2}\\b=\frac{1+5}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}a=4\\b=3\end{array}\right.$
Vậy tọa độ điểm $I$ là: $I[4;3]$
Bán kính của đường tròn chính là đoạn $IA$. Ta có $\vec{IA}=[-3;-2]\Rightarrow R=IA=\sqrt{13}$
Phương trình đường tròn [C] thỏa mãn điều kiện trên là: $[x-4]^2+[y-3]^2=13$
Bài tập 2: Tìm phương trình của đường tròn [C] trong các trường hợp sau:
a. Biết tâm của đường tròn là điểm $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có phương trình: $x+y=2$ và $2x-y=1$ và bán kính $R=3$.
b. Biết tâm là trung điểm của đoạn $AB$ và đường kính đường tròn bằng khoảng cách từ điểm $A$ tới đường thẳng $\Delta: 4x-3y+11=0$. Với tọa độ của 2 điểm $A, B$ là: $A[2;3]$ và $B[4;1]$.
Hướng dẫn giải:
Đọc bài 2 này các bạn thấy khác bài 1 rất nhiều, việc viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính không ở dạng trực tiếp nữa mà chúng ta phải tìm tâm và bán kính qua dữ kiện trung gian. Đòi hỏi phải có nhiều bước biến đổi hơn.
a. Với ý này bán kính của đường tròn đã biết, chúng ta cần tìm tọa độ của tâm đường tròn. Việc tìm tâm của đường tròn khá đơn giản. Tọa độ tâm của đường tròn chính là nghiệm của hệ phương trình được lập bởi phương trình đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Gọi $I[a;b]$ là tâm của đường tròn [C], tọa độ của $I$ sẽ thỏa mãn hệ:
$\left\{\begin{array}{ll}x+y=2\\2x-y=1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}3x=3\\y=2x-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=1\end{array}\right.$
Do đó tọa độ của tâm $I$ là: $I[1;1]$
Phương trình đường tròn tâm $I$ bán kính $R=3$ là: $[x-1]^2+[y-1]^2=9$
b. Việc tìm tâm ở ý này cũng không có gì khó, tuy nhiên để tìm được bán kính thì lại đòi hỏi phải tư duy hơn một chút. Các bạn cần phải nhớ cách tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong mặt phẳng.
Tìm tâm của đường tròn [C]:
Tọa độ tâm $I[a;b]$ của đường tròn là trung điểm của $AB$ nên ta có:
$\left\{\begin{array}{ll}a=\frac{2+4}{2}\\b=\frac{3+1}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}a=3\\b=2\end{array}\right.$ $\Rightarrow I[3;2]$
Tìm bán kính của đường tròn [C]:
Khoảng cách từ điểm $A[2;3]$ tới đường thẳng $\Delta: 4x-3y+11=0$ là:
$d_{[A,\Delta]}=\frac{|4.2-3.3+11|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2$
Vì khoảng cách từ điểm $A$ tới đường thẳng $\Delta$ là đường kính của đường tròn $[C]$ nên bán kính $R$ của đường tròn $[C]$ là: $R=\frac{d_{[A,\Delta]}}{2}=\frac{2}{2}=1$
Phương trình đường tròn cần tìm là: $[x-3]^2+[y-2]^2=1$
Lời kết
Trong bài giảng trên thầy đã cố gắng lựa chọn 2 bài tập phù hợp nhất để các bạn có thể hiểu được cách tìm phương trình đường tròn biết tâm và bán kính. Còn nhiều dạng viết phương trình đường tròn nữa, thầy sẽ gửi tới các bạn trong những bài giảng sau. Các bạn hãy chờ đón nhé.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ